传染病模型知识点

1、文档素材数学模型实验实验汇报 10学院：专业：姓名：学号实验时间实验地点：一、实验工程：传染病模型求解二、实验目的和要求求解微分方程的解析解求解微分方程的数值解三、实验内容问题的描述3 3 的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。模型一SI 模型：1模型假设在疾病传播期内所考察地区的总人数N t 占比例为tt每个病人每天有效接触的平均人数是常数 a，a 患病。2建立模型t时刻病人数为ttitNdi/dt=aNsi又因为st+it=1再记时刻t=0 时病人的比例为i0则建立好的模型为：didt ai(1 i)i(0)=i03模型求解 代码、计算结果或输出结果syms a

2、i t i0%a：病人比例， ：病人比例在t=0 i=dsolve(Di=a*i*(1-i),i(0)=i0,t);y=subs(i,a,i0,0.3,0.02);ezplot(y,0,100)文档素材文档素材figure i=str2double(i); i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i); plot(i,y)SI 模型的it 曲线SI 模型的di/dti 曲线4结果分析i=0:1 内，di/dt i=0.5 t-inf 都将患病。上述模型显然不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假设，建立SIS 模型模型二SIS 模型模型假设1.2 与SI 模型相同；每天被治愈的病人

3、数占病人总数的比例为常数u1/u是平均传染期。2模型建立病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi且 it则有： di/dt=ai(1-i)-ui在此定义k=a/b，可知k 是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数，成为接触数。则建立好的模型为：didt aii 1/ k)i(0)=i0;模型求解 代码、计算结果或输出结果 symsa i u t i0% ：病人比例在t=0 时的值 dsolve(Di=a*i*(1-i)-u*i,i(0)=i0,t)% u表示的it解析式 syms k%k：接触数 k=a/u; i=dsolve(Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k),i(0)=i0

4、,t)% k 表示的it解析式文档素材% 、a、i0 指定特别值，作出相关图像文档素材 y=subs(i,k,a,i0,2,0.3,0.02);%k1的情况，以k=2 为例 ezplot(y,0,100)pause%it 图，分析随时间t , i 的变化 gtext(1/k)legend(k1 本例中k=2)figure i=str2double(i); i=0:0.01:1; y=-0.3*i.*i-1/2; plot(i,y)%di/dti 的图像 gtext(1-1/k,在此图中为 0.5) legend(k=2) y=subs(i,k,a,i0,0.8,0.3,0.02);%k ezp

5、lot(y,0,100)%it 图，分析随时间t 增加，i 的变化 legend(kfigure i=str2double(i); i=0:0.01:1; y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8); plot(i,y)%di/dti 的图像 legend(k=0.8) gtext(k1SIS模型的it 曲线k1文档素材文档素材SIS 模型的di/dti 曲线 k1SIS模型的it 曲线k1 时，it的增减性取决于i0 i()=1-1/k k k0)和 i0(i00)不妨设移出者的初始值 r0=0，则SIR模型的方程可以写作di i(0) tdtdt0 si,s(0) s03(3)模型求解我们

6、无法求出解析解，先做数值计算：设 i(0) 0.02s(0) 0.98 ，用软件编程：文档素材文档素材function y=illt，xa=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2);ts=0:50; x0=0.02,0.98;t,x=ode45(i11,ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)表1i(t),s(t)的数值计算结果t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)

7、0.98000.95250.90190.81690.60270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398i(t),s(t) 的图形is图形相轨线4结果分析i(ts(ti 的图形见右图，称为相轨线，随着t(s,i)的增加，沿轨线自右向左运动。1 i(t由初值增长至约t7时到达最大值，然后减少，tts(t减少t s0.0398。文档素材文档

8、素材文档素材文档素材文档素材进行相轨线分析，可得：s i 平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域(s, i) D 为D (s,t) | s i s i 中消去dt ，并注意到 的定义，可得di 1 1dts，i|s简单求出它的解为 i004i (s0 i ) s 10sln s0在定义域D 内，上式表示的曲线即为相轨线s , i00 如何，病人终将消逝，即i06dsdrdt 0s(t)0dt 0r(t)1rdr而故 存在；由，而，故 存在，1t dt2 ，这将导致，与r 存在相矛盾。最终未被感染的健康者的比例是s，在式中令i 0得到，s i s 1s 000s0)ss)在内的根。在图形上，

9、是相轨线与 轴在内交点的横坐标。s1/i(t)s假设 0，则先增加，当时，到达最大值is i 0(1 lns )08然后i(t)减小且趋近于0，s(t)则单调减小至s。s1/i(t)s(t)si(t)假设 0，则单调减少至0，单调减少至 。如果仅当病人比例有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么1/ s是一个阈值，当 1/ 1/ s即0 时传染病就会蔓延。而减小传染期接触数 ，即提高阈值1/ s0 1/ 即 1/ s0 ss的初始值 0 是肯定的，通常可认为 0 1s1/si并且，即使 0，从7式可以看出， 减少时， 增加通过作图分析， m 降低，也操纵了蔓延的程度，我们注意到，在 / 中，人们的卫生水平越高，日接触率 越高，日治愈率 越大，于是 越小，所以提高卫生水平