湖北省武汉市2025届高中毕业生四月调研考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省武汉市2025届高中毕业生四月调研考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−4x≤0}，B={x|−3<x≤4}，则(A.(0,4) B.[−3,4] C.(−3,0) D.[4,+∞)2.数列{an}的通项公式为an=2n−11，SA.−9 B.−7 C.−3 D.−193.若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且(a−b)⊥A.π6 B.π4 C.π34.随着Deepseek的流行，各种AI大模型层出不穷，现有甲、乙两个AI大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分(满分10分)，得到如图所示的统计表格，则下列结论不正确的是(

)123456甲7.09.38.39.28.98.9乙8.19.18.58.68.78.6A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B.甲得分的众数大于乙得分的众数

C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D.甲得分的方差大于乙得分的方差5.若tan(α+π4)=7，则cosA.725 B.34 C.12256.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C=π3，c=6，△ABC面积为3，D为边AB上一点，CD是∠ACB的角平分线，则|CD|=A.3 B.1 C.327.已知正四棱锥的侧棱长为33，当该棱锥的体积最大时，它的高为(

)A.1 B.3 C.2 D.8.已知连续型随机变量ξ服从正态分布N(12,14)，记函数f(x)=P(ξ≤x)A.关于直线x=12对称 B.关于直线x=14对称

C.关于点(12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z=3−5i1−i，则(

)A.z=4−i

B.|z|=17

C.z在复平面内对应的点位于第四象限

D.复数ω满足10.已知数列{an}满足a1+2a2+⋯+2n−1A.a1=2 B.数列{an}是等比数列

C.Sn，S2n，S3n构成等差数列11.已知曲线C:sin(x+2y)=2x−y，P(x0,yA.曲线C与直线y=x+1恰有四个公共点 B.曲线C与直线y=2x−1相切

C.y0是关于x0的函数 D.x0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.双曲线x2−y2m=1的离心率为213.为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y(单位：万块)满足模型y=N1+(Ny0−1)e−px，其中N为饱和度，y0为初始值，p为年增长率.若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约

14.在各棱长均相等的正四面体PABC中，取棱PC上一点T，使PT=2TC，连接TA，TB，三棱锥T−PAB的内切球的球心为M，三棱锥T−ABC的内切球的球心为N，则平面MAB与平面NAB的夹角的正弦值是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，AA1=4，AB⊥AC(1)求证：BE⊥平面A(2)求平面CBE与平面ABE夹角的余弦值．16.(本小题15分)已知函数f(x)=e(1)若在(1,f(1))处的切线斜率为−1，求a;(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．17.(本小题15分)13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌,正面标有1~8,此外还有五张字母牌,正面标有A~E,将这十三张牌随机排成一行.(1)求五张字母牌互不相邻的概率;(2)求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率;(3)对于给定的整数k(1≤k≤8),记“在标有k的数字牌左侧,没有标号比k小的数字牌”为事件Ak,求Ak发生的概率.(结果用含k的式子表示18.(本小题17分)已知集合A={x|x=m+3n,m∈Z,n∈Z}，集合B满足B={x|x∈A(1)判断2+3，3−3，0(2)证明：若x∈B，y∈B，则xy∈B;(3)证明：若x=m+3n∈B，则19.(本小题17分)

如图，椭圆Γ1:x2m+y2n=1(m>n>0)，Γ2:x2n(1)求Γ1与Γ2(2)过点P1作直线MN，交Γ1于点M，交Γ2于点N，设直线P3M的斜率为k1，直线P(3)点Q1是Γ1上的动点，直线Q1P1交Γ2于点Q2，直线Q2P2交Γ1于点Q3，直线Q3P3交Γ2于点Q4，直线参考答案1.C

2.D

3.C

4.A

5.A

6.B

7.D

8.C

9.BCD

10.AD

11.BD

12.3

13.36

14.315.解：(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，

因为AC⊂平面ABC，

所以AA1⊥AC．

因为AC⊥AB，AB∩AA1=A，AB，AA1⊂平面AA1B1B

所以AC⊥平面AA1B1B.

