08【提高】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(培优课程讲义例题练习)

1、一元二次方根的判别式根与系数的系知识解（提高） 【习标1. 会用元二次方程根的判别判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范 围；2. 掌一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运.【点理要一一二方根判式一元二方根判式一元二次方程2bx a 中 叫做一元二次方程2bx a 的根的判别式，通常用“ ”表示，即 （1当 eq oac(,0) eq oac(, )时一元二次方程有 个不等的实数根；（2当 eq oac(,=0) eq oac(, )时一元二次方程有 个相的实数根；（3当 eq oac(,0) eq oac(, )时一元二次方程没有实数.要诠：利用根的判别式判定

2、一元二次方程根的情况的步骤一元二次方程化为一般形式定 bc的值；计算 值；根据 2 的符号判定方程根的情况. 一二方根判式的用在方程2bx 中，（1方程有两个不相等的实数 0；（2方程有两个相等的实数根 =0；（3方程没有实数根 ac0.要诠：（1逆用一元二次方程根的判式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一件；（2若一元二次方程有两个实根则 0.要二一二方的与数关 一元次程根系数关如果一元二次方程2bx a 的两个实数根是 x12， 2 2那么 2b ， x a a.注意它的使用条件为 a， 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二

3、次系 数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的.一元次程根系数关的用验不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；已方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；不方程，可以利用根与系数的关系求关于 、x 的对式的值此时，常常涉及代数式的一些 重要变形；如： 2 2 ) ；1 1 2 x x 1 2 ； 2x 2 x x x ( x ) 1 ；x 2 2 2 2x x1 1 ( x x 1 2 1 2x x1 ；( x ) x x ) ； x ) ( ) 1 2 1 2；| 1 ( x ) ( x ) x 1 2； x 2 1 2x x 2 2 1 2 (

4、 ) x 1 ( ) 1 2；x ( x ) 1 1 2 ( ) 1 1 2；| | | 1 | |) 2 x 2 +2 | 1 1 2 x ( x ) x x 2 2 2 1x |2(4)已知方程的两根，求作一个元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是 .(5)已知一元二次方程两根满足种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系的关系可以进一步讨论根的符.设一元二次方程2 a 的两根为 x 、 ，则 1 2当0 且x 1 时，两根同号2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 当0 且当0 且x 1 2x 1 2，x 1 x 1 时，两根同为正数；时，

5、两根同为负数当0 且x 1 时，两根异号当0 且当0 且x 1 2x 1 2，x 1 x 1 时，两根异号且正根的绝对值较大；时，两根异号且负根的绝对值较大要诠：（1利用根与系数的关系求出元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的 些考试中， 往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程一根 ，必有一根 b （ ， b 为理数【型题类一一二方根判式应用1（梅）已知关于 x 的程 2=0（1）若该方程有两个不相等的实数根求实数 取值范围；（2）当该方程的一个根为 时，求 a 的值及方程的另一根【思路点拨】（1 已方程有两个不相等的实数根，即判别 eq oac(,式)=b 0即可得到关于 的

6、等式，从而求得 a 的围（2设方程的另一根为 x ，据根与系数的关系列出方程组，求出 的值和程的另一根 【答案与解析】解） b4ac=）41（a2）=124a，解得： 取值范围是 ；（2）设方程的另一根为 x ，由根与系数的关系得：，解得： ，则 a 的是，该方程的另一根为3【总结升华】熟练掌握一元二次程根的判别式与根之间的对应关系 举反：变式 张家界若关于 的元二次方程 kx 有数根，则 k 的负整数值是（ ）A. B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,32 2 1 2 1 22 1 21 22 1 1 22 2 2 2 1 2 1 22 1 21 22 1 1 22 2 2 1 【答案

7、A.提示：根据题意得 eq oac(,：)12k， k0， 解得：k ，且 0.则 k 的负整数值为 12.已知关于 x 的元二次方程 5m 【答案】且 m14 x2 有实数根，则 m 的取范围是_【解析因为方程 x 有实数根，所以2 0，解得m 54，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为 0，即( ， m 的值范围是m 54且 m1【总结升华】注意一元二次方程二次项系数不为 ，即 举反：( ，m1变式 已知：关于 x 的方程1k 且 【答案】2kxk ( 1) x 04有两个不相等的实数,求 k 的值范.类二一二方的与数关的用3. （绥）关于 x 的元二次方程 x +2x 有两不相等的

8、实数根 （1）求 的取值范围；（2）若 ，x 是元二次方程 +2x+2m=0 的个根，且 x，求 m 的【思路点拨】 （）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于 的元一次不等式，解不等 式即可得出结论；（ 根据方程的解析式结合根与系数的关系出 x x x x =2m，再结合完全平方公式可得出x +x 2x x 入据即可得出关于关于 的一元一次方程方程即可求出 m 的，经验值 符合题意，此题得解【答案与解析】解）一二次方程 +2x+2m=0 有个不相等的实数根， eq oac(, )0解得： m 取值范围为 m （2）x ，x 是元二次方程 x +2x+2m=0 的个根，2 2 1 1 1

9、5 1 2 2 2 2 1 1 1 5 1 2 2 x+x22，x2=2mx+x =2x1x=44m=8解得：1当 m= 时 eq oac(,=4) eq oac(, )8m=12 的值为1【总结升华本考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程解题 的关键是）结合题意得出 40）合题意得出 4题于基础题，难 度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键举反：【变】不方程，求方程 2 13【答案）； （）3 4 3 x 1 的两个根的）平方和）数和4. 求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 2 各根的负倒数【答案与解析】设方程 2 的两根

