证券组合理论概论

1、证券组合理论 19952年，美美国经济学家家哈里马科维茨在在投资组合合选择一文文中，第一次次提出了证券券组合理论。该该理论描述了了投资者怎样样通过证券组组合，在最小小风险水平下下获得既定的的期望收益率率，或在风险险水平既定的的条件下获得得最大期望收收益率。19963年，马马科维茨的学学生威廉.夏夏普提出了单单指数模型，旨旨在简化证券券组合理论应应用于大规模模市场面临的的计算问题。经经过几十年的的发展，这些些理论已成为为证券投资学学的基本内容容。 第一一节 证券券的风险和收收益风险、收益及其其度量 收入可以以分解为消费费和储蓄，储储蓄在一定条条件下可以转转化为投资。人人们进行投资资的直接动机机是

2、获得收益益，投资决策策的目标是收收益最大化。投投资是放弃当当前的消费，目目的是为了将将来更多的消消费，但同样样货币支出当当前消费比将将来消费能给给人带来更大大的满足，因因此，投资者者要求对放弃弃当前消费给给予补偿。不不仅如此，投投资在前，收收益在后，收收益是投资的的结果，受到到许多不确定定因素的影响响，投资者承承担了风险，同同样需要补偿偿。收益是投投资者放弃当当前消费和承承担风险的补补偿,投资者者在处理收益益率与风险的的关系时,总总是希望在风风险既定的情情况下,获得得最大的收益益率;或在收收益率既定的的条件下,使使风险最小。那那么，如何计计量风险和收收益率呢。 任何一项投投资的结果都都可用收益

3、率率来衡量，通通常收益率的的计算公式为为： 收收益率（%）=（收入支出）/支支出100% 投资期限限一般用年来来表示，如果果期限不是整整数，则转换换为年。在股股票投资中，投投资收益等于于期内股票红红利收益和价价差收益之和和，其收益率率的计算公式式为： r=（红利+期末市价总总值期初市价总总值）/期初初市价总值100% 在通常情况况下，收益率率受许多不确确定因素的影影响，因而是是一个随机变变量。我们可可假定收益率率服从某种概概率分布，即即已知每一收收益率出现的的概率，用表表列示如下：收益率（%）概率数学中求期望收收益率或收益益率平均数的的公式如下： 如果投资者以期期望收益率为为依据进行决决策，那

4、么他他必须意识到到他正冒着得得不到期望收收益率的风险险，实际收益益率与期望收收益率会有偏偏差，期望收收益率是使可可能的实际值值与预测值的的平均偏差达达到最小(最最优)的点估估计值。可能能的收益率越越分散，它们们与期望收益益率的偏离程程度就越大，投投资者承担的的风险也就越越大，因而风风险的大小由由未来可能收收益率与期望望收益率的偏偏离程度来反反映。在数学学上，这种偏偏离程度由收收益率的方差差来度量。如如果偏离程度度用来度量，则则平均偏离程程度被称为方方差，记为。 其平方根称为标标准差，记为为。在实际进行行投资决策时时，将使用期期望收益率和和方差的具体体值，然而我我们无法得知知按公式计算算期望收益

5、率率和方差所需需要的概率分分布，因为无无法对影响收收益率的各种种复杂因素及及其影响程度度作出合理的的定量化的判判断，企图得得到一个较好好的估计也是是一件十分困困难的事情。收收益率的分布布并不随时间间推移而发生生变化，实际际收益率的变变化来自于同同一分布的不不同表现，因因而反映收益益率变化的统统计规律的两两个重要的数数字特征期望收益率率和方差也不不随时间而变变化。这样，我我们便可以从从收益率的历历史数据得到到二者的估计计样本均值和和样本方差。假设证券的月月或年实际收收益率为 (t1，22，n)，通通常称之为收收益率时间序序列的一段样样本，则样本本均值为： 样本方差为为： 数学上可以证明明、分别是

6、、的最优无偏偏估计。为了了和平均数在在形式上保持持一致，当较较大时，下式式成立： 二、风险的种类类不同的投资方方式会带来不不同的投资风风险，风险产产生的原因和和程度也不尽尽相同，按风风险产生的原原因可将风险险分为:(1)市场风风险。这种风风险来自于市市场买卖双方方供求不平衡衡引起的价格格波动，这种种波动使得投投资者在投资资到期时可能能得不到投资资决策时所期期望的收益率率。(2)偶然事事件风险。这这种突发性风风险其剧烈程程度和时效性性因事而异。如如自然灾害、异异常气候、战战争危险的出出现；法律诉诉讼、专利申申请、高层改改组、兼并谈谈判、产品未未获批准、信信用等级下降降等意外事件件的发生可能能引起

