杭州市建兰中学2023学年九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

1、2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1如图，为的直径，为上的两点.若，则的度数是（ ）ABCD2， 四个实数，任取一个数是无理数的概率为( )ABCD13在平面直角坐标系xOy中，以点(3，4)为圆心，

2、4为半径的圆( )A与x轴相交，与y轴相切B与x轴相离，与y轴相交C与x轴相切，与y轴相交D与x轴相切，与y轴相离4某人从处沿倾斜角为的斜坡前进米到处，则它上升的高度是（）A米B米C米D米5用配方法解方程时，可将方程变形为（ ）ABCD6若点、都在反比例函数的图象上，并且，则下列各式中正确的是（）ABCD7已知，如图，点C，D在O上，直径AB=6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE=BC，则阴影部分面积为（）ABCD8若反比例函数y=图象经过点（5，-1），该函数图象在（）A第一、二象限B第一、三象限C第二、三象限D第二、四象限9下列四对图形中，是相似图形的是( )A任意两个三角形B任意两个等

3、腰三角形C任意两个直角三角形D任意两个等边三角形10三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是()ABC或D或二、填空题(每小题3分,共24分)11如图，与交于点，则是相似三角形共有_对12已知抛物线，那么点P（-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是_13如图，在RtABC中，BCA=90，BAC=30，BC=4，将RtABC绕A点顺时针旋转90得到RtADE，则BC扫过的阴影面积为_14如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为_ 15若关于的一元二次方程(m

4、-1)x2-4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为_16如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_m（结果保留根号）17若等腰三角形的两边长恰为方程的两实数根，则的周长为_.18如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则的周长与的周长比是_三、解答题(共66分)19（10分）如图，以等腰ABC的一腰AC为直径作O，交底边BC于点D，过点D作腰AB的垂线，垂足为E，交AC的延长线于点F（1）求证：EF是O的切线；（2）证明：CADCDF；（3）若F30，AD，求O的面积20（6分）

5、列一元二次方程解应用题某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同（1）求每个月增长的利润率；（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？21（6分）定义：如图1，点P为AOB平分线上一点，MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若MPN绕点P旋转时始终满足OMONOP2，则称MPN是AOB的“相关角”（1）如图1，已知AOB60，点P为AOB平分线上一点，MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且MPN150求证：MPN是AOB的“相关角”；（2）如图2，已知AOB（090），OP

6、3，若MPN是AOB的“相关角”，连结MN，用含的式子分别表示MPN的度数和MON的面积；（3）如图3，C是函数（x0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC3CA，AOB的“相关角”为APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标22（8分）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求： 为何值时为等腰三角形； 为何值时线段PN的长度最小，最小长度是

7、多少 23（8分）如图，AD是O的直径，AB为O的弦，OPAD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C（1）求证：CBP=ADB（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长.24（8分）如图一座拱桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线.当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m.、（1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式；（2）若水面上升1m，水面宽度将减少多少？25（10分）已知抛物线经过点和 ，与轴交于另一点，顶点为（1）求抛物线的解析式，并写出点的坐标；（2）如图，点分别在线段上（点不与重合），且，则能否为等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由；（3）若点在抛物线上

8、，且，试确定满足条件的点的个数26（10分）如图1：在RtABC中，ABAC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），试探索AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论小明同学的思路是这样的：将线段AD绕点A逆时针旋转90，得到线段AE，连接EC，DE继续推理就可以使问题得到解决（1）请根据小明的思路，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图2，在RtABC中，ABAC，D为ABC外的一点，且ADC45，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；（3）如图3，已知AB是O的直径，点C，D是O上的点，且ADC45若AD6，BD8，求弦C

9、D的长为 ；若AD+BD14，求的最大值，并求出此时O的半径参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】先连接OC，根据三条边都相等可证明OCB是等边三角形，再利用圆周角定理即可求出角度.【详解】解：如图，连接OCAB=2，BC=1，OB=OC=BC=1，OCB是等边三角形，COB=60，CDB=COB=30.故选：B【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定及性质等知识，作半径是圆中常用到的辅助线需熟练掌握.2、B【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论；【详解】共有4种结果，其中无理数有：，共2种情况，任取一个数是无理数的概率；故选B.【点睛】本题主要考查了概率

10、公式，无理数，掌握概率公式，无理数是解题的关键.3、C【解析】分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案解答：解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，4=4，34，圆与x轴相切，与y轴相交，故选C4、A【分析】利用坡角的正弦值即可求解【详解】解：ACB=90，A=，AB=600，sin=，BC=600sin故选A【点睛】此题主要考查坡度坡角问题，正确掌握坡角的定义是解题关键5、D【分析】配方法一般步骤：将常数项移到等号右侧,左右两边同时加一次项系数一半的平方,配方即可.【详解】解：故选D.【点睛】本题考查了配方法解方程的步