10、分别为 x 、x ，由一元二次方程根与系数的关系，得 1 25，1 235设所求方程为y2py ，它的两根为 y 、 ，由一元二次方程根与系数的关系得 111， 212，从而2 1 1 1 x p y ) 2 x x x 3 1 2 2 2 5，q y1 y x x x x 3 1 2 1 2故所求作的方程为22 3 3，即 y2 y 【总结升华所作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别同时“两个数为根的一元二次方程是. ”可以用这种语言形式记忆“ 和x 积0“和加积处一次项系数最容出现符号上的错误2 2 2 1 21 1 21 22 2 2 1 21 1 21 2一元二次

11、程根的判别及根与系数关系巩固习（提高） 【固习一选题1. 关 的方mx 2 无实数根，则 m 的值范围( )Am0 Bm1 Cm1 m0 m-12烟）等腰三角形边长分为 a，b，2且 a，b 是关于 x 的一二次方程 x 1=0 的根， 则 n 的为（ ）.A 10 9 或 10 8 3若x 、 1 2是一元二次方程 的两根，则1 1 x1 的值为（ A-1 B0 1 24设 a 是程2 的个实数根，则 的值为（ A 2011 2012 5若 ab1，且有5a2 2012a ， 2012b 0，则ab的值是（ A9 5 2012 2012B C D 5 9 96市月份的营业额为 万元知一季度的

12、总营业额共 1000 万， 如平均每月增长率为 x， 则由题意列方程应为 )A.200(1+x)=1000 B.200+2002x=1000C.200+2003x=1000 D.2001+(1+x)+(1+x)=1000二填题7关 x 的方程14 2 m x 有两个不相等的实数根 m 的大整数值是_8关于 x 的一二次方程2 m 无实数根，则 m 的取范围是 9曲）一元二次方程 x 5x+c=0 有个不相等的实数根且两根之积为正数，若 c 是数， 则 c= 需一个10 RtABC 中 分别是 的边 是于 x 的程的两根，那么 AB 边上中线长 .11 南京）设 x x 是程 +m=0 的个根，

13、且 x +x x =1则 x +x 12已知：关于 x 的方程 的两个实数根的倒数和等于 3，关于 x 的程，有实数根且 k 为正数，则代数式的值为 .2 1 1 22 2 1 2 2 1 1 22 2 1 2 2 22 2 22 2 1 2三解题13. 已关于 x 的程2 2 mx 的两根的平方和等于294，求 m 的14南充）已知关于 x 的元二次方程 x 6x+（2m1=0 有数根（1）求 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为 x ，x ，且 x +x x ，求 的值范围15峨眉山市一模）已知于 x 的元二次方程 x 2kx+k （x）有两个实数根 、x （1）求实数 k 取值范围；

14、（2）若方程的两实数根 x 、x 满x +x |=x x ，求 k 的值【案解】 一选题 1案B；【解析】当 m0 时原方程的解是 12；当 m0 时由题意知2-4m10所以 m12案B ；【解析】三角形是等腰直角三角形，a=2，或 b=2，a=b 两情，当 ， b=2 时a，b 是关于 的一元二次方程 1=0 两根， x=2把 x=2 代 x 6x+n1=0 得， 62+n1=0解得：n=9，当 ，程的两根是 2 和 4， 2，4，2 不能组成三角形， 故 n=9 不题意，当 a=b 时方程 x 6x+n1=0 有个相等的实数根， （6） 4（n1解得：n=10，故选 B3案C ；【解析由一

15、元二次方程根与系的关系知：x 1 1 ， x x 2 从1 1 2 x x 1 4.【答案】C；【解析 】依题意有 2 ，a ， a 2 2 ) a ) 20122 2 2 1 21 21 21 2 2 2 2 1 21 21 21 2 5案A ；【解析】因为 2 2012 a 0 及 b2 ，于是有5a 2 2012a 0及1 ) 2 2012 b1b ，又因为 ，以 a 1 1，故 a 和 可成方程 b b5x2 x 的两根，再运用根与系数的关系得 6案D；1 a ， b b 【解析】一月份的营业额为 200 元；二月份的营业额为 （1+x）万元；三月份的营业额为 200（1+x）万元；一

16、季度的总营业额共 万元，所以 2001+(1+x)+(1+x)=1000，故选 D. 二填题7案1；【解析】由题意知 3) 14 ，所以m 32，因此 m 的大整数值是 18案m 54；【解析】因为关于 x 的一二次方程2 m 2无实数根，所以 m 2 2 ，解得m 549案4；【解析】一元二次方程 x 5x+c=0 有两个不相等的实数根，（5） 4c0，得 cx +x =5，x x =c0，c 是整， 1 2 1 2c=4故答案为：10案 ；，【解析】因直角三角形两直角边 、b 方程的二根，有 a+b=7ab=c+7，由勾定理知 c=a+b联立组成方程组求得 c=5，斜边上的中线为斜边的一半

17、，故答案为 .11答案4；3【解析x x 是方程 + 的个根x +x = x x =mx +x x x m=1 1 21 22 2 1 2 21 2 1 21 21 22 2 1 2 21 2 1 22 2 2 22 12.【答案】【解析】先根据根与系数的关系求得 ，a=-1,将 a=-1 代到二个方.因第二个方程一定有实根，由 得178，因为 为整数，k =1或当k 时，分母为 0，故舍去，所以 k=1,当 k=1 时k-1k-2.三、解答题13. 【案与解析】解：设方程的两根为 x 、x ，由根与系数关系， m 得 ， x 2 2由题意，得 2 2 1 2294，即( x ) 2 x 1 2 294， 1 29 2 4，整理，得m 33 得 m ， m 1 当 m 时m28(2 m 0；当 m-11 时， 2 8(2 ，方程无实数根