自平衡车模型分析

1、自平衡车模型分析对于车体模型，假设已知各机械参数常量:参数名称参数意义L除两轮以外其余部分重心距车轴距离R车轮半径D两轮间距离mp除两轮以外其余部分质量m车轮质量Jx沿X轴的除两轮以外刚体的转动惯量Jy沿Y轴的除两轮以外刚体的转动惯量Jz沿Z轴的除两轮以外刚体的转动惯量J*车轮绕轴心转动惯量JR车轮绕半径转动惯量设置各状态变量以及控制变量:参数名称参数意义9除两轮以外刚体的倾斜角度，以顺时针为正0L左轮转过角度，以顺时针为正0R右轮转过角度，以顺时针为正ML左轮电机力矩，以顺时针为正MR右轮电机力矩，以顺时针为正一、求解车体除两轮外部分动能通过拉格朗日方程对其进行动力学分析。一、求解车体除两轮

2、外部分动能车体沿X轴方向速度:,ci V = L0 cos 0+ 也一R) R车体沿Y轴方向速度:,Qi ci V = L sin 0(。l R)R车体沿Z轴方向速度V = L0 sin 0z车体沿过质心的7轴的转动惯量为:J 6 = J cos2 0 + J sin2 0 + jjj yzdm由于假设车体关于ZY平面对称，因此jjf yzdm = 0因此J 0 = J cos2 0 + J sin2 0则可以得到车体的平动动能：Ekp1=(Ekp1=(L0 cos0 +(l +。r)R)2 + (Lsin0212(0 -0 )LRDR)2 + (L0 sin0 )2J车体的转动动能为:E J

3、kp 22E Jkp 22=(J cos2 0 + J sin2 0)(-(0 -0 )LRDR)2 + J 0 2x7则车体的总动能为:Ep = Ep 2二、求解车轮动能左车轮平动速度为:右车轮平动速度为V =0 RWRX R两轮有同样的绕垂直于半径的转动速度：* *(0 -0 )八=L D R R则左车轮的动能为:EkWj1EkWj1=m211 (0 R)2 + J 0 2 + J L 2 4 L 2(0 -0 )R)L DRk D 7则右车轮的动能为:则右车轮的动能为:Ekw R1Ekw R1=m211 (0 R)2 + -J 0 2 + J R 2 4 R 2(0 -0 )R)L DR

4、k D 7求解车体势能由于在平地上行进，车轮势能不变。车体整体势能可变部分表示为:E 求解车体势能由于在平地上行进，车轮势能不变。车体整体势能可变部分表示为:E = m g cos 0四、拉格朗日函数的求解四、拉格朗日函数的求解得到最终的拉格朗日函数为:得到最终的拉格朗日函数为:kp1+ Ekp1+ Ep 2 + EkwEkwL - Ep依据拉格朗日动力学法求解，进行如下运算：d依据拉格朗日动力学法求解，进行如下运算：d 3L适耳=-Mdt 30d牛30Ldt7 3Ld 37 3Ld 30RdLdt八=M30 RR得到动力学方程: 方程一：得到动力学方程: 方程一：/ tt.-r/ tt.-r

5、C(m L2 + J )0 + m Lcos0 , ,(0, +0。)LR2 R 一 m gL sin 0 - m L + J 一 J Zin0 cos0=-M - ML R方程 TOC o 1-5 h z X*X,、 一/x , ,.1. m (0+0)R2()(0 -0)R2m LR0 cos 0m LR0 2 sin 0 +pL R+ m L2 sin 2 0 + J sin 2 0 + J cos2 0 l r p2 p4pyzd 2R 2(0 -0 )R 2sin0 cos0(0 -0 )- + mR20 + J0 + 2J l R= M方程三:.X,X, 、 一/x , ,.1.

6、m (0+。)R2()(0-0)R2m LR0 cos0一 m LR0 2 sin0 + ?LR一 m L2 sin2 0 + J sin2 0 + J cos2 0 trp2 p4pyzd 2()R2 k x-(0 -0 )R2一 2 m t + J - J 0 sin0 cos0(0 -0 )+ mR20 + J 0 - 2J tr= Mp y zL r D 2R 9 R R D 2R五、方程中各项的力学意义分析五、方程一中：(m L2 + J )0表示的是让车体产生0的角加速度，应该产生的合力矩为(mpE + J, )0，其中转轴为 车轮中心。 (0 +0 )八m L cos0 l 2

7、r R是以车底盘为参考系而产生的非惯性力的力矩。m gL sin 0是重力产生的力矩。)sin )sin 0 cos 0、2R是离心力的力矩。-M - ML R为电机产生的力矩。方程二中：对于轮子的受力分析中，由于车体自身有加速度以及角加速度，因此需要从轮轴给 予车体一定的力产生加速度。在轮子上，由于轮轴收到车体的反作用力，为了让轮子产 生抵消车轮轴心收到的作用力，需要由地面给予车轮额外的作用力。因而为了让车轮能 够以预计的角加速度运转，力矩不仅要为角加速度提供力矩，还应克服地面产生的作用 力的力矩。12 m LR0 cos 0为使车体产生水平加速度所需要的力对轮子产生的力矩，该加速度为转动速

8、度改变造成的加速度水平分量的加速度水平分量m (0 +0 ) R 2pLR4为使车体产生水平加速度所需要的力对轮子产生的力矩，该加速度为底盘的加速度。与 之前加起为总的水平加速度。12 m LR0 2 sin 0为车体离心力在水平方向产生的力矩L2 sin2 0 + J sin2 0 + J cos2 0是车体在XY平面绕Z轴旋转角加速度所需要的力矩转移到轮上的力矩。所以在两个轮 上方向不相同。2m L + J 一 J sin0 cos0 （0 一0 ） D2-为使车体克服摆动造成的柯里奥利力力矩，而由轮子为车体提供力矩时，轮子收到的反 作用力造成的力矩。mR 20R. C .一.为让车体产生

9、0 R的加速度所需要的力矩R,为让车体产生0 D的角加速度所需要的力矩 R (0-0 )R22 J LRR D 2为让车体产生绕半径转动的角加速度所需要的力矩六、控制矩阵令：K = p+ Cm L2 sin 2 0 + J sin 2 0 + J cos 2 0也 + mR 2 + J + 2 J R14 pyz D 2e R D 2K =4 - m L2 sin2 0 + J sin2 0 + J cos2。匕- 2J 万-=m gL sin 0 =m gL sin 0 +)sin 0 cos 0f (0 -0 ) ld RK = m LR。2 sin 942 pK = 2。L2 + J - K = 2。L2 + J - J I sin 9 cos9 （9 一9 ）专m LR cos9m LR cos9m L2 + J0 ptpx220 c100m LR cos 9p0KK一2 c12m LR cos 9p0KKL 221_此为非线性控制方程，可以用于matlab仿真yz则有控制矩阵:将其在小角度线性化以后，得到:L R D 299 -K -0+10109K - K10.L4 59K + KL01R45MLMRm L2 + m L2 + J0pppx220100