11、骤,属于简单题,熟悉步骤是解题关键.6、B【分析】根据反比例函数的图象特征即可得【详解】反比例函数的图象特征：（1）当时，y的取值为正值；当时，y的取值为负值；（2）在每个象限内，y随x的增大而增大由特征（1）得：，则最大由特征（2）得：综上，故选：B【点睛】本题考查了反比例函数的图象特征，掌握理解反比例函数的图象特征是解题关键7、B【分析】连接OD、OC，根据CE=BC，得出DBC=CEB=45，进而得出DOC=90，根据S阴影=S扇形-SODC即可求得【详解】连接OD、OC，AB是直径,ACB=90，CE=BC，CBD=CEB=45，COD =2DBC=90，S阴影=S扇形SODC= 33

12、= .故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算.8、D【解析】反比例函数y=的图象经过点（5，-1），k=5（-1）=-50，该函数图象在第二、四象限故选D9、D【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，对题中条件一一分析，排除错误答案【详解】解：A、任意两个三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故A错误；B、任意两个等腰三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故B错误；C、任意两个直角三角形，直角边的长度不确定，不一定是相似图形，故C错误；D、任意两个等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故D正确；

13、故选：D.【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出10、D【分析】先利用因式分解法解方程得到所以，再分类讨论：当第三边长为6时，如图，在中，作，则，利用勾股定理计算出，接着计算三角形面积公式；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积【详解】解：，或，所以，I当第三边长为6时，如图，在中，作，则，所以该三角形的面积；II当第三边长为10时，由于，此三角形为直角三角形，所以该三角形的面积，综上所述：该三角形的面积为24或故选：D【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，勾股定理

14、及其逆定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解二、填空题(每小题3分,共24分)11、6【分析】图中三角形有：AEG，ADC，CFG，CBA，因为，所以AEGADCCFGCBA，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：AEG，ADC，CFG，CBA，AEGADCCFGCBA共有6个组合分别为：AEGADC，AEGCFG，AEGCBA，ADCCFG，ADCCBA，CFGCBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.12、（1，4）.【解析】试题解析：抛物线的对称轴为： 点关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 故答案为13、4【分析】先

15、利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8，AC=BC=，再根据旋转的性质得到CAE=BAD=90，然后根据扇形的面积公式，利用BC扫过的阴影面积=S扇形BAD-SCAE进行计算【详解】解：BCA=90，BAC=30，AB=2BC=8，AC=BC=4，RtABC绕A点顺时针旋转90得到RtADE，CAE=BAD=90，BC扫过的阴影面积=S扇形BAD-SCAE=故答案为：4【点睛】本题考查了扇形面积计算公式：设圆心角是n，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=或S扇形=（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积也考查了旋转的性质14、【详解】

16、设扇形的圆心角为n，则根据扇形的弧长公式有： ，解得 所以15、且【解析】试题解析: 一元二次方程有两个不相等的实数根，m10且=164(m1)0，解得m5且m1，m的取值范围为m5且m1.故答案为:m5且m1.点睛:一元二次方程 方程有两个不相等的实数根时: 16、40【解析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系即可得出答案【详解】解:由题意可得：BDA=45，则AB=AD=120m，又CAD=30，在RtADC中，tanCDA=tan30=，解得：CD=40（m），故答案为40【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tanCDA=tan30=是解题关键1

17、7、1【分析】先求出一元二次方程的解，再进行分类讨论求周长即可【详解】，解得：，当等腰三角形的三边分别为3，3，6时，3+3=6，不满足三边关系，故该等腰三角形不存在；当等腰三角形的三边分别为6，6，3时，满足三边关系，该等腰三角形的周长为：6+6+3=1故答案为：1【点睛】本题考查一元二次方程的解法与等腰三角形的结合，做题时需注意等腰三角形中边的分类讨论及判断是否满足三边关系18、2：1【分析】根据位似三角形的性质，可得出两个三角形的周长比等于位似比等于边长比求解即可【详解】解：由题意可得出，的周长与的周长比=故答案为：2：1【点睛】本题考查的知识点是位似变化，根据题目找出两个图形的位似比是

18、解此题的关键三、解答题(共66分)19、（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）连接OD，AD，证点D是BC的中点，由三角形中位线定理证ODAB，可推出ODF90，即可得到结论；（2）由ODOC得到ODCOCD，由CAD+OCD90和CDF+ODC90即可推出CADCDF；（3）由F30得到DOC60，推出DAC30，在RtADC中，由锐角三角函数可求出AC的长，推出O的半径，即可求出O的面积【详解】解:（1）证明：如图，连接OD，AD，AC是直径，ADC90，即ADBC，又ABAC，BDCD，又AOCO，ODAB，又FEAB，FEOD，EF是O的切线；（2）ODOC，ODCOCD，A

19、DCODF90，CAD+OCD90，CDF+ODC90，CADCDF；（3）在RtODF中，F30，DOC903060，OAOD，OADODADOC30，在RtADC中，AC 2，r1，SO12，O的面积为【点睛】本题考查了圆的有关性质，切线的判定与性质，解直角三角形等，解题关键是能够根据题意作出适当的辅助线，并熟练掌握解直角三角形的方法20、（1）每个月增长的利润率为5%（2）4月份该公司的纯利润为23.1525万元【分析】（1）设出平均增长率,根据题意表示出1月份和3月份的一元二次方程即可解题,（2）根据上一问求出的平均增长率,用3月份利润即可求出4月份的纯利润.【详解】解：（1）设每个月

