第7讲 解析几何（2022年高考真题）（解析版）

1、第7讲 解析几何 一、单选题1（2022全国高考真题（理）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，可判断在双曲线的右支，设，即可求出，在中由求出，再由正弦定理求出，最后根据双曲线的定义得到，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，所以，因为，所以在双曲线的右支，所以，设，由，即，则，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，即，所以双曲线的离心率故选：C2（2022全国高考真题（理）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上

2、，且关于y轴对称若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：，设，则，则，故，又，则，所以，即，所以椭圆的离心率.故选：A.3（2022全国高考真题（文）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（）A2BC3D【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，所以.故选：B4（2022全国高考真题（文）已知椭圆的离心率

3、为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若，则C的方程为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率，解得，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.二、多选题5（2022全国高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A直线的斜率为BCD【答案】ACD【解析】【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可

4、判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.6（2022全国高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（）AC的准线为B直线AB与C相切CD【答案】BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点的代入抛物线方程得，

5、所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，联立，得，所以，所以或，又，所以，故C正确；因为，所以，而，故D正确.故选：BCD三、填空题7（2022全国高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，离心率为过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则的周长是_【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长

6、转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【详解】椭圆的离心率为，椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，为正三角形，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式， ， 得， 为线段的垂直平分线，根据对称性，的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.8（2022全国高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：关于对称的点

7、的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：9（2022全国高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为_【答案】【解析】【分析】令的中点为，设，利用点差法得到，设直线，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；【详解】解：令的中点为，因为，所以，设，则，所以，即所以，即，设直线，令得，令得，即，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：10（2022全国高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程_【答案】或或【解析】【分析】先判断

8、两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.11（2022全国高考真题（理）若双曲线的渐近线与圆相切，则_【答案】【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可【详解】解：双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的

9、距离，解得或（舍去）故答案为：12（2022全国高考真题（文）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值_【答案】2（满足皆可）【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.【详解】解：，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）13（2022全国高考真题（文）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为_【答案】【解析】【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：点M在直线上，设点M为，又因为点和均在上，点M到两点的距离相等且为半

10、径R，解得，的方程为.故答案为：14（2022全国高考真题（文）过四点中的三点的一个圆的方程为_【答案】或或或；【解析】【分析】设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为，若过，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或；四、解答题15（2022全国高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面中选取两个作为条

11、件，证明另外一个成立：M在上；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由等价转化为，由在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为，,渐近线方程为，C的方程为：；(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为

12、零，若选由推或选由推：由成立可知直线的斜率存在且不为零；若选推，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,由,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，,条件等价于，综上所述：条件在上，等价于；条件等价于；条件等价于；选推:由解得：,成立

13、；选推：由解得：，成立；选推：由解得：，成立.16（2022全国高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0(1)求l的斜率；(2)若，求的面积【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，再根据，即可解出l的斜率；（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积(1)因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线易知直线l的斜率存在，设，联立可得，所以，所以由可得，即，即，所以，化

14、简得，即，所以或，当时，直线过点，与题意不符，舍去，故(2)不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，因为，所以，即，即，解得，于是，直线，直线，联立可得，因为方程有一个根为，所以，同理可得，所以，点到直线的距离，故的面积为17（2022全国高考真题（理）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线AB的方程【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；（2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直

15、线，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；(2)设，直线，由可得，由斜率公式可得，直线，代入抛物线方程可得，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，设直线，代入抛物线方程可得，所以，所以直线.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.18（2022全国高考真题（文）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足证明：直线HN过定点【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C的方