福建省泉州市泉港一中学2023学年数学九年级第一学期期末考试试题含解析

1、2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1如图，直线与双曲线交于、两点，过点作轴，垂足为，连接，若，则的值是（ ）A2B4C-2D-42如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N，设EPQ、GKM、BNC的面积依次为S1、S2、S1若S1+S1=10，则S2的值为（ ）A6B8C10D123

2、如图，抛物线交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：点C的坐标为（0，m）；当m=0时，ABD是等腰直角三角形；若a1，则b4；抛物线上有两点P(，)和Q(，)，若1，且2，则其中结论正确的序号是（ ）ABCD4如图，以AB为直径的O上有一点C，且BOC50，则A的度数为（）A65B50C30D255下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）ABCD6矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（）ABCD7为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房建设力度年市政府共投资亿元人民币建设廉租房万

3、平方米，预计到年底三年共累计投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率都为，可列方程（ ）ABCD8如图，AB是O的弦，AC是O的切线，A为切点，BC经过圆心，若B25，则C的大小等于( )A25B20C40D509如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）ABCD10如图，是坐标原点，菱形顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，则的值为（ ）ABCD二、填空题(每小题3分,共24分)11已知等边ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将ABP绕点A逆时针旋转

4、60得到ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是_12如图，在扇形中，正方形的顶点是的中点，点在上，点在的延长线上，当正方形的边长为时，则阴影部分的面积为_.（结果保留）13若a是方程x2x10的一个根，则2a22a5_14二次函数y=ax1+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x=1，下列结论：4a+b=0；9a+c3b； 8a+7b+1c0；若点A（3，y1）、点B（ ，y1）、点C（ ，y3）在该函数图象上，则y1y3y1；若方程a（x+1）（x5）=3的两根为x1和x1，且x1x1，则x115x1其中正确的结论有_个15如图，二次函数的图象

5、与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，若点P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为_.16如图，正方形ABCD内接于O，O的半径为6，则的长为_17若关于x的一元二次方程x22kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为_18如图，O的直径AB=20cm，CD是O的弦，ABCD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD的长是_ cm三、解答题(共66分)19（10分）如图1，四边形ABCD中，点P为DC上一点，且，分别过点A和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F证明：；若，求的值；如图2，若，设的平分线AG交直线BP于当，时，求线段A

6、G的长20（6分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”理解：（1）如图1，已知RtABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，ABC=80，ADC=140，对角线BD平分ABC求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，EFH=HFG=30，连接EG，若EFG的面积为2，求FH的长21（6分）如图，矩形

7、OABC中，A（6，0）、C（0，）、D（0，），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足PQO=60（1）点B的坐标是 ；当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ； （2）设点P的横坐标为x，OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式及相应的自变量x的取值范围22（8分）社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为640平方米.（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，

8、可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？23（8分）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，ADDC于D，且AC平分DAB延长DC交AB的延长线于点P（1）求证：PC2PAPB；（2）若3AC4BC，O的直径为7，求线段PC的长24（8分）ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作MDN=B,（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE相似的三角形（2）如图（2），将MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重

9、合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当DEF的面积等于ABC的面积的时，求线段EF的长25（10分）如图，直线yx+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线yax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（2，1）（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；（3）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ2MN，直接写出点M的坐标26（10分）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直

10、线交于B，C两点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求ABC的面积； （3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】由题意得:，又,则k的值即可求出.【详解】设,直线与双曲线交于A、B两点,，,则.又由于反比例函数位于一三象限,故.故选A.【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为,是经常考查的一个知识点.2、D【分析】根据矩形的性质和平行四边形的性质判断出AQ

11、EAMGACB，得到,，再通过证明得到PQEKMGNCB，利用面积比等于相似比的平方，得到S1、S2、S1的关系，进而可得到答案.【详解】解：矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AE=EG=GB=DF=FH=HC，AEQ=AGM=ABC=90，ABCD,ADEFGHBCAQE=AMG=ACB, AQEAMGACB，,EG= DF=GB=FH ABCD,（已证）四边形DEGF，四边形FGBH是平行四边形，DEFGHBQPE=MKG=CNB，PQEKMGNCB， S1+S1=10，S2=2故选：D【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、三角形相似的性质的综合应用，能找到对应边的比是解答此题

