精品解析2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合练习练习题(名师精选)

1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在RtABC中，C90，AC5，BC3，则sinA的值是（ ）ABCD2、球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，

2、此时钢球距地面的高度是（ ）A米B米C米D米3、如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得米，则拉线AC的长为（ ）A米B6sin52米C米D米4、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若，则的值是（ ）A20B20C5D55、如图，中，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点若长为4，则线段长的最小值为（ ）ABCD6、式子sin45+sin602tan45的值是（）A22BC2D27、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）ABCD8、如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC，水平距离BC

3、1，则斜坡AB的坡度为()ABC30D609、如图，过点O、A(1，0)、B(0，)作M，D为M上不同于点O、A的点，则ODA的度数为（）A60B60或120C30D30或15010、如图，建筑工地划出了三角形安全区，一人从点出发，沿北偏东53方向走50m到达C点，另一人从B点出发沿北偏西53方向走100m到达C点，则点A与点B相距（ ）ABCD130m第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图公路桥离地面的高度AC为6米，引桥AB的水平宽度BC为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD，使其坡度为1：6，则BD的长_2、如图，正方形ABCD中，对角线AC

4、、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论：AGD110.5；2tanAED2；SAGDSOGD；四边形AEFG是菱形；BFOF；SOGF1，则正方形ABCD的面积是128，其中正确的是_（只填写序号）3、如图, 小明沿着坡度 的坡面由 到 直行走了 13 米时, 他上升的高度 _米4、如图，中，点D、点E分别在AB、AC上，连接CD、ED，则_5、如图，直线MN过正方形ABCD的顶点A，且NAD30，AB2，P为直线MN上的动点，连BP，将BP绕B点顺时针旋转60至BQ，连CQ，CQ的

5、最小值是 _三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，矩形的两边在坐标轴上，点A的坐标为，抛物线过点B，C两点，且与x轴的一个交点为，点P是线段CB上的动点，设（）（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，和中的一个角相等？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PMBQ，交CQ于点M，作PNCQ，交BQ于点N，当四边形为正方形时，求t的值2、在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到O的弦AB，则称线段AB是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴

6、”（1）如图，线段CD，EF，GH中是O的以直线l为对称轴的“反射线段”有 ；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），若线段AB是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标若将“反射线段”AB沿直线yx的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为yM，求S（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN1，若MN是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积（4）已知点M，N是在以（2，0）为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足MN，若MN是O的以直线l为对称轴

7、的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围3、如图1，已知抛物线yx2+x+1与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）点C的坐标是 ，点B的坐标是 ；（2）M为线段BC上方抛物线上一动点，连接MC、MB，求MBC面积的最大值，并求出此时M的坐标；（3）如图2，T为线段CB上一动点，将OCT沿OT翻折得到OCT，当OCT与OBC的重叠部分为直角三角形时，求BT的长（4）如图3，动点P从点O出发沿x轴向B运动，过点P作CP的垂线交CB于D点P从O运动到B的过程中，点D运动所经过的路径总长等于 4、如图1所示的是一辆混凝土布料机的实物

8、图，图2是其工作时部分示意图，AC是可以伸缩的布料臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.2米当布料臂AC长度为8米，张角为时，求布料口C离地面的高度（结果保留一位小数；参考数据：，）5、如图，点A、B在以CD为直径的O上，且，BCD=30（1）判断ABC的形状，并说明理由；（2）若BC=cm，求图中阴影部分的面积-参考答案-一、单选题1、A【分析】先根据银河股定理求出AB，根据正弦函数是对边比斜边，可得答案【详解】解：如图，C90，AC5，BC3， ，故选：A【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键2、A【分析】过铅球C作CB底面AB于B，在RtABC中，AC=5米

9、，根据锐角三角函数sin31=，即可求解【详解】解：过铅球C作CB底面AB于B，如图在RtABC中，AC=5米，则sin31=，BC=sin31AC=5sin31故选择A【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题关键3、D【分析】根据余弦定义：即可解答【详解】解：，米，米；故选D【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键，用到的知识点是余弦的定义4、D【分析】先根据直线解析式求得点C的坐标，然后根据BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，利用待定系数法将点B坐标代入即可求得结论【详解】解：直线y=k1

