全等三角形常见辅助线

1、关于全等三角形常见辅助线第1页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四连线法第一关第2页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.ACBD连接AC构造全等三角形连线 构造全等第3页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四连线 构造全等如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.连接BD构造全等三角形ACBDO第4页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四第二关角平分线性质第5页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四如图,ABC中, C =90o,B

2、C=10,BD=6, AD平分BAC,求点D到AB的距离.过点D作DEAB于点EACDBE角平分线上的点向角两边做垂线段第6页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四PD=PE.PD=PE如图,OC 平分AOB,角平分线上点向两边作垂线段过点P作PFOA,PG OB垂足为点F,点GFGACDBEPODOE +DPE =180DOE +DPE =180求证:第7页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180DABCM作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。 BD是ABC的

3、角平分线（已知）1=2（角平分线定义） DNBA，DMBC（已知）N=DMB=90（垂直的定义）在NBD和MBD中 N=DMB （已证） 1=2（已证） BD=BD（公共边）NBDMBD（A.A.S）12 4=C（全等三角形的对应角相等） N43321* ND=MD（全等三角形的对应边相等） DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定义）， A3（已证）A+ C180（等量代换）第8页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四第三关中垂线法第9页，共27页，

4、2022年，5月20日，9点55分，星期四 ABC中,ABAC ，A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE AB于E，作DFAC于F。 求证：BE=CFABCDEFM连接DB,DC垂直平分线上点向两端连线段第10页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四如图，已知三角形ABC中,BC边上的垂直平分线DE与角BAC的平分线交于点E，EF垂直AB交AB的延长线于点F，EG垂直AC交AC于点G。求证：(1)BF=CG (2)判定AB+AC与AF的关系第11页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四第四关截长补短法第12页，共27页，2022年，5月20日，9点

5、55分，星期四已知在ABC中，C=2B, 1=2求证:AB=AC+CDADBCE12在AB上取点E使得AE=AC，连接DE截长F在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF补短第13页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四A1BCD234如图所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。求证：AD+BC=ABEF在AB上取点F使得AF=AD,连接EF截长补短第14页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四证明：例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180DABCE在BC上截取BE，

6、使BE=AB，连结DE。 BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在ABD和EBD中 AB=EB（已知） 1=2（已证） BD=BD（公共边）ABDEBD（S.A.S）1243 3+ 4180（平角定义），A3（已证）A+ C180 （等量代换）321* A3（全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），AD=DE（已证）DE=DC（等量代换）4=C（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等）第15页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180DABCF延长BA到F，

7、使BF=BC，连结DF。 BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在BFD和BCD中 BF=BC（已知） 1=2（已证） BD=BD（公共边）BFDBCD（S.A.S）1243 FC（已证）4=C（等量代换）321* FC（全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），DF=DC（已证）DF=AD（等量代换）4=F（等边对等角） 3+ 4180 （平角定义）A+ C180 （等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）第16页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四练习1如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2BABCDE1221证

8、明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。 AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在AED和ACD中 AE=AC（已知） 1=2（已证） AD=AD（公共边）AEDACD（S.A.S）3B=4（等边对等角）4* C3（全等三角形的对应角相等)又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代换） 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）C=2B（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）第17页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四练习1如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2BAB

9、CDF12证明:延长AC到F，使CF=CD，连结DF。 AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） AB=AC+CD，CF=CD（已知） AB=AC+CF=AF（等量代换） ACB= 2F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）321*在ABD和AFD中 AB=AF（已证） 1=2（已证） AD=AD（公共边）ABDAFD（S.A.S） FB（全等三角形的对应角相等） CF=CD（已知）B=3（等边对等角）第18页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四第五关中线倍增法第19页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四如何利用三

10、角形的中线来构造全等三角形？ 可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。 如图，若AD为ABC的中线， 必有结论：ABCDE12 延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。ABDECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。第20页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四已知，如图AD是ABC的中线，ABCDE延长AD到点E，使DE=AD，连结CE.思考：若AB=3,AC=5求AD的取值范围？倍长中线第21页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四如图，已知直线MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，

11、交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。证明:延长AE，交直线PQ于点F。*30*2221ABCDEMNPQ1234F5第22页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四第六关周长问题转化第23页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四1.如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分ACB, DEAB.若AB=6cm,则DBE的周长是多少?.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB第24页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四2.如图,ABC中, D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求ADE的周长.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC第25页，共27页，2022年，5月20日，9点55分，星期四5.如图, ABC中，BP、CP是ABC的角平分线，MN/BC.若B