12、的关键3、C【分析】根据二次函数图像的基本性质依次进行判断即可.【详解】当x=0时，y=m，点C的坐标为（0，m），该项正确；当m=0时，原函数解析式为：，此时对称轴为：，且A点交于原点，B点坐标为：（2，0），即AB=2，D点坐标为：（1，1），根据勾股定理可得：BD=AD=,ABD为等腰三角形，,ABD为等腰直角三角形，该项正确；由解析式得其对称轴为：，利用其图像对称性，当若a1，则b3，该项错误；2，又1，-11-1，Q点离对称轴较远，该项正确；综上所述，正确，错误，故选：C.【点睛】本题主要考查了二次函数图像解析式与其函数图像的性质综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.4、D【分析】根

13、据圆周角定理计算即可【详解】解：由圆周角定理得，故选：D【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半5、B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【详解】A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；C不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意故选：B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转1

14、80度后两部分重合6、C【解析】由题意得函数关系式为，所以该函数为反比例函数B、C选项为反比例函数的图象，再依据其自变量的取值范围为x0确定选项为C7、B【分析】根据1013年市政府共投资1亿元人民币建设了廉租房，预计1015年底三年共累计投资亿元人民币建设廉租房，由每年投资的年平均增长率为x可得出1014年、1015年的投资额，由三年共投资9.5亿元即可列出方程【详解】解：这两年内每年投资的增长率都为，则1014年投资为1（1+x）亿元，1015年投资为1（1+x）1亿元，由题意则有，故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用增长率问题，正确理解题意是解题的关键.若原来的数量为a，平均每次

15、增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a（1x），再经过第二次调整就是a（1x）（1x）=a（1x）1增长用“+”，下降用“-”.8、C【解析】连接OA，根据切线的性质，即可求得C的度数【详解】如图，连接OAAC是O的切线，OAC90OAOB，BOAB25，AOC50，C40故选C【点睛】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点9、D【分析】根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断.【详解】第三个图形是三角形，将第三个图形展开，可得，即可排除答案A，再展开可知两个短边正对着，选择答案D，排除B与C故选D【点晴】此题主要考查矩形的折叠

16、，解题的关键是熟知折叠的特点.10、C【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可【详解】，四边形OABC是菱形，AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为，故B的坐标为：，将点B的坐标代入得，解得：故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】根据旋转的性质，即可得到BCQ120，当DQCQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值【详解】解：如图，由旋转可得ACQB60，又ACB60，BCQ120，点D是AC边的中点，

17、CD2，当DQCQ时，DQ的长最小，此时，CDQ30，CQCD1，DQ，DQ的最小值是，故答案为【点睛】本题主要考查线段最小值问题，关键是利用旋转、等边三角形的性质及勾股定理求解12、【分析】连结OC，根据等腰三角形的性质可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解【详解】解：连接OC，在扇形AOB中AOB=90，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，COD=45，OC=CD=4，阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积=-44=4-1，故答案为4-1【点睛】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度

18、13、1【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入方程x2-x-1=0，列出关于a的一元二次方程，通过解方程求得a2-a的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可【详解】根据题意，得a2-a-1=0，即a2-a=1；2a2-2a+5=2（a2-a）+5=21+5=1，即2a2-2a+5=1故答案是：1【点睛】此题主要考查了方程解的定义此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值14、2【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案【详解】由对称轴可知：x1，4ab0，故正确；由

19、图可知：x2时，y0，9a2bc0，即9ac2b，故错误；令x1，y0，abc0，b4a，c5a，8a7b1c8a18a10a20a由开口可知：a0，8a7b1c20a0，故正确；点A（2，y1）、点B（ ，y1）、点C（ ，y2）在该函数图象上，由抛物线的对称性可知：点C关于直线x1的对称点为（，y2），2，y1y1y2故错误；由题意可知：（1，0）关于直线x1的对称点为（5，0），二次函数yax1bxca（x1）（x5），令y2，直线y2与抛物线ya（x1）（x5）的交点的横坐标分别为x1，x1，x1l5x1故正确；故正确的结论有2个答案为：2【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是正