7、证券价价格的急剧变变化，这些都都是投资者在在进行投资决决策时无法预预料的。（3）通货膨膨胀风险。投投资收益可分分为名义收益益和实际收益益，由于投资资者所期望的的是实际收益益，因而名义义收益和实际际收益的差别别亦至关重要要。这种差别别通过通货膨膨胀来反映。通通货膨胀可分分为“期望型”和“意外型”，前者是投投资者根据以以往的数据资资料对未来通通货膨胀的预预计，也是他他们对未来投投资索求补偿偿的依据；后后者则是他们们始料不及的的。短期债券券和具有浮动动利率的中长长期债券由于于考虑了通货货膨胀补偿，因因而可以降低低期望型贬值值风险；股票票和固定利率率的长期债券券的投资者则则同时承受这这两种风险，期期限

8、越长，贬贬值风险越大大。其关系为为： 式中：为年初通通货膨胀水平平；为年末通通货膨胀水平平；MS为名名义收益率；SS为实际际收益率。TC为通货膨胀胀水平的变化化率，即通货货膨胀率： 为简便计算，也也可以： 1 1 威廉.P.夏普：投资学第74页，中国人民大学出版社1998年出版。（4）破产风风险。这是股股票、债券特特别是中小型型或新创公司司的投资者必必须面对的风风险。当公司司由于经营管管理不善或其其他原因导致致负债累累，难难以维持时，它它可能申请破破产法的保护护，策划公司司的重组，甚甚至宣布倒闭闭。因此破产产风险表现为为当公司宣布布破产时，股股票、债券价价格急剧下跌跌，以及在公公司真正倒闭闭时

9、，投资者者可能血本无无归。（5）违约风险险。这是投资资于“固定收入证证券”的投资者所所面临的风险险，这类证券券在发行时向向投资者保证证，他们可以以在未来一段段时间内得到到确定金额的的收入，这笔笔金额可能是是在证券到期期时一次性发发放，也可能能在有效期内内多次性发放放。然而当公公司现金周转转不灵，财务务出现危机时时，这种事先先承诺可能无无法兑现。 （6）利率率风险。利率率提高，债券券的机会成本本增加，因而而债券的价格格与利率成反反向变动，利利率升高，债债券价格下降降。相对而言言，违约与破破产风险仅是是少数债券的的不良表现，而而利率风险比比违约风险和和破产风险涉涉及面更广，影影响力更大，时时效更长

10、。债债券价格更频频繁、更强烈烈地受到利率率变化的影响响，从对利率率变化的敏感感度讲，长期期债券要大于于短期债券，无无息债券要大大于有息债券券，低息债券券要大于高息息债券，一次次性付息债券券要大于分期期付息债券。（7）政治风风险。各国的的金融市场都都与其政治局局面、经济运运行、财政状状况、外贸关关系、投资环环境等息息相相关，因此投投资于外国有有价证券时，投投资者除了承承担汇率风险险外还面临这这种宏观风险险。 按风险的性性质以及应付付的措施可以以将总风险分分为系统风险险和非系统风风险两个部分分，在数量上上风险等于这这二者之和。系统风险是与与市场整体运运动相关联的的。通常表现现为某个领域域、某个金融

11、融市场或某个个行业部门的的整体变化。它它涉及面广，往往往使整个一一类或一组证证券产生价格格波动。这类类风险因其来来源于宏观因因素变化对市市场整体的影影响，所以亦亦称为“宏观风险”。前面提及及的市场风险险、通货膨胀胀风险、利率率风险和政治治风险均属系系统风险。非系统风险只只同某个具体体的股票、债债券相关联，而而与其他有价价证券无关，也也就同整个市市场无关。这这种风险来自自于企业内部部的微观因素素，所以亦称称为“微观风险”。前面提到到的偶然事件件风险、破产产风险、违约约风险等均属属此类。应付这两类风险险的措施是不不同的，对于于非系统风险险，可采用分分散投资来弱弱化甚至消除除，令人遗憾憾的是分散投投