10、x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，点C的坐标为（0，4），OC=4，过B作BDy轴于D，SOBC=2，BD=1，tanBOC=，OD=5，点B的坐标为（1，5），反比例函数在第一象限内的图象交于点B，k2=15=5故选：D【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，锐角三角函数，三角形面积，待定系数法求分别列函数解析式，解题的关键是作辅助线构造直角三角形5、D【分析】如图，连接 由为直径，证明在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接 交于点 则此时最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解，即可得到答案.【详解】解：如图，连接 由为直径， 在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接 交于点

11、则此时最小， ， 故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键.6、B【分析】先分别求解特殊角的三角函数值，再代入运算式进行计算即可.【详解】解：sin45+sin602tan45 故选B【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，正确的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键.7、B【分析】利用勾股定理逆定理得出CDB是直角三角形，以及锐角三角函数关系进而得出结论【详解】解：如图，连接BD，由网格利用勾股定理得：是直角三角形，故选：B【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、余弦等

12、知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键8、A【分析】直接利用坡度的定义得出，斜坡AB的坡度为：，进而得出答案【详解】解：由题意可得：ACB90，则斜坡AB的坡度为：，故选：A【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键9、D【分析】连接，先利用正切三角函数可得，再分点在轴上方的圆弧上和点在轴下方的圆弧上两种情况，分别利用圆周角定理、圆内接四边形的性质求解即可得【详解】解：如图，连接，在中，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当点在轴上方的圆弧上时，由圆周角定理得：；（2）如图，当点在轴下方的圆弧上时，由圆内接四边形的性质得：；综上，的度数为或，故选：D【点睛】本题考

13、查了正切、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键10、B【分析】设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CFAD，CEAD，BEAG，则GACACFEBCBCF53，在RtACF和RtBCE中，根据正切三角函数的定义得到，结合勾股定理可求得AF40，CFDE30，FDCE80，BE60，在RtABD中，根据勾股定理即可求得AB【详解】解：如图，设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CFAD，CEAD，BEAG，CEB90，GACACFEBCBCF53，AC50，BC100，四边形CEDF是矩形，DECF，DFCE，在R

14、tACF中，tanACFtan53，在RtBCE中，tanEBCtan53，tan53，AFCF，CEBE，在RtACF中，AF2+CF2AC2，CF2+（CF）2502，解得CFDE30，AF3040，在RtBCE中，BE2+CE2BC2，BE2+（BE）21002，解得BE60，CEDF6080，ADAF+DF120，BDBEDE30，在RtABD中，AD2+BD2AB2，AB30故选：B【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键二、填空题1、12米#12m【解析】【分析】根据坡度的概念可得ACCD=1【详解】解：根据坡度的概念可得

15、ACCDCD=6AC=36mBD=CD-BC=12m故答案为：12【点睛】此题考查了坡度的概念，掌握坡度的概念是解题的关键，坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度2、【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，可得GADADO45，又由折叠的性质，可求得ADG的度数，从而求得AGD；利用GAD与ADG度数求得AED度数可得；证AEGFEG得AGFG，由FGOG即可得；由折叠的性质与平行线的性质，易得AEG是等腰三角形，由AEFE、AGFG即可得证；设OFa，先求得EFG45，从而知BFEFGFOF；由SOGF1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论【详解】解：

16、四边形ABCD是正方形，GADADO45，由折叠的性质可得：ADGADO22.5，AGD180GADADG112.5，故错误AED180EADADE67.5，tanAED1，则2tanAED2，故错误；由折叠的性质可得：AEEF，EFDEAD90，在AEG和FEG中，AEGFEG（SAS），AGFG，在RtGOF中，AGFGGO，SAGDSOGD，故错误；AGEGADADG67.5AED，AEAG，又AEFE、AGFG，AEEFGFAG，四边形AEFG是菱形，故正确；设OFa，四边形AEFG是菱形，且AED67.5，FEGFGE67.5，EFG45，又EFO90，GFO45，GFEFa，EFO