20、确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型15、【分析】连接AC，连接CD，过点A作AECD交于点E，则AE为所求.由锐角三角函数的知识可知PC=PE，然后通过证明CDOAED，利用相似三角形的性质求解即可.【详解】解：连接AC，连接CD，过点A作AECD交于点E，则AE为所求.当x=0时，y=3,C(0,3).当y=0时，0=-x2+2x+3，x1=3，x2=-1，A（-1，0）、B（3，0），OA=1，OC=3，AC=， 二次函数y=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,D(1,0),点A与点D关于y轴对称，sinACO=，由对称性可知，ACO=OCD，PA=PD，CD= AC

21、=，sinOCD=，sinOCD=，PC=PE，PA=PD，PC+PD=PE+PA，CDO=ADE, COD=AED,CDOAED,；故答案为.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，锐角三角函数的知识，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，难度较大，属中考压轴题.16、【分析】同圆或等圆中，两弦相等，所对的优弧或劣弧也对应相等，据此求解即可.【详解】四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，=,的长等于O周长的四分之一，O的半径为6，O的周长=，的长等于，故答案为：.【点睛】本题主要考查了圆中弧与弦之间的关系，熟练掌握相关概念是解题关键.17、【

22、分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】解：一元二次方程x22kx+1-4k=0有两个相等的实数根， ,整理得， ， 当时，故答案为：.【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.18、1【分析】根据垂径定理与勾股定理即可求出答案【详解】解：连接OC，设OE3x，EB2x，OBOC5x，AB20cm10 x20 x2cm，OC=10cm，OE=6cm，由勾股定理可知：CEcm，CD2CE1cm，故答案为：1【点睛】本题考查垂径定理的应用，解题的关键是根据勾股定理

23、求出CE的长度，本题属于基础题型三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】由余角的性质可得，即可证；由相似三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求的值；由题意可证，可得，可求，由等腰三角形的性质可得AE平分，可证，可得是等腰直角三角形，即可求AG的长【详解】证明：，又，又，又，如图，延长AD与BG的延长线交于H点，由可知，代入上式可得，平分又平分，是等腰直角三角形.【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是添加恰当辅助线构造相似三角形20、（1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=2【解析】（1）先求出AB，BC，

24、AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；（2）先判断出A+ADB=140=ADC，即可得出结论；（3）先判断出FEHFHG，得出FH2=FEFG，再判断出EQ=FE，继而求出FGFE=8，即可得出结论【详解】（1）由图1知，AB=，BC=2，ABC=90，AC=5，四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，当ACD=90时，ACDABC或ACDCBA，或，CD=10或CD=2.5同理：当CAD=90时，AD=2.5或AD=10，（2）ABC=80，BD平分ABC，ABD=DBC=40，A+ADB=140ADC=140，BDC+ADB=140，A=BDC，ABDBDC，BD是四边形AB

25、CD的“相似对角线”；（3）如图3，FH是四边形EFGH的“相似对角线”，EFH与HFG相似，EFH=HFG，FEHFHG，FH2=FEFG，过点E作EQFG于Q，EQ=FEsin60=FE，FGEQ=2，FGFE=2，FGFE=8，FH2=FEFG=8，FH=2【点睛】本题考查了相似三角形的综合题，涉及到新概念、相似三角形的判定与性质等，正确理解新概念，熟练应用相似三角形的相关知识是解题的关键.21、（1）（6，），（3，）；（2）【分析】（1）由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；由正切函数，即可求得CAO的度数，由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；（2）分别从当0

26、 x3时，当3x5时，当5x9时，当x9时去分析求解即可求得答案【详解】解：（1）四边形OABC是矩形，AB=OC，OA=BC，A（6，0）、C（0，2），点B的坐标为：（6，2）；如图1：当点Q与点A重合时，过点P作PEOA于E，PQO=60，D（0，3），PE=3，AE=，OE=OA-AE=6-3=3，点P的坐标为（3，3）；故答案为：（6，2），（3，3）； （2）当0 x3时，如图，OI=x，IQ=PItan60=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线lBCOA，EF=此时重叠部分是梯形，其面积为：S梯形=（EF+OQ）OC=（3+x）当3x5时，如图AQ=OIIOOA=x36=

