概率论与数理统计第一章5,6 节课件

1、5 条 件 概 率一 条 件 概 率二 乘 法 定 理三 全概率公式和贝叶斯公式第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1. 条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) P(A) 第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录P(A )=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点， B=掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子 已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集

2、合就是B，于是P(A|B)= 1/3. B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，容易看到P(A|B)第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件. 这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.下面给出条件概率的定义第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录 若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1). 设A、

3、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1)2. 条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.3.条件概率的性质：第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录5条件概率 2)直接法：从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算1) 用定义计算:P(B)0 掷骰子例：A=掷出2点， B=掷出偶数点P(A|B）=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数例 3 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率 而 所求概率为解：设 A= 3个小孩至少有一个女孩 B= 3个小孩至少有一个男孩 第一章 概率论的基本概念退 出前

4、一页后一页目 录二、乘法公式由条件概率的定义 我们得这就是两个事件的乘法公式第一章 概率论的基本概念5条件概率1）两个事件的乘法公式：退 出前一页后一页目 录2）多个事件的乘法公式 则有这就是n个事件的乘法公式 第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录 例 4 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i

5、 次落下打破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录1）全 概 率 公 式：设随机事件第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录全概率公式的证明：由条件：得而且由A1A2An.BA1BA2.BAnS第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录全概率公式的证明（续）所以由概率的可加性，得得第一章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录全概率公式的使用：我们把事件B 看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率第一

6、章 概率论的基本概念5条件概率退 出前一页后一页目 录 例5 某小组有20名射手，其中一、二、三、四 级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、 三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率 解：由全概率公式，有第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录2）贝叶斯（Bayes）公式第一章 概率论的基本概念5条件概率设随机事件则有：退 出前一页后一页目 录例 6 用某种方法普查肝癌，设： A= 用此方法判断被检查者患有肝癌 ， D= 被检查者确实患有肝癌 ， 已知现有一人用此法检验患有肝癌，

7、求此人真正患有肝癌的概率第一章 概率论的基本概念5条件概率说明：全概率公式， Bayes公式中 可以是退 出前一页后一页目 录例 6（续）解： 由已知，得 所以，由Bayes公式，得第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念5条件概率说明：乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式非常重要，在运用时关键是找到样本空间的划分。退 出前一页后一页目 录一、独立性的定义例 1 袋中有 a 只黑球，b 只白球每次从中取出 一球，令： A = 第一次取出白球 ， B = 第二次取出白球 ，分有放回和不放回情形讨论第一章 概率论的基本概念6 独 立 性同理（1）有放回情形：退 出前一页

8、后一页目 录所以，由第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录（2）不放回情形：所以，第一章 概率论的基本概念同理退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念由此例题你会得到什么结论？退 出前一页后一页目 录说 明由例 1，可知，两种情形中都有这表明，在有放回情形，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独立性由此，我们引出事件独立性的概念第一章 概率论的基本概念在不放回情形有：在有放回情形有：在不放回情形，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是有影响的，即事件 A 与 B 呈现出不独立性退 出前一页后一页目 录()()AB

9、PBP=()()ABPBP定义：设 A、B 是两个随机事件，如果 则称 A 与 B 是相互独立的随机事件二、事件独立性的性质：1）如果事件A 与 B 相互独立，而且()()()(APABPABPBP=第一章 概率论的基本概念2）必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件与任意随机事件A相互独立3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则也相互独立.证明：为方便起见，只证相互独立即可这个性质很重要！由于退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直

10、接应用定义中的公式进行计算。退 出前一页后一页目 录例 2设事件 A 与 B 满足：若事件 A 与 B 相互独立，则 AB；（逆否命题若 AB =，则事件 A 与 B 不相互独立证明：第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录由于AB =，所以但是，由题设这表明，事件 A 与 B 不相互独立第一章 概率论的基本概念此例说明：互不相容与相互 独立不能同时成立。退 出前一页后一页目 录三、多个事件的独立性设A、B、C是三个随机事件，第一章 概率论的基本概念1）三个事件的独立性：则称A、B、C是相互独立的随机事件注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立推不出最后