17、90，EBF45，BFEFGFa，即BFOF，故正确；SOGF1，OG21，即a21，则a22，BFEFa，且BFE90，BE2a，又AEEFa，ABAEBE2aa（2）a，则正方形ABCD的面积是（2）2a2（64）2128，故正确；故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用3、【解析】【分析】根据坡度的定义求得，即可求得的长【详解】解：设，则根据勾股定理可得故答案为：5【点睛】考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=

18、垂直高度水平宽度是解题的关键。4、【解析】【分析】如图，过作于 过作于 作于 证明四边形为矩形，再求解 证明 设 则 再表示 利用列方程，再解方程可得答案.【详解】解：如图，过作于 过作于 作于 四边形为矩形， 设 则 由 同理： 解得： 故答案为：【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的运用“锐角三角函数建立方程”是解本题的关键.5、#【解析】【分析】如图，连接交于 则 先证明 把绕顺时针旋转得到 证明 可得三点共线，在上运动，过作于 则重合时，最短，再求解 从而可得答案.【详解】解：如图，连接PQ交于 则 是等边三角形，

19、 正方形 把绕顺时针旋转得到 则 三点共线， 在上运动，过作于 则重合时，最短， 是等边三角形，记交于 所以CQ的最小值是，故答案为：【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，得到的运动轨迹是解本题的关键.三、解答题1、（1）C（0，4），B（10，4），抛物线解析式为yx2x4；（2）t3时，PBEOCD；（3）t的值为或【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得PBEOCD，利用相似三角形

20、的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得COQQAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在RtBCQ中根据勾股定理可求得BQ、CQ，利用三角函数可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值【详解】解：（1）在yax2bx4中，令x0可得y4，C（0，4），四边形OABC为矩形，且A（10，0），B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为yx2x4；（2）点P在BC上，可设P（t，4），点E在抛物线上，E（t，t2t4），PB10t，PEt2t44t2t，BPECOD90，当PBEOCD时，则PBEOCD，即

21、BPODCOPE，2（10t）4（t2t），解得t3或t10（不合题意，舍去），当t3时，PBEOCD； 当PBECDO时，则PBEODC，即BPOCDOPE，4（10t）2（t2t），解得t12或t10（均不合题意，舍去）综上所述当t3时，PBEOCD；（3）当四边形PMQN为正方形时，则PMCPNBCQB90，PMPN，CQOAQB90，CQOOCQ90，OCQAQB，COQ=QAB=90COQQAB，即OQAQCOAB，设OQm，则AQ10m，m（10m）44，整理得，解得m2或m8，当m2时，CQ，BQ，sinBCQ，sinCBQ，PMPCsinPCQt，PNPBsinCBQ（10t）

22、，t （10t），解得t，当m8时，CQ，BQ，sinBCQ，sinCBQ，PMPCsinPCQt，PNPBsinCBQ（10t），t （10t），可求得t，当四边形PMQN为正方形时，t的值为或【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识在（1）中注意利用矩形的性质求得B点坐标是解题的关键，在（2）中证得PBEOCD是解题的关键，在（3）中利用RtCOQRtQAB求得CQ的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大2、（1）2；（2）；（3）;（4）或【解析】【分析】（1）的半径为1，则的最长的弦长为

23、2，根据两点的距离可得，进而即可求得答案；（2）根据定义作出图形，根据轴对称的方法求得对称轴，反射线段经过对应圆心的中点，即可求得的坐标；由可得当时，yM，设当取得最大值时，过点作轴，根据题意，分别为沿直线yx的方向向上平移一段距离S 后的对应点，则，根据余弦求得进而代入数值列出方程，解方程即可求得的最大值，进而求得的范围；（3）根据圆的旋转对称性，找到所在的的圆心，如图，以为边在内作等边三角形，连接，取的中点,过作的垂线，则即为反射轴,反射轴l未经过的区域是以为圆心为半径的圆，反射轴l是该圆的切线，求得半径为，根据圆的面积公式进行计算即可；（4）根据（2）的方法找到所在的圆心,当M点在圆上运