12、资丝毫不能能改变系统风风险，人们通通常可以看到到当股市剧烈烈波动时，只只有极少数股股票能幸免，即即便是投资完完全分散化的的指数型证券券投资基金也也不例外。完完全分散化可可以消除非系系统风险，同同时系统风险险趋于正常的的平均水平即市场整整体水平。那那么如何才能能有效地降低低系统风险呢呢?一种办法法是将风险证证券与无风险险证券进行投投资组合，当当增加无风险险证券的投资资比例时，系系统风险将降降低，极端的的情况是将全全部资金投资资于无风险证证券上，这时时风险便全部部消除。但是是绝对的无风风险证券实际际上是不存在在的。另一种种办法是套期期保值，它本本思想是在现现货和衍生工工具市场上进进行数量相等等、方

13、向相反反的操作，使使它们互为消消长。 第二节 证券组合的的风险和收益益 证券投资资的收益率是是一个遵循某某一概率分布布的随机变量量，要了解其其真实分布是是很困难的，一一种简化的方方法是用分布布的两个特征征期望收益益率和方差来来描述。单一一证券的收益益率和风险我我们用期望收收益率和方差差来计量，一一个证券组合合由一定数量量的单一证券券构成，每一一个证券占有有一定的比例例，我们也可可将证券组合合视为一只证证券。那么，证证券组合的收收益率和风险险也可用期望望收益率和方方差来计量。不不过，证券组组合的期望收收益率和方差差可通过由其其构成的单一一证券的期望望收益率和方方差来表达。我我们以下讨论论两种证券

14、的的组合。一、两种证券券组合的收益益率和方差设有两种证券券A和B，某某投资者将一一笔资金以的的比例投资于于证券A，以以的比例投资资于证券B，且且1，称该该投资者拥有有一个证券组组合P。如果果到期时，证证券A的收益益率为，证券券B的收益率率为，则证券券组合P的收收益率为： 证券组合中中的权数可以以为负，比如如0，则表表示该组合卖卖空了证券AA，并将所得得的资金连同同自有资金买买入证券B，因因为1，故有有1。投资者在进行行投资决策时时并不知道和和的确切值，因因而、应为随机变变量，对其分分布的简化描描述是它们的的期望值和方方差。为得到到投资组合PP的期望收益益率和收益率率的方差，我我们除了要知知道A

15、、B两两种证券各自自的期望收益益率和方差外外，还须知道道它们的收益益率之间的关关联性相关系数数或协方差，这这是因为： （7，1） （77，2） 选择不不同的组合权权数，可以得得到包含证券券A和证券BB的不同的证证券组合，从从而得到不同同的期望收益益率和方差，投投资者可以根根据自己对收收益率和方差差(风险的)的偏好，选选择自己最满满意的组合。二、两种证券券组合的图形形如果用前述两两个数字特征征期望收益益率和标准差差来描述一种种证券，那么么任意一种证证券可用在以以期望收益率率为纵坐标和和标准差为横横坐标的坐标标系中的一点点来表示，相相应地，任何何一个证券组组合也可以由由组合的期望望收益率和标标准差

16、确定出出坐标系中的的一点，这一一点将随着组组合的权数变变化而变化，其其轨迹将是经经过A和B的的一条连续曲曲线，这条曲曲线称为证券券A和证券BB的结合线。可可见结合线实实际上在期望望收益率和标标准差的坐标标系中描述了了证券A和证证券B所有可可能的组合。根据式(5，11)和(5，22)及1，A、BB的证券组合合P的结合线线由下述方程程所确定： （7，33） （7，44）给定证券A、BB的期望收益益率和方差，证证券A与证券券B的不同的的关联性将决决定A、B的的不同的结合合线。1、完全正相关关下的结合线线在完全正相关关下，方程程(5，3)(5，4)变为： 假定不允允许卖空，即即，则： （7，5）因为，

17、与是线性性关系，而与与是线性关系系，所以，与与之间也是线线性关系。为为了得到该直直线，令，则则，得到直线线上的一点；令，则，得到直线线上的另一点点，连接这两两点得一直线线，见（图55，1）。 A F BB 0 图（7，11）时的结合合线假设证券A与BB风险状况不不同，即 (此时A、BB不会落在一一条垂直于横横坐标的直线线上)，由式式(5，5)，令解得： （77，6）在图（7，11）中，故故0，为得得到无风险组组合，需卖空空证券B，卖卖空占自有资资金的比例是是，无风险组组合将落在自自A到B连线线的延长线的的F点上。将式(5，66)代入式(5，3)得得无风险收益益率为： 所以图（77，1）中，无无