因为BE⊂平面AA1B1B，

所以AC⊥BE．

因为BE⊥AB1，AC∩AB1=A，AC，AB1⊂平面AB已知AB=AC=2，AA1=4，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)．B12,0,4，

设平面ABE的法向量为n1=(x1,y1,z1)，AB=(2,0,0)，设E(0,0,a)，

因为BE⊥AB1，

AB1=(2,0,4)，BE=(−2,0,a)，由AB1⋅BE=0，

即2×(−2)+0×0+4×a=0，解得a=1，所以AE=(0,0,1)．

由n1⋅AB=0n1⋅AE=0，将向量坐标代入可得2x1=0z1=0，令y1=1，

则平面ABE16.解：(1)fx=ex−lnxx+ax−1，

则f′x=ex−1−lnxx2−ax2，

因为函数fx在(1,f(1))处的切线斜率为−1，

所以f′1=e−1−a=−1，

解得a=e．

(2)fx=ex−lnxx+ax−1⩾0恒成立，

即为xex−lnx+a−x⩾0恒成立，

即a⩾x+lnx−xex恒成立，

令ℎx=x+lnx−xex，

则ℎ′x=1+1x−x+1ex=x+11x−ex，

可知函数17.解：（1）13张牌全排列，共有A1313种排法.

五张字母牌互不相邻，

先排八张数字牌，共有A88种排法.

将8张数字牌排好,形成8+1=9个间隔.

从这9个间隔中选5个放置字母牌,共有A95种排法.

则五张字母牌互不相邻的排法有A88A95种.

所以五张字母牌互不相邻的概率为A95A88A1313=9×8×7×6×5×8！13!=14143；

（2）当标有8的卡牌在左端第一个时，剩下12张牌可以随意排列，共有A1212种排法.

当标有8的卡牌在左端第二个时，先从5个字母牌里选一个排在左端第一位，再将剩下11张牌全排列，共有A51·A1111种排法.

当标有8的卡牌在左端第三个时，先从5个字母牌里选两个排在标有8的卡牌的左侧，再将剩下10张牌全排列，共有A52·A1010种排法.

当标有8的卡牌在左端第四个时，先从5个字母牌里选三个排在标有8的卡牌左侧，再将剩下9张牌全排列，共有A53·A99种排法.

当标有8的卡牌在左端第五个时，先从5个字母牌里选四个排在标有8的卡牌左侧，再将剩下8张牌全排列，共有A54·A88种排法.

当标有8的卡牌在左端第六个时，将5个字母牌排在标有8的卡牌左侧，再将剩下7张牌全排列，共有A55·A77种排法.

所以在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率为

A1212+A51A1111+A52A1010+A53A99+A54A88+A55A77A1318.解：(1)2+3，7+43属于B，3−3，0不属于B．

因为2+3∈A，且满足12+3=2−3∈A，故2+3∈B；

因为3−3∈A，而13−3=3+36=12+163∉A，故3−3∉B；

因为0∈A，而10无意义，故0∉B；

因为7+43∈A，且满足17+43=7−43∈A，故7+43∈B；

(2)若x∈B，y∈B，

不妨设x=a+3b，a，b∈Z，y=c+3d，c，d∈Z，

由x∈B，得1a+3b=a−3ba2−3b2=aa2−3b2−ba2−3b23∈A，即aa2−3b2，ba2−3b2∈Z，

由y∈B，得1c+3d=c−3dc2−3d2=cc2−3d2−dc2−3d23∈A，即cc2−3d2，dc2−3d2∈Z，

则xy=(a+3b)(c+3d)=ac+3bd+(ad+bc)3，

由a，b，c，d∈Z可知ac+3bd，ad+bc∈Z，故xy∈A；

1xy=(aa2−3b2−ba2−3b23)(cc2−3d2−dc2−3d23)

=a19.解：(1)由题意可得：4m=11m+1n=1，解得m=4n=43,

所以椭圆Γ1的标准方程为x24+y243=1，椭圆Γ2的标