九年级数学总复习(二)方程(组)与不等式(组)华东师大版知识精讲

1、九年级数学总复习（二）方程（组）与不等式（组）华东师大版【同步教育信息】一本周讲课内容：总复习（二）方程（组）与不等式（组）知识重点（一）方程与方程（组）方程与方程（组）相关见解1）方程：含有未知数的等式。2）整式方程：重点研究一元一次方程（axb0，a0）和一元二次方程（ax2bxc0，a0）。3）分式方程（可化为一元一次方程的分式方程）4）二元一次方程组方程（组）的解与解方程（组）1）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做根。2）方程组的解：使方程组中每个方程左右两边的值都相等的全部未知数的值，叫做该方程组的解。3）解方程：求方程解的过程。4

2、）等式的基天性质：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果还是等式；等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不是零），所得的结果还是等式。5）一元一次方程（包含含字母系数的一元一次方程）解法的一般步骤：去分母去括号移项归并同类项系数化为16）一元二次方程的解法：直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法；7）一次方程组的解法：一次方程组经过代入消元或加减消元转变为一次方程来解决。8）可化为一元一次方程的分式方程的解法；分式方程经过去分母或换元转变为整式方程来解决，注意验根。9）二元一次方程组的解法：经过代入消元或加减消元转变为一元一次方程来解决。3一元二次方程ax2bxc0(a0)

3、根的鉴别式。b24ac0方程有两个不相等的实数根b24ac0方程有两个相等的实数根b24ac0方程没有实数根应用问题解应用题时，应当有两步查验，一是查验所求得的解能否为原方程（组）的解；二是查验它能否符合实质意义。（1）列方程（组）解应用问题常用的基本数目关系：数目的和、差、倍、分；距离速度时间，注意变式的状况；工作量工作效率工作时间，注意变式的状况；增添数增添率100%；基数数字问题；面积问题。2）列方程（组）解应用问题的一般步骤：审、设、表、列、解、检、答。3）用方程的思想解综合性问题。（二）不等式与不等式组不等式的解集与解不等式1）不等式的基天性质：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或

4、同一个整式，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。2）一个含有未知数的不等式的全部的解，构成这个不等式的解的会合。3）求不等式的解集的过程，叫做解不等式。不等式组的解集与解不等式组1）几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一同，就构成了一个一元一次不等式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所构成的一元一次不等式组的解集。2）求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。3）解一元一次不等式组的步骤：分别求出不等式组中各个不等式的解集；利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的

5、解集。应用问题列一元一次不等式（组）解决实诘问题的步骤：1）找出实诘问题的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）；2）解不等式（组）；3）从不等式组的解集中求出符合题意的答案。【典型例题】例1代数式2k1与代数式1k3的值相等时，求的取值。34分析：由代数式的值的意义，给定的一个值，两个代数式都分别有不一样样的取值，若令两代数式相等，求其字母的值，就用到了方程的思想。依据题意，得：2k1133k43k9解得：2k14k10k8答：的值为8。说明：此题察看了方程的思想，根的意义及解一元一次方程。例2假如a是对于的方程x2bxa0的根，且a0，那么ab的值是多少分析：由方程根的意义，将a代入其方程

6、能使两边相等。解：a是方程x2bxa0的根a2aba0，aab10而a0ab10即ab1说明：此题察看了方程根的意义、因式分解等知识，同时还察看了恒等变形的能力。xy31例3解方程组2y523x简析：此题特色合用于代入消元和加减消元两种方法，若在平面直角坐标系中画出两个方程所代表的两条直线，此后标出交点坐标，也可以求出方程组的解，即为图象法解方程组。解法一：（代入消元法）由得：x3y3把代入，得：33y2y593y2y5y4把y4代入，得：x34x1x1因此是原方程组的解。y4解法二：加减消元法将两边同时乘以3，得：3x3y93由，得：y4把y4代入，得：x43x1x1因此是原方程组的解。y4

7、解法三：由可得：yx33x5由可得：y23x5的图象，观在同一个平面直角坐标系中作出一次函数yx3和一次函数y2察图象得交点为（-1，-4）。x1因此方程组的解是y4说明：代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式（一般称这个等式为关系式）；2）将关系式代入另一个方程，消去一个未知数，获得一个一元一次方程；3）解这个一元一次方程求得一个未知数的值，再将它代入关系式，求得另一个未知数的值；4）把求得的未知数的值用联立符号表示出来。加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：1）使方程组中准备消掉的未知数在两