18、风险组合的的坐标为 （00，）。 综上所述述，在A、BB完全正相关关的情形下，只只要，无论将将来证券A和和证券B的收收益率状况如如何，总可以以选择组合得得到一个恒定定的无风险收收益率，我们们称该组合为为一个无风险险组合或0方方差组合。为为了得到这个个无风险组合合，要卖空方方差较小的证证券。因为证证券A与B完完全正相关时时，它们完全全同向变化，通通过卖空一种种证券，使得得它们成为完完全反向的证证券，从而可可以通过组合合抵消风险。2、完全负相相关下的结合合线在完全负相关关情况下，1，方程程(5，3)和(5，44)变为： （7，77）这时，与是分分段线性关系系，其结合线线如图（7，22）。 A B

19、0 图（77，2）时的的结合线 从图（7，22）可以看出出，在完全负负相关的情况况下，按适当当比例买入证证券A和证券券B可以形成成一个无风险险组合，得到到一个稳定的的收益率。这这个适当比例例通过令式(5，7)中中0得到： 因为均大于00，所以必须须同时买入证证券A和B，这这一点很容易易理解，因为为证券A和BB完全负相关关，二者完全全反向变化，因因而同时买入入两种证券可可抵消风险。所所能得到的无无风险收益率率为： 3、不相关情情形下的结合合线当证券A与BB的收益率不不相关时，0，方程(5，3)和和(5，4)变为： （7，8）该方程确定的的与的曲线是一一条经过A和和B的双曲线线，如图（77，3）：

20、 A B 图（77，3）时的的结合线为了得到方差差最小的证券券组合，对（77，8）求极极小值： 令，解出： 显然有，分别别以买入证券券A和B，可可获得最小方方差，即可以以通过按适当当比例买入两两种证券，获获得比两种证证券中任何一一种风险都小小的证券组合合。图（7，3）中中，C点为最最小方差组合合。结合线上上介于A与BB之间的点代代表的组合由由同时买入证证券A和B构构成，越靠近近A，买入AA越多，买入入B越少。而而A点的东北北部曲线上的的点代表的组组合由卖空BB，买入A形形成，越向东东北部移动，组组合中卖空BB越多；反之之，B的东南南部曲线上的的点代表的组组合由卖空AA，买入B形形成，越向东东南

21、部移动，组组合中卖空AA越多。三、结合线的的一般情形及及性质现在讨论一般般的情况，在在不完全相关关的情形下，由由于，方程(5，3)、(5，4)不不会有任何简简化，方程(5，3)、(5，4)在在一般情形下下所确定的曲曲线是一 条条双曲线。相相关系数决定定结合线在AA与B之间的的弯曲程度，随随着的增大，弯弯曲程度将降降低。当时，弯弯曲程度最小小，呈直线；当时，弯曲曲程度最大，呈呈折线；不相相关是一种中中间状态，比比正完全相关关弯曲程度大大，比负完全全相关弯曲程程度小。 A E BB 0 图（7，4）相相关系数不同同的证券组合合 从结合线线的形状来看看，相关系数数越小，在不不卖空的情况况下，证券组组

22、合可获得越越小的风险，特特别是负完全全相关的情况况下，可获得得无风险组合合。在不相关关的情况下，虽虽然得不到一一个无风险组组合，但可得得到一个组合合，其风险小小于A、B中中任何一个单单个证券的风风险。当A与与B的收益率率不完全负相相关时，结合合线在A，BB之间比不相相关时更弯曲曲，因而能找找到一些组合合(不卖空)使得风险小小于A和B的的风险，比如如图（7，44）中的情形形。但图中时时，则得不到到一个不卖空空的组合使得得风险小于单单个证券的风风险。可见不不卖空的情况况下，组合降降低风险的程程度由证券间间的关联程度度决定。实际上可以证证明：设，当当且仅当时，才才能在不卖空空的情况下获获得一些组合合

23、，使其风险险小于单个证证券的风险；当时，将资资金全部投资资于单个证券券B(即)时时风险最小；如果，则必必须卖空证券券B才能获得得某些组合，使使得风险小于于单个证券的的风险。从整整体上看，如如果不允许卖卖空，越小，在在同等风险的的情况下，证证券组合的期期望收益率越越大；或从另另一角度来说说，在相同的的期望收益率率下，承担的的风险越小。由由此可见，证证券间的相关关性越小，证证券组合创造造的潜在收益益率越大。 第三节 证券组合合的可行域及及有效域 一、证证券组合的期期望收益率和和方差这里将把两个个证券的组合合的讨论拓展展到任意多个个证券的情形形。设有N种种证券，记作作，证券组合合P（）表表示将资金分

