数字图像 变换课件

1、第4章 图像变换 计算机科学系1第4章 图像变换第4章 图像变换 4.1背景4.2傅立（里）叶变换和频率域4.3离散余弦变换4.4 沃尔什变换 4.5 MatLab函数2第4章 图像变换4.1背景傅立叶变换提出傅立叶（Fourier） ：法国数学家，1768年生1822年出版“热分析理论”，1878年翻译成英文。提出傅立叶级数傅立叶级数：周期函数表示为不同频率的正弦和/或余弦和傅立叶变换：非周期函数表示为正弦和/或余弦乘以加权函数的积分逆变换可以重建原函数应用信号处理等（快速傅立叶变换FFT算法出现）3第4章 图像变换4.1背景例4.1:函数分解函数系数具有重要意义分解和合并的过程可逆4第4章

2、 图像变换第4章 图像变换 4.1背景4.2傅立（里）叶变换和频率域4.3离散余弦变换4.4 沃尔什变换 4.5 MatLab函数5第4章 图像变换4.2傅立叶变换和频率域 傅立叶变换FT （Fourier Transformation） 4.2.1 傅立叶变换定义 4.2.2 傅立叶变换性质 4.2.3 快速傅立叶变换*6第4章 图像变换4.2.1 傅立叶变换定义一维傅立叶变换及其逆变换（1）连续函数 正变换： 逆（反）变换：7第4章 图像变换4.2.1 傅立叶变换定义 （2）离散函数：N个数据组成的序列 1-D正变换对1个连续函数 f (x) 等间隔采样8第4章 图像变换4.2.1 傅立叶

3、变换定义 1-D反变换 变换表达 频谱（幅度） 相位角 功率谱9第4章 图像变换4.2.1 傅立叶变换定义例4.2:窗函数的傅立叶变换E/2-/2f(t)t旁瓣旁瓣主瓣辛克函数，记为Sinc(u)10第4章 图像变换4.2.1 傅立叶变换定义二维傅立叶变换及其逆变换（1）连续函数正变换：逆（反）变换：11第4章 图像变换4.2.1 傅立叶变换定义（2）离散函数：MN大小变换对公式频谱（幅度）相位角功率谱（能量谱）12第4章 图像变换4.2.1 傅立叶变换定义例4.313第4章 图像变换4.2.1 傅立叶变换定义例4.414第4章 图像变换4.2.1 傅立叶变换定义频率域由傅立叶变换和频率变量(

4、 u, v)定义的空间基本性质（1）变化最慢的频率成分(u=0, v=0)对应一幅图像的平均灰度（2）低频（原点附近）对应图像灰度变化慢的像素（3）高频（远离原点）对应图像灰度变化快的像素15第4章 图像变换4.2.2 傅立叶变换性质 变换对： 1、平移性质16第4章 图像变换4.2.2 傅立叶变换性质例4.5：平移性质17第4章 图像变换4.2.2 傅立叶变换性质 2、旋转性质 令： 将： 代入傅立叶变换对得到：18第4章 图像变换4.2.2 傅立叶变换性质例4.6： 傅立叶变换旋转性质示例19第4章 图像变换4.2.2 傅立叶变换性质3、尺度定理（相似定理：similarity theor

5、em） （1）对 f(x, y) 在空间尺度方面的放缩导致对其傅立叶变换F(u, v)在频域尺度方面的相反放缩。（2）对f(x, y)的收缩(对应a1, b1)不仅导致F(u, v)的膨胀，还使F(u, v)的幅度减小。20第4章 图像变换4.2.2 傅立叶变换性质例4.7 ：傅立叶变换尺度变化性质示例正方形收缩导致其傅立叶频谱网格在频谱空间的增大21第4章 图像变换4.2.2 傅立叶变换性质4、卷积定理 1D 2D22第4章 图像变换4.2.2 傅立叶变换性质5、相关定理互相关：f (x) g(x) 自相关：f (x) = g(x)2-D23第4章 图像变换4.2.2 傅立叶变换性质5、可分

6、离性 这里：24第4章 图像变换4.2.3* 快速傅立叶变换 1-D：复数乘法和加法的次数都正比于N2 2-D：直接进行一个N N的傅立叶变换需要N4次复数乘法运算和N2(N2 1) 次复数加法运算25第4章 图像变换4.2.3* 快速傅立叶变换快速傅立叶变换FFT （Fast FT）： 将复数乘法和加法的次数减少为 N log2N2-D可分离性：26第4章 图像变换4.2.3* 快速傅立叶变换快速傅立叶算法（FFT)1850年，高斯给出了DFT有效算法1942年，丹尼尔森证明了一个界长为N的傅立叶变换可以由两个边界长为 N/2 的傅立叶变换表示1965年，库利-图基给出了快速傅立叶变换算法2

7、7第4章 图像变换4.2.3* 快速傅立叶变换 考察一维有限长序列x(n)(0=n I=imread(lena.tif); J=fft2(I); K=ifft2(J); subplot(2,2,1),imshow(I); subplot(2,2,2),imshow(log(abs(J),); subplot(2,2,3),imshow(log(abs(fftshift(J),); subplot(2,2,4),imshow(uint8(abs(K);原始图像频谱（无平移）频谱（平移）逆变换图像53第4章 图像变换4.5 MatLab函数离散余弦变换B=dct2(I)：计算图像I的二维离散余弦变换B=idct2(I)：计算图像I的二维离散余弦变换的反变换例I=imread(lena.tif);J=dct2(I);imshow(log(abs(J),);54第4章 图像变换小 结傅里叶变换（FFT）。具有快速算法，数字图象处理中最常用。需要复数运算。可把整幅图象的信息很好地用若干个系数来表达。沃尔什-哈达玛变换(WHT)。在数字图象处理的硬件实现时有用。容易模拟但很难分析。在图象数据压缩、滤波、编码中有应用。信息压缩效