8、个方程中的系数的绝对值相等；2）把两个方程的两边分别相加或相减，获得一个一元一次方程；3）解这个一元一次方程求得一个未知数的值，再将求得的未知数的值代入原方程组中的随意一个方程，求出另一个未知数的值；4）把求得的两个未知数的值按字母次序用联立符号表示出来。图象法的使用不如上边两种方法广泛，它只对交点的横、纵坐标都是整数值时适合，其余状况下得进行估值。例4选择适合方法解以下方程：1）(x3)225（2）xx25x27x（3）2x23x108分析：一元二次方程的解法有直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法等。在解答时应依据题目特色，选择适合的方法，如：（1）适于使用直接开平方法；（2）使用因式分

9、解法较为简捷；（3）可以使用配方法或公式法。解：（1）方程两边直接开平方，得x35x18，x22（2）移项，得：5x2x27xx0归并同类项得：6x28x0方程左侧分解因式得：2x(3x4)02x0或3x40 x10，x423（3）a2，b3，c181b24ac(3)24288322x4322322x14x24说明：在用公式法和因式分解法解一元二次方程时，要注意把方程化为ax2bxc0的形式。例5解对于的方程：abx2ab(a2b2)x0分析：这个方程中二次项系数是ab，的系数是(a2b2)，常数项是ab，因为题设中没有指明a与b的取值范围，因此应加以讨论。解：（1）当a0且b0原方程变形为b

10、2x0，x0（）当a0且b0，原方程变形为2x0，x02a（3）当a0且b0，原方程利用因式分解，得(axb)(bxa)0 x1bx2aab（4）当a0且b0，方程中的可取随意实数。综上：当a、b中有一个为零时，方程的解为x0当a、b同时为零时，方程的解为随意实数当a、b都不为零时，方程的解为x1b，x2aab说明：此题察看了相关方程的见解，因式分解法解方程以及分类讨论的思想，这种对字母取值状况逐个讨论，是培育数学修养的一个方面。例6解分式方程2(x21)6(x1)7x1x21分析：这个分式方程假如用去分母法解，所获得的将是一个难解的四次方程，因此要考虑其余解法。察看方程的特色，含未知数的两部

11、分式子x21与x1互为倒数，因此x1x21可使用换元法来解。解：设x21y，那么x11x1x21y于是原方程变形为672yy方程的两边都乘以，得2y27y60解这个方程，得y12，y232当yx2122时，1x去分母，整理得x22x10因此x28122当y3时，x2132x12去分母，整理得2x23x10因此x3174经查验：x12，x317都是原方程的根。4因此原方程的根是x112，x212，x3317，x4317。44说明：换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特其余方程的特别方法。它的基本思想是用换元的方法把某些式子的形式简化，进而把原方程的形式简化。例7某书店老板去批发市场购置某种

12、图书，第一次购书用100元，按该书订价元销售，并很快售完，因为该书热销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高元，用去了150元，所购书数目比第一次多10本，当这批书售出4时，出现滞销，便以订价的5折售完剩5余的图书，试问该老师第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其余要素）若赔钱，赔多少若赚钱，赚多少解法一：设第二次购书籍，则第一次购书（10）本由题意，得1001150 x102x整理得x2110 x30000解得x150，x260经查验，x150，x260都是原方程的根当x50时，每本书的批发价为150503（元），高于书的订价，不合题意，舍去。当x60，每本书的批发价为1506025.（

13、元），低于书的订价，符合题意。因此第二次购书60本。(6042.86012.81)1505521512.15012.(元)答：该老板第二次售书赚了元钱。(x0.5)元解法二：设第一次购书的批发价为元，则第二次的批发价为由题意，得100150 x10 x05.整理得2x29x100，解得x12.5，x22经查验，x12.5，x22都是原方程的根当x25.时，第二次的批发价为25.05.3（元）高于书的订价，不合题意，舍去。当x2时，第二次的批发价为205.25.（元），低于书的订价，符合题意。因此第二次购书：150(205.)60（本）以下解法同解法一。解法三：设第一次购书籍，则第二次购书(x1

14、0)本由题意，得1001150 x2x10整理得x290 x20000，解得x140，x250经查验，x140，x250都是原方程的根25.05.3当x40时，每本书的批发价为1004025.（元），第二次的批发价为（元），高于书的订价，不合题意，舍去。50220.05.25.当x50时，每本书的批发价为100（元），第二次的批发价为（元）低于书的订价，符合题意。因此第一次购书50本，第二次购书501060（本）。以下解法同解法一。说明：解法一和解法三中的等量关系是“第一次购书单价元第二次购书单价”；解法二中的等量关系是“第一次购书数目10本第二次购书数目”，正确地找到等量关系是解好这种应用问

15、题的重点。例8解不等式7xx131，并在数轴上表示它的解集32解：去分母，得14x3(x13)6去括号，得14x3x396移项后，归并得11x33不等式两边同乘以11，得x3它的解集在数轴上表示如图：-4-3-2-10123说明：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法周边似。应特别注意的是，当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必然改变。此题可先去分母，此时不要漏乘，再去括号，此后化成axb或axb的形式，最后得出解集。3x24x5例9求不等式组3x12x5的整数解231解：解不等式3x24x5，得x33x12x5解不等式31，得x275不等式组的解集为3x5此中整数解为1，0