24、分别以权数，投投资到证券。如如果允许卖空空，则权数可可以为负，负负的权数表示示卖空相应证证券占总资金金的比例。正正如两种证券券的投资组合合情形一样，证证券组合的收收益率等于各各单个证券的的收益率的加加权平均。即即：设的收益益率为(i1，2 ，N)，则证券组合P()的收益率为： 推导可得得证券组合PP的期望收益益率和方差为为： （7，99） （7，110） 式中，为为的收益率的方方差；为与的相关系数数(i、j1，22，N)。 由式(55，9)和（7，110）可知，要要估计和，当N非常常大时，计算算量十分巨大大，在计算机机技术尚不发发达的20世世纪50年代代，证券组合合理论不可能能运用于大规规模市

25、场，只只有在不同种种类的资产间间，如股票、债债券、银行存存单之间分配配资金时，才才可能运用这这一理论。220世纪600年代后，马马柯维茨的学学生威廉.夏普提出了了指数模型以以简化计算，随随着计算机技技术的发展，已已开发出计算算和的计算机运运用软件，如如Matlaab、SPSS和Eviewws等，大大大方便了投资资者。二、证券组合合的可行域 在允许卖卖空的情况下下，如果只考考虑投资于两两种证券A和和B，投资者者可以在结合合线上获得任任意自己满意意的位置，即即结合线上的的组合均是可可行的(合法法的)。如果果不允许卖空空，则投资者者只能在结合合线上介于AA、B之间(包括A和BB)获得一个个组合，因而

26、而投资组合的的可行域就是是结合线上的的AB曲线段段。现在假设设可供选择的的证券有三种种：A、B和和C，这时，可可能的投资组组合便不再局局限于一条曲曲线上，而是是坐标系中的的一个区域，如如图（7，55）。在不允允许卖空的情情况下，A、BB、C三种证证券所能得到到的所有合法法组合将落入入并填满坐标标系中结合线线AB、BCC、AC围成成的区域，该该区域称为不不允许卖空时时证券A、BB和C的证券券组合可行域域。每一个合合法的组合称称为一个可行行组合。为什什么说图（77，5）中的的区域都是可可行组合呢?区域内的每每一点可以通通过三种证券券组合得到，比比如区域内的的F点可以通通过证券C与与某个A与BB的组

27、合D的的再组合得到到。 A D F CC B 0 图（77，5）不允允许卖空时三三种证券组合合的可行域如果允许卖空空，三种证券券组合的可行行域不再是如如图（7，55）的有限区区域，而是包包含该有限区区域的一个无无限区域(图图5，6)。本本节将阐述任任意有限种证证券组合的期期望收益率和和方差以及在在E坐标系中的的可行域的特特征。 E A B 0 图（7，66）允许卖空空时三种证券券组合的可行行域 证券组合的的可行域是所所有合法证券券组合构成的的E坐标系中的的一个区域。这这个区域的形形状依赖于可可供选择的单单个证券的特特征（和）以及它们们收益率之间间的相互关系系（），还依依赖于投资组组合中权数的的

28、约束，比如如，权数除满满足基本约束束以外，还满满足约束，和为投资比例例的上、下限限，约束表明明()局限于于N维空间的的有限区域，这这时可行组合合将局限于EE坐标系中的的一个有限区区域内，最常常见的约束是是不允许卖空空，即要求权权数()满足足，最极端的的情况是允许许对任意证券券无限制地卖卖空，也就是是权数除满足足基本约束之之外没有其他他约束。可行域满足一一个共同的特特点：左边缘缘必然向外凸凸或呈线性，也也就是说不会会出现凹陷。图图（7，7）左左边缘自W到到V之间出现现凹陷，由于于W、V是可可行组合，WW与V的组合合也是可行的的，而W、VV的结合线是是连接W、VV的直线段，或或者是向外弯弯曲的曲线

