证明函数fx(多篇)

1、证明函数fx（多篇）一直接作差1（20XX年辽宁文科）设函数f(x)xax2blnx，曲线yf(x)过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2.1）求a，b的值；2）证明：f(x)2x2。（1）解：f(x)=1+2ax1a0b.由已知条件得f(1)0，f(1)=2，即x12ab2解得a1。b3(2)证明:由于f(x)的定义域为（0，+），由（1）知f(x)xx23lnx。设g(x)f(x)(2x2)=2xx3lnx，则g(x)=12x23(x1)(2x3)=。xx当0 x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0。因此g(x)在（0，1）内单一递加，在（1，+）内单一递减。而g(1)=0，故当x0时

2、，g(x)0，即f(x)2x2。总结：直接作差g(x)f(x)(2x2)，用导数得gmax(x)g(1)=0，从而得证。直接作差是证这类题最常用的方法。二分别函数2.（20XX年课标全国卷文科）已知函数f(x)处的切线方程为x2y30。1）求a，b的值；2）证明：当x0，且x1时，f(x)(1)解:略a1，b1。alnxb，曲线yf(x)在点（1，f(1)）x1xlnx。x1lnx1lnx1x21，因此f(x)(2lnx)。（2）证明：由（1）知f(x)=x1xx11x2xx21考虑函数h(x)=2lnx（x0），则x22x2(x21)(x1)2=。h(x)=22xxx因此当x1时，h(x)0

3、，而h(1)0当x（0，1）时，h(x)0，可得，故1h(x)0；21x1h(x)0。当x（1，+）时，h(x)0，可得1x2lnx从而当x0，且x1时，f(x)。x1总结：作差后的函数如可分为两个函数的积，直接求导很繁，可取其中一个函数求导，再谈论证明。三巧妙变形3.（20XX年辽宁文科）已知函数f(x)(a1)lnxax21。1）谈论函数f(x)的单一性；2）设a2，证明：对随意x1，x2（0，+），f(x1)f(x2)4x1x2。解：（1）略。（2）不如设x1x2，由于a2，故f(x)在（0，+）减少。因此f(x1)f(x2)4x1x2等价于f(x2)f(x1)x1-x2，即f(x2)x

4、2f(x1)a12ax2x1。4xa12ax4=令g(x)f(x)x，则g(x)=。于是xx4x24x1(2x1)2(x)0。xx从而g(x)在（0，+）单一减少，故g(x1)g(x2)。即f(x1)x1f(x2)x2，故，对随意x1，x2（0，+），f(x1)f(x2)4x1x2。总结：经过等价变形，结构函数g(x)，利用g(x)的单一性得证。四作函数积12。exex1212证明:对随意的x（0，），lnx1xx(lnx1)x(x)exexeex2设函数f(x)=xlnxx，g(x)=x+。ee111f(x)=lnx2，f(x)=0，得x2，易知fmin(x)=f(2)=2。eee4（.20

5、XX年本溪一中模拟）对随意的x（0，），求证：lnx11exxex，=0，得1，易知=。g(1)g(x)=g(x)g(x)xmaxee2x11，fmin(x)gmax(x)，f(x)g(x)。ee2x212xlnxxx+。因此lnx1x。exeee总结：直接做不好做，不等式两边同乘以一个函数，先进行证明，获取结果后再同除以这个函数，从而证得。第3篇：函数解答题结构函数证明不等式函数解答题-结构函数证明不等式例1（20XX年高考北京卷（理）设L为曲线C:ylnx在点(1,0)处的切线.x(I)求L的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解:(I)设f(x)lnx1lnx

6、,则f(x).因此f(1)1.因此L的方程为2xxyx(II)令1.g(x)x1f(x),则除切点之外,曲线C在直线l的下方等价于x21g(x)12当0当xlnxg(x)0(f(x).x2x1时,x1时,x1x0,x1).g(x)10,lnx0,因此0,lnx0,因此g满足g(1)0,且g(x)0,故g(x)单一递减;(x)0,故g(x)单一递加.所以,g(x)g(1)0(x0,x1).因此除切点之外,曲线C在直线L的下方.又解:g(x)0即x12lnx0变形为x2xlnx0,记h(x)x2xlnx,则x12x2x1(2x1)(x1)h(x)2x1,xxx因此当0 x1时,h(x)0,h(x)

7、在(0,1)上单一递减;当x1时,h(x)0,h(x)在(1,+)上单一递加.因此h(x)h(1)0.)例2（20XX年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版）已知函数fx1xe2xx3,gxax12xcosx.当x0,1时，21;1x(I)求证:1-xfx(II)若fxgx恒建立,求实数a取值范围.解：(1)证明：要证x0，1时，(1x)e2x1x，只要证明(1x)ex(1x)ex.记h(x)(1x)ex(1x)ex，则h(x)x(exex)，当x(0，1)时，h(x)0，因此h(x)在0，1上是增函数，故h(x)h(0)0.因此f(x)1x，x0，1要证x0，1时，(1x)