24、动一周时，如图，取的中点，的中点，即的中点在以为圆心，半径为的圆上运动，进而即可求得反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围【详解】（1）的半径为1，则的最长的弦长为2根据两点的距离可得故符合题意的“反射线段”有2条；故答案为：2（2）如图，过点作轴于点，连接 A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），且，的半径为1，且线段AB是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，由可得当时，yM如图，设当取得最大值时，过点作轴，根据题意，分别为沿直线yx的方向向上平移一段距离S 后的对应点，则， 过中点，作直线交轴于点,则即为反射轴yM，即即解得（舍）（3）的半径为1，则是等边三角形，根据圆的旋转对称性，找到

25、所在的的圆心，如图，以为边在内作等边三角形，连接，取的中点,过作的垂线，则即为反射轴, 反射轴l未经过的区域是以为圆心为半径的圆，反射轴l是该圆的切线当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积为（4）如图，根据（2）的方法找到所在的圆心,设则,是等腰直角三角形,当M点在圆上运动一周时，如图，取的中点，的中点，是的中位线,即的中点在以为圆心，半径为的圆上运动若MN是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，则为的切线设与轴交于点，同理可得反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围为或【点睛】本题考查了中心对称与轴对称，圆的相关知识，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义，掌握轴对称与中心对称并根

26、据题意作出图形是解题的关键3、（1）（0，1），（2，0）；（2）SMBC最大值1， M（1，）；（3）1或2或；（4）35【解析】【分析】（1）令y0，可求B点坐标，令x0，可求C点坐标；（2）求出直线BC的解析式为yx+1，过点M作MNx轴交直线BC于点N，设M（t，t2+t+1），则N（t，t+1），SMBC（t1）2+1，当t1时，SMBC有最大值1，M（1，）；（3）分三种情况讨论：当TC与BO垂直时，即OGT90，CT1，CB，BT1；当OTC90时，CT，BT；当OC与BC垂直时，即OHB90，OH，CH，BH，在RtTCH中，（TH）2TH2+（1）2，求出TH2，则BTBH+

27、TH2；（4）设OPm，则CP，过点P作PFCB交于点F，当COPCPD时，PBm，则有m+m2，可求m，PB，CD，BD，当P点从O点运动，D点从B点开始向C点方向运动，到达COPCPD时，BD的长度达到最大值，当P点再向B点运动时，D点又向B点运动，直到D点回到B点，所以点D运动所经过的路径总长是BD长度的2倍，可求2BD35【详解】解：（1）令y0则x2+x+10，x2或x，B（2，0），令x0则y1，C（0，1），故答案为：（0，1），（2，0）；（2）设直线BC的解析式为ykx+b，yx+1，如图，过点M作MNx轴交直线BC于点N，设M（t，t2+t+1），则N（t，t+1），MNt

28、2+t+1+t1t2+2t，SMBC2（t2+2t）（t1）2+1，M为线段BC上方抛物线上一动点，0t2，当t1时，SMBC有最大值1，M（1，）；（3）如图1，当TC与BO垂直时，即OGT90，TGCO，COTOTC，CTOOTC，CTOCOT，COCT，OC1，CT1，BO2，CB，BT1；如图2，当OTC90时，OCCO1，COTOBC，sinCBO，CT，BT；如图3，当OC与BC垂直时，即OHB90，在RtOHB中，sinOBH，OH，在RtOCH中，CH，BH，OCOC1，CH1，CTCT，CTCHTHTH，在RtTCH中，CT2TH2+CH2，（TH）2TH2+（1）2，TH2，BTBH+TH+22；综上所述：BT的长为1或2或；（4）如图4，CPPD，CPD90，设OPm，CP，过点P作PFCB交于点F，当COPCPD时，OCPCPD，OPPFm，s