29、，WW、V的组合合作为一个可可行组合却落落在图中区域域的右面，因因而该区域不不可能是一个个可行域。 E V WW 0 图图（7，7）可可行域外凸或或线性三、投资者的的共同偏好与与有效组合 证券组组合的可行域域表示了所有有可能的证券券组合，它为为投资者提供供了一切可行行的投资组合合机会，投资资者需要做的的是在其中选选择自己最满满意的证券组组合进行投资资，不同的投投资者由于对对期望收益率率和风险的偏偏好有区别，因因而他们所选选择的最佳组组合将不同。但但投资者的偏偏好具有某些些共性，在这这个共性下，某某些证券组合合将被所有投投资者视为差差的，因为按按照偏好的共共性总存在比比它更好的证证券组合，我我们

30、需要把大大家都认为差差的证券组合合剔除掉。 大量事实表表明，投资者者普遍喜好期期望收益率而而厌恶风险，因因而人们在投投资决策时希希望期望收益益率越大越好好，风险越小小越好。这种种态度反映在在证券组合的的选择上可由由下述规则来来描述：(11)如果两种种证券组合具具有相同的收收益率方差，和和不同的期望望收益率，即即而，那么投资资者选择期望望收益率高的的组合，即AA，马柯维茨茨把它称为“不满足假设设”；(2)如如果两种证券券组合具有相相同的期望收收益率和不同同的收益率方方差，即，而而那么他选择择方差较小的的组合，即AA，马柯维茨茨把它称为“风险厌恶假假设”。这种选择择原则，我们们称为投资者者的共同偏

31、好好规则。人们在所有可可行的投资组组合中进行选选择，如果证证券组合的特特征由期望收收益率和收益益率标准差来来表示，则投投资者需要在在E坐标系中的的可行域中寻寻找最好的点点，但不可能能在可行域中中找到一点被被所有投资者者都认为是最最好的。按照照投资者的共共同偏好规则则，可以排除除那些被所有有投资者都认认为差的组合合，我们把排排除后余下的的这些组合称称为有效证券券组合。根据据有效组合的的定义，有效效组合不止一一个，描绘在在可行域的图图形中，如图图（7，8）粗粗实线部分，它它是可行域的的上边缘部分分，我们称它它为有效边缘缘。对于可行行域内部及下下边缘上的任任意可行组合合，均可以在在有效边缘上上找到一

32、个有有效组合比它它好。但有效效边缘上的不不同组合，比比如B和C，按按共同偏好规规则不能区分分好差。因而而有效组合相相当于有可能能被某位投资资者选作最佳佳组合的候选选组合，不同同投资者可以以在有效边缘缘上获得任一一位置。作为为一个理性投投资者，且厌厌恶风险，则则他不会选择择有效边缘以以外的点。此此外，A点是是一个特殊的的位置，它是是上边缘和下下边缘的交汇汇点，这一点点所代表的组组合在所有可可行组合中方方差最小，因因而被称作最最小方差组合合。 E C B A 00 图（7，88）有效边缘缘四、有效边缘的的确定 确定有有效边缘的方方法很多，这这里介绍的一一种方法是确确定左边缘，左左边缘的顶部部即为有

33、效边边缘。左边缘缘上任何一点点均对应于某某个给定期望望收益率下的的最小方差组组合，因而也也称左边缘为为最小方差集集合，求解最最小方差集合合就是求解优优化问题: 对每一个个给定的期望望收益率值，求求解上述问题题得一组解（），该组合为给定下的最小方差组合。取遍所有可能值，则可得到最小方差集合。这部分将借助于图形阐述这种方法，有利于获得更直观的认识，但图形方法只能在三种证券组合的情况下进行，一般情况与之完全一样。（一）允许卖卖空时求最小小方差集合设有三种证券券A、B、CC，其期望收收益率分别为为：、，三种证券券收益率的方方差为：、，三种证券券收益率的协协方差为：、 1 R 0 S 1 T 图（77，

34、9）三种种证券组合的的比例在图（7，99）中，画出出了三种证券券的组合中证证券A、B的的权数和，而证券CC的权数在图图中见不到，它它的值应为11-。在三角形形内部，组合合将以正的权权数投资于每每一种证券；在三角形的的边线上，刚刚好在两种证证券上投资1100%，第第三种证券上上没有投资也也未卖空；在在三角形顶点点则仅投资于于单个证券，另另外两种证券券未投资亦未未卖空；如果果在三角形以以外获得一位位置，投资组组合中必定有有卖空行为，比比如，在直线线RT上方(东北方向)的任意一点点，我们做了了C的空头，而而在纵轴的左左边，我们做做了A的空头头，在横轴下下方我们做了了B的空头。1、等期望收收益率线对每