8、e2x1exxx记K(x)exx1，则K(x)ex1，当x(0，1)时，K(x)0，因此K(x)在0，1上是增函数，故K(x)K(0)0.因此f(x)，x0，11x1综上，1xf(x)，x0，11x(2)(方法一)xax12xcosxf(x)g(x)(1x)e22xx31xax12xcosx2xa12cosx.x2x2设G(x)2cosx，则G(x)x2sinx.记H(x)x2sinx，则H(x)12cosx，当x(0，1)时，H(x)0，于是G(x)在0，1上是减函数，从而当x(0，1)时，G(x)G(0)0，故G(x)在0，1上是减函数于是G(x)G(0)2.从而a1G(x)a3，因此，当

9、a3时，f(x)g(x)在0，1上恒建立下面证明，当a3时，f(x)g(x)在0，1上不恒建立1x3f(x)g(x)1ax2xcosx21xxx3ax2xcosx21x1xx1xa22cosx.11x21记I(x)a2cosxaG(x)，则I(x)G(x)当x(0，是I(x)在0，1上的值域为a12cos1，a3由于当a3时，a30，因此存在x0(0，1)，使得I(x0)0，此时f(x0)g(x0)，即f(x)g(x)在0，1上不恒建立综上，实数a的取值范围是(，3(方法二)11先证当x0，1时，1x2cosx12.241记F(x)cosx1x2，则F(x)sinxx.22记G(x)sinxx

10、，则G(x)cosx1，当x(0，1)时，G(x)0，于是G(x)在0，1上是增函数，因此当x(0，1)时，G(x)G(0)0，从而F(x)在0，1上是增函数，因此F(x)F(0)0.因此当x0，1时，12cosx.同理可证，当x0，1时，cosx12.411综上，当x0，1时，1x2cosx1x2.由于当x0，1时xax12xcosxf(x)g(x)(1x)e22x1x312(1x)ax12x42(a3)x.因此当a3时，f(x)g(x)在0，1上恒建立下面证明，当a3时，f(x)g(x)在0，1上不恒建立由于xax12xcosxf(x)g(x)(1x)e22x11x31x21ax2x221

11、xx2x3(a3)x1x223xa3），x23a31因此存在x0(0，1)比方x0取中的较小值满足f(x0)g(x0)，即f(x)g(x)在0，321上不恒建立综上，实数a的取值范围是(，3例3（20XX年高考辽宁文21）(本小题满分12分)设f(x)lnxx1，证明：3(1)当x1时，f(x)(2)当1x5解：(1)(证法一)记g(x)lnxx12(x1)则当x1时，113g(x)x2，g(x)在(1，)上单一递减2x又g(1)0，有g(x)f(x)由均值不等式，当x1时，x令k(x)lnxx1，则k(1)0，k(x)x1由得，当x1时，f(x)9x1，由(1)得x51154h(x)x2xx

12、52xx2xx54xx5x53216x4xx5令g(x)(x5)3216x，则当19x1x5(证法二)记h(x)(x5)f(x)9(x1)，则当192x1)(x5)x2x12xx(x1)(x5)(2x)18xx112x3xx1x522218x14xx232x25)因此h(x)在(1,3)内单一递减，又h(1)0，因此h(x)9x1.x5例4（20XX年高考浙江文21）（此题满分15分）已知aR，函数f(x)4x32axa（1）求f(x)的单一区间（2）证明：当0 x1时，f(x)+2a0.1）由题意得f(x)12x22a，当a0时，f(x)0恒建立，此时f(x)的单一递加区间为,.当a0时，f

13、(x)12(x此时函数f(x)的单一递加区间为x，.(2)由于0 x1，当a2时，f(x)a24x32ax24x34x2.333当a2时，f(x)a24x2a(1x)24x4(1x)24x4x2.设g(x)2x2x1,0 x1，则g(x)6x26(x则有32x.33因此g(x)ming1当0 x1时，2x2x10.故f(x)a24x34x20.例5（20XX年高考山东文22）(本小题满分13分)已知函数f(x)lnxk(k为常数，e=2.是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点ex(1,f(1)处的切线与x轴平行.()求k的值；()求f(x)的单一区间；()设g(x)xf(x)，其中f(x)为f(x)的导函数.证明：对随意x0,g(x)1elnxk(I)f(x)，ex由已知，f(1)1k0，klnx1(II)由(I)知，f(x).ex设k(x)111lnx1，则k(x)20，即k(x)在(0,)上是减函数，xxx由k(1)0知，当0 x1时k(x)0，从而f(x)0，当x1时k(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单一递加区间是(0,1)，单一递减区