11、一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立试想：n个随机事件的独立性的定义及性质。如果退 出前一页后一页目 录例 3 袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色现从袋中任意取出一球，令： A= 取出的球涂有红色 B= 取出的球涂有白色 C= 取出的球涂有黑色 则：第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录由此可见但是这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录2）n个事件的相互独立性：第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录说 明在上面的公式中，第一章

12、概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念3）独立随机事件的性质：则：（1）其中任意 个随机事件也相互 独立；退 出前一页后一页目 录若 是相互独立的事件，则4）相互独立事件至少发生其一的概率的计算：第一章 概率论的基本概念在本章第2节介绍了下面这个公式在独立的条件下有：退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念注 意退 出前一页后一页目 录特别地，如果()()()pnAPAPAP=L21则有,时当n()npniiAP-=111U1第一章 概率论的基本概念此例说明：小概率事件虽然在一次试验中几乎是不发生的，但是迟早要发生。不论 p 多么小退 出前一页后一页目 录3）

13、2）1）n例4 如果构成系统的每个元件的可靠性均为r，0r1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性：第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录 1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各元件都正常工作，故可靠性为 第一章 概率论的基本概念2）一条通路发生故障的概率为两条通路同时发生故障的概率为故系统的可靠性为即附加通路可使系统可靠性增加。3）每对并联元件的可靠性为系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为由数学归纳法可证明当解：退 出前一页后一页目 录例 5 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合

14、的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。 LR2134 解 ： 设事件 Ai ( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为： 由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互独立性，得到 第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录 例 6 要验收一批 ( 100 件) 乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取 3 件测试 ( 设 3 件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。不纯 纯 纯q纯、 纯 、纯 接受ppH1：纯 纯 纯纯、纯 、纯 接受pppH0：设一件音色不纯的乐器被测试出

15、来的概率为 0.95，而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为 0.01。如果这件乐器中恰有 4 件是音色不纯的，问这批乐器被接受的概率是多少？ p =1-0.01=0.99, q =1-0.95=0.05退 出前一页后一页目 录p =1-0.01=0.99, q =1-0.95=0.05解：以 Hi ( i=0,1,2,3 )表示事件“随机取出的 3 件乐器中恰有 i 件音色不纯”，以 A 表示事件“这批乐器被接受”，即 3 件都被测试为音色纯的乐器。H2：不纯 纯 不纯q纯、 纯 、纯 接受pq不纯、不纯、 不纯q纯、 纯 、纯 接受qqH3：第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录

16、p=1 -0.01=0.99, q=1-0.95=0.05纯、纯 、纯纯、纯 、纯 接受不纯 纯 、纯纯、纯 、纯 接受不纯纯不纯纯、纯 、纯 接受不纯纯、纯 、纯 接受H0 H1 H2 H3 pppqqqqqqppp第一章 概率论的基本概念不纯不纯由全概率公式有由测试的相互独立性得 ：退 出前一页后一页目 录另外，第一章 概率论的基本概念代入公式有退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念本节要点：1）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义；2）两个事件的独立性及多个事件的独立性的性质；3）在独立性条件下，求n个事件至少发生一个的 概率公式：注意：独立事件与互不相容事件的区别与关系； 两两独立与相互独立的区别。退 出前一页后一页目 录第一章：小结随机事件：样本空间，样本空间的划分，事件的关系，事件的运算，事件的互不相容，事件的独立性。事件的概率：概率的定义及性质，古典概率，几何概率（略），条件概率加法公式，乘法公式，全概率公式，bayes公式习题P34，20：某种产品的商标是“MAXAM” 其中有两个字母脱落，有人拣起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的 概率？解： P33,11,将3个球随机的放入4个杯子中去，求杯子中求的最大个数是1，2，3的概率是多少？P杯子中求的最大个数为1=P杯子