35、一个给定定的期望收益益率，获得该该期望收益率率的投资组合合满足等期望望收益率线： 这是一条条直线，称为为等期望收益益率线。给定定不同的，将将得到不同的的等期望收益益率线，所有有的形成一族族等期望收益益率线。等期期望收益率线线的斜率不依依赖于的值，且且为负，因此此不同的等期期望收益率线线之间相互平平行。再者，从从上式可知，越大，直线在横轴上的截距越小，也就是说，直线越向下移，获得的等期望收益率水平越高(图5，10)。 11 0 1 图（7，110）等期望望收益率线2、等方差椭圆圆求一组证券组组合，使它们们具有相同的的收益率方差差。对给定的的，获得方差差的所有证券券组合权数将将满足： 这个关于、的

36、方程在坐标系中形形成一个椭圆圆，这个椭圆圆称为等方差差椭圆。随着着的变化，形形成一系列的的等方差椭圆圆，每一个椭椭圆对应于取取一个特定收收益率方差的的那些证券组组合。越大，椭椭圆就越大，随随着缩小到一一定程度，椭椭圆将收缩到到一点，记作作MVP，所所有椭圆都以以MVP为中中心。MVPP表示的是所所有可行组合合中的最小方方差组合，对对应地，此时时的为最小方方差，至此便便不能再缩小小，因为不可可能有可行组组合能获得比比最小方差更更小的方差，再缩小将导致方程无解(图5，11)。 11 00 1 图（77，11）等等方差椭圆3、最小方差差集合临界线最小方差集合合中每一组合合可以这样来来确定：对每每一个

37、给定的的期望收益率率，寻找具有有该期望收益益率的证券组组合中方差最最小者，我们们可以将等期期望收益率放放到图（7，111）中的等等方差椭圆中中，对每一个个给定的期望望收益率，其其对应的等期期望收益率线线与某个等方方差椭圆相切切，切点表示示该期望收益益率下的最小小方差组合的的权数，如图图（7，122）中，N点点代表期望收收益率为200%时的最小小方差组合，此此时的最小方方差为28%。 1 00 1 图（7，112）最小方方差集合临界线 可以证明明，所有的等等期望收益率率线与等方差差椭圆的切点点形成一条直直线，这条直直线称为临界界线。求最小小方差集合等等价于求临界界线。为此，只只须求出临界界线上的

38、两个个点即可。这这样，我们只只要对两个给给定的期望收收益率，分别别求出相应的的两条等期望望收益率线与与等方差椭圆圆的切点，连连接这两个切切点的直线即即为临界线。下面介绍一种种试定法求解解切点步骤，其其具体计算要要借助于计算算机。(1)指定一一期望收益率率 (比如220%)；(2)任意指指定 (比如如0)；由计算出，即得得期望收益率率线上的一点点(，)；(4)将，代代入组合方差差公式： 计算出；(5)改变的的值，则我们们在该等期望望收益率线上上移至另一点点，重复(22)至(4)，算得另一一个；(6)比较上上述两个方差差，如果方差差增加，表明明在等期望收收益率线上移移错方向，应应改变方向，如如果方

39、差减少少，表明移动动方向正确，沿沿该方向继续续移动(即回回到(5)，直直到某个位置置方差又开始始增加，表明明已越过了切切点，因此必必须往回调整整，在前两个个位置之间重重新确定位置置。总之，我我们通过改变变，在等期望望收益率线上上移动，使得得方差越来越越小，直到方方差的变化可可以忽略为止止。比如，在图（77，13）中中，我们从DD点出发移至至E，F等，直直至移到N附附近。此外，由于等等方差椭圆将将与两条等期期望收益率线线相切，在这这两个切点中中，期望收益益率较高的切切点位于最小小方差集合中中的上边缘，期期望收益率低低的切点位于于下边缘，因因而临界线上上位于点MVVP左边的部部分与有效边边缘对应

40、，它它表示有效组组合的权数。（二）不允许卖卖空时的最小小方差集合 如果果不允许卖空空任何证券，每每种证券的权权数介于0和和1之间，这这意味着必须须在图（7，113）中三角角形边界或三三角形内获得得位置。在上上一部分中，临临界线穿过三三角形，落于于三角形内的的那一段未卖卖空任何证券券，因而与不不允许卖空情情形是一致的的,如图（77，13)中中的QZ线段段。 1 R Q Z S 0 1 T 图（7，113）不卖空空的临界线现在从Z点开开始分析，ZZ点对应的投投资组合位于于图（7，114）弹丸形形边缘的下半半部分的Z点点，它是证券券A与B的组组合，所以它它位于A与BB的结合线上上。当在图（77，13