16、，1，2说明：不等式组的解集是构成不等式组的每一个不等式解集的公共部分，因此，解一元一次不等式是解一元一次不等式组的基础，会用数轴表示一元一次不等式的解集是正确求出一元一次不等式组解集的靠谱保证。例10已知：对于的方程(k22)x22(k1)x10有两个不相等的实根，求的取值范围。分析：这道题常常简单把注意力集中在根的鉴别式上，因此忽略了“二次项系数不等于0”这一方程条件，使解题出现破绽，此题虽没有明确指出方程的次数，但从“有两个不相等的实数根”中隐含着方程的次数是2这一事实。解：方程有两个不相等的实数根k2202(k1)24(k22)0k3且k22例11解不等式33x15解：将原不等式的两边

17、和中间都加上1，得23x6将这个不等式的两边和中间都除以3，得2x232因此原不等式解集为2x33x13说明：此题的另一种解法：解原不等式相当于解不等式组3x15例123xyk14，则xy的取值范围是（若方程组3y的解为、，且2k）x3A0 x1B0 xy1y2C3xy1D1xy1分析：不等式中的未知数隐含在方程组中，因此应从解方程组下手，考虑到要确立xy的取值范围，故不可以简单地求出值，而需采纳整体的方法来解。双方程相减，得2x2yk2，即k2(xy1)，由2k4，得22(xy1)4xy1，选B例13乘某城市的一种出租汽车起价是10元（即行驶行程在5km之内都需付10元车资），达到或超出5k

18、m后，每增添1km涨价元（不足1km部分按1km计）。此刻某人乘这种出租汽车从甲地到乙地，支付车资元，从甲地到乙地的行程大概是多少m解：设从甲地到乙地的行程大概是m，依据题意，得161012.(x5)17.2解此不等式组，得10 x11答：从甲地到乙地的行程大于10km，小于或等于11km。说明：将生活中的实诘问题抽象化，成立适合的数学模型，再依据模型使问题获解，这是中考着意突出的应妄图识察看的热门。此例的设计取材于学生熟习的生活中的问题，察看了同学们对不等式知识的掌握和应用程度。【模拟试题】（答题时间：60分钟）一填空题。（1）方程xx1x的解是_；方程x22560的解是_。（2）假如ab0

19、，则3a_3b；ab_b2；ab_0；a_b（用不等号连结）（3）填不等号：x2；ab2_0；x_0（4）代数式2x的值是非正数，则的取值范围是_。4（5）不等式2x754x的正整数解是_。（6）若0是一元二次方程a1x2xa210的一个根，则另一个根是_，_。（）若对于的方程x22a1xb220有两个相等的实根，则a2000b2的7值是_。（8）某工厂二月份生产钢铁500吨，因管理不善，三月份的钢产量减少了10%，从四月份增强了管理，产量逐月上涨，五月份的产量达到648吨，则该厂四、五月份的均匀增长率为_。（9）已知2mn6与53n12m1是同类项，则mn2。2xyy_x（10）函数y43x

20、中自变量的取值范围是_。（11）反比率函数y2m5的图象在二、四象限，则m应知足的条件_。x3x60（12）不等式组1x20的整数解为_。2ax2x2有实根，则a的取值范围是_。（13）若对于的二次方程1x（14）已知对于的方程2xm1的解是非负数，则m的取值范围是_。x2（15）若对于的不等式组52x1xa无解，则a的取值范围是_。0（16）一个长方形足球场的长为m，宽为70m，假如它的周长大于350m，面积小于7560m2，则的取值范围是_。这个足球场_（填符合或不符合）国际足球竞赛的要求。（注：用于国际足球竞赛的场所长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间）。二选择题。1三角形

21、两边长分别为4和8，第三边是方程x28x120的解，则这个三角形的周长是（）A14B18C14和18D14或182已知对于的方程mx22m1xm10有实根，则m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1Dm1且m03下面给出的是2022年4月份的日历，随意圈出一竖列上相邻的三个数，请运用方程的思想来研究，你发现这三个数的和不可以能是（）礼拜一礼拜二礼拜三礼拜四礼拜五礼拜六礼拜日123456789101112131415161718192021222324252627282930A69B50C42D5742x35不等式组3x2的解集为（）4Ax2Bx1C2x1D空集5不等式5x31的最大整数解为（）2A11B12C13D146在以下命题中，正确命题个数为（）若ab0，则a0，b0；若ab，c0，则acbc；若ab，则ab0；若ab，则ab。A1个B2个C3个D4个三解答题。1求不等式xxx11x8的自然数解。236x43x22解不等式组12x，并把解集在数轴上表示出来。x13用适合的方法解方程：（1）