27、x3AH=(x3)S=S梯形SHAQ=S梯形AHAQ=（3+x）当5x9时，如图CEDP S=（BE+OA）OC=（12）当x9时，如图AHPIS=OAAH=综上：【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用22、（1）6;（2）40或400【分析】（1）设通道的宽x米，由图中所示可得通道面积为228x+2(52-2x)x，根据铺花砖的面积+通道面积=总面积列方程即可得答案；（2）设每个车位的月租金上涨a元，则少租出个车位，根据月租金收入为14400元列方程求出a值即可.【详解】（

28、1）设通道的宽x米，根据题意得：228x+2(52-2x)x+640=5228，整理得：x2-40 x+204=0，解得：x1=6，x2=34(不符合题意，舍去).答：通道的宽是6米.（2）设每个车位的月租金上涨a元，则少租出个车位，根据题意得：(200+a)(64-)=14400，整理得：a2-440a+16000=0，解得：a1=40，a2=400.答：每个车位的月租金上涨40元或400元时，停车场的月租金收入为14400元.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出题中的等量关系列出方程是解题关键.23、（1）见解析；（2）PC1【分析】（1）证明PACPCB，可得，即可证明

29、PC2=PAPB；（2）若3AC=4BC，则，由（1）可求线段PC的长【详解】（1）AB是O的直径，ACB=90ADDC于D，且AC平分DAB，PDA=90，DAC=BACPCA=PDA+DAC，PBC=ACB+BAC，PCA=PBCBPC=CPA，PACPCB，PC2=PAPB；（2）3AC=4BC，设PC=4k，则PB=3k，PA=3k+7，(4k)2=3k(3k+7)，k=3或k=0(舍去)，PC=1【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键24、（1）ABD，ACD，DCE（2）BDFCEDDEF，证明见解

30、析；（3）4.【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出ADEABDACDDCE，同理可得：ADEACDADEDCE（2）利用已知首先求出BFD=CDE，即可得出BDFCED，再利用相似三角形的性质得出，从而得出BDFCEDDEF（3）利用DEF的面积等于ABC的面积的，求出DH的长，从而利用SDEF的值求出EF即可【详解】解：（1）图（1）中与ADE相似的有ABD，ACD，DCE（2）BDFCEDDEF，证明如下：B+BDF+BFD=30，EDF+BDF+CDE=30，又EDF=B，BFD=CDEAB=AC，B=CBDFCEDBD=CD，即又C=EDF，CEDDEFBDFCE

31、DDEF （3）连接AD，过D点作DGEF，DHBF，垂足分别为G，HAB=AC，D是BC的中点，ADBC，BD=BC=1在RtABD中，AD2=AB2BD2，即AD2=1023，AD=2SABC=BCAD=32=42，SDEF=SABC=42=3又ADBD=ABDH，BDFDEF，DFB=EFD DHBF，DGEF，DHF=DGF又DF=DF，DHFDGF（AAS）DH=DG=SDEF=EFDG=EF=3，EF=4【点睛】本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔

32、细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用25、（1）yx2+2x+1；（2）5；（3）M（，）或（，）【分析】（1）先求出点B坐标，再将点D，B代入抛物线的顶点式即可；（2）如图1，过点C作CHy轴于点H，先求出点F的坐标，点C的坐标，再求出直线CM的解析式，最后可求出两个交点及交点间的距离；（3）设M（m，m+1），如图2，取PQ的中点N，连接MN，证点P，M，Q同在以PQ为直径的圆上，所以PMQ90，利用勾股定理即可求出点M的坐标【详解】解：（1）在yx+1中，当x0时，y1，B（0，1），抛物线yax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（2，1），可设抛物线解析式为ya（x+2）21，将点B（0，1）代入，得，a，抛物线的解析式为：y（x+2）21x2+2x+1；（2）联立，解得，或，F（5，），点C是BF的中点，xC，yC，C（，），如图1，过点C作CHy轴于点H，则HCB+CBH90，又MCH+HCB90，CBHMCH，又CHBMHC90，CHBMHC，即，解得，HM5，OMOH+MH+5，M（0，），设直线CM的解析式为ykx+，将C（，）代入，得，k2，yCM2x