41、）中中从Z沿临界界线移至Q点点时，在图（77，14）的的最小方差集集合上，也从从Z移到了QQ点。最小方方差集合在这这一段与允许许卖空的情形形一样。当移移到了Q点以以后，便不能能沿临界线向向Q的西北方方向移动(这这将会出现卖卖空)，那么么我们将面临临三种选择 ：(1)沿沿三角形边界界向R移动；(2)沿三三角形边界向向S移动；(3)向三角角形内移动。首先，如果选选择(1)，将将在图（7，114）中沿BB与C的结合合线向B移动动，而这一段段结合线并不不在最小方差差集合上。其其次，如果选选择(3)，由由于三角形内内的任何一点点，在其相应应的等期望收收益率线上，越越靠近临界线线，方差越小小，因而三角角形

42、内的组合合如不在临界界线上，不可可能获得最小小方差。 E Q CC MVVP B Z A 0 图（7，114）不卖空空的最小方差差集合剩下只有选择择(2)，沿沿边界和向下下朝S点移动动。这时在图图（7，144）中，我们们沿B与C的的结合线从QQ点向C点移移动，这些组组合，在不允允许卖空的情情况下能获得得最小方差，由由于不允许卖卖空，沿此方方向到C点后后便不能再向向前移动。现在我们再看看最小方差集集合从C穿越越Q到Z以后后再走向何处处。在图（77，13）中中，如果从ZZ沿三角形边边界向R移动动，则在图（77，14）中中，我们沿AA，B的结合合线向B移动动，这些组合合不在最小方方差集合中。因因而在

43、图（77，13）中中选择从Z沿沿边界向T移移动，则对应应地在图（77，14）中中，我们便从从Z沿A、BB的结合线移移向A点，在在不允许卖空空的情况下，这这些组合在最最小方差集合合中。综上所述，在在不允许卖空空的情况下，所所述三种证券券组合的临界界线是从S沿沿三角形边界界移至Q，从从Q移至Z与与允许卖空情情形一致。再再从Z沿三角角形边界移至至T。对应地地，最小方差差集合是从证证券C的位置置出发，穿越越Q点和Z点点最后到达证证券A。 第四节 最最优证券组合合一、投资者的个个人偏好与无无差异曲线按照投资者的的共同偏好规规则，有些证证券组合之间间不能区分好好差，其根源源在于投资者者个人除遵循循共同的偏

44、好好规则外，还还有其特殊的的偏好。那些些不能被共同同偏好规则区区分的组合，不不同投资者可可能得出完全全不同的比较较结果。共同同规则不能区区分的是这样样的两种证券券组合A和BB。 而而 E A B 0 图（77，15）共共同偏好规则则不能区分的的组合如图（7，115），证券券组合A虽然然比B承担着着大的风险，但但它同时带来来更高的期望望收益率，这这种期望收益益率的增量可可认为是对增增加的风险的的补偿。由于于不同投资者者对期望收益益率和风险的的偏好不同，当当风险从增到到时，期望收收益率将补偿偿，是否满足足投资者个人人的风险补偿偿要求因人而而异，从而按按照他们各自自不同的偏好好对两种证券券作出不同的

45、的比较结果。投资者甲（中中庸）认为：增加的期望望收益率恰好好能补偿增加加的风险，所所以A与B两两种证券组合合的满意程度度相同，证券券A与证券BB无差异；投投资者乙（保保守）认为：增加的期望望收益率不足足以补偿增加加的风险，所所以A不如BB更令他满意意；投资者丙丙（进取）认认为：增加的的期望收益率率超过对增加加风险的补偿偿，所以A更更令人满意，即即A比B好。在在同样风险状状态下，要求求得到期望收收益率补偿越越高，说明该该投资者对风风险越厌恶。上上述三位投资资者中乙最厌厌恶风险，因因而他最保守守；甲次之；丙对风险厌厌恶程度最低低，最具冒险险精神。 一个特定的的投资者，任任意给定一个个证券组合，根根据他对风险险的态度，按按照期望收益益率对风险补补偿的要求，可可以得到一系系列满意程相相同(无差异异)的证券组组合。比如图图（7，166）中，某投投资者认为经经过A的那一一条曲线上的的证券组合对对他的满意程程度相同，那那么