20、增长的利润率为x，根据题意得：20（1+x）2=22.05，解得：x1=0.05=5%，x2=2.05（不合题意，舍去）答：每个月增长的利润率为5%（2）22.05（1+5%）=23.1525（万元）答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,理解平均增长率的含义是解题关键.21、（1）见解析；（2）；（3），P点坐标为或【分析】（1）由角平分线求出MOPNOPAOB30，再证出OMPOPN，证明MOPPON，即可得出结论；（2）由MPN是AOB的“相关角”，判断出MOPPON，得出OMPOPN，即可得出MPN180；过点M作MHOB于H，

21、由三角形的面积公式得出：SMONONMH，即可得出结论；（3）设点C（a，b），则ab3，过点C作CHOA于H；分两种情况：当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC3CA不可能；当点A在x轴的正半轴上时；先求出，由平行线得出ACHABO，得出比例式：，得出OB，OA，求出OAOB，根据APB是AOB的“相关角”，得出OP，即可得出点P的坐标；当点B在y轴的负半轴上时；同的方法即可得出结论【详解】（1）证明：AOB60，P为AOB的平分线上一点，AOPBOPAOB30，MOP+OMP+MPO180，OMP+MPO150，MPN150，MPO+OPN150，OMPOPN，MOPPON

22、，OP2OMON，MPN是AOB的“相关角”；（2）解：MPN是AOB的“相关角”，OMONOP2，P为AOB的平分线上一点，MOPNOP，MOPPON，OMPOPN，MPNOPN+OPMOMP+OPM180，即MPN180；过点M作MHOB于H，如图2，则SMONONMHONOMsinOP2sin，OP3，SMONsin；（3）设点C（a，b），则ab4，过点C作CHOA于H；分两种情况：当点B在y轴正半轴上时；、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：BC3CA不可能，、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：BC3CA，CHOB，ACHABO，,OB4b，OAa，OAOBa4bab，APB是A

23、OB的“相关角”，OP2OAOB，AOB90，OP平分AOB，点P的坐标为：；当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示：BC3CA，AB2CA，CHOB，ACHABO，OB2b，OAa，OAOBa2bab，APB是AOB的“相关角”，OP2OAOB，AOB90，OP平分AOB，点P的坐标为：；综上所述：点P的坐标为：或【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键22、（1）平移后抛物线的解析式，= 12；（2），当3时，PN取最小值为【分析】（1）设平移后抛物线的解析式y=x2+bx，将点A（8，0）代入，根据待定系数法即可求得平移后抛物线的解析式，再根据割补法由

24、三角形面积公式即可求解；（2）作NQ垂直于x轴于点Q，分当MN=AN时，当AM=AN时，当MN=MA时，三种情况讨论可得MAN为等腰三角形时t的值；由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=x+6联立，得xN的最小值为6，此时t=3，PN取最小值为【详解】（1）设平移后抛物线的解析式，将点A（8，,0）代入，得=，所以顶点B（4,3），所以S阴影=OCCB=12；（2）设直线AB解析式为y=mx+n，将A（8，0）、B（4，3）分别代入得 ，解得：，所以直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，当MNAN时， N点的横坐标为，纵坐标为，由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍

25、去）.当AMAN时，AN,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，MQ，由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，解得：t12（舍去）；当MNMA时，故是钝角，显然不成立,故；由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=x+6联立，得点N的横坐标为XN=，即t2xNt+36xN=0，由判别式=x2N4（36）0，得xN6或xN14，又因为0 xN8，所以xN的最小值为6，此时t=3，当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，平移的性质，割补法，三角形面积，分类思想，相似三角形的性质，勾股定理，根的判别式，综

26、合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识是解题的关键.23、（1）证明见解析；（2）BP=1.【解析】分析：（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到ABD=90，再根据切线的性质得到OBC=90，然后利用等量代换进行证明；（2）证明AOPABD，然后利用相似比求BP的长详（1）证明：连接OB，如图，AD是O的直径，ABD=90，A+ADB=90，BC为切线，OBBC，OBC=90，OBA+CBP=90，而OA=OB，A=OBA，CBP=ADB；（2）解：OPAD，POA=90，P+A=90，P=D，AOPABD，即，BP=1点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线

27、，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质24、 (1)图见解析，抛物线的函数表达式为（注：因建立的平面直角坐标系的不同而不同）；(2)【分析】（1）以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在线为x轴，过点O作AB的垂线为y轴建立平面直角坐标系（图见解析）；因此，抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的函数表达式为，再将B点的坐标代入即可求解； （2）根据题（1）的结果，令求出x的两个值，从而可得水面上升1m后的水面宽度，再与12m作差即可得出答案.【详解】（1）以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在线为x轴，过点O作AB的垂线为y轴，建立的平面

28、直角坐标系如下：根据所建立的平面直角坐标系可知，B点的坐标为，抛物线的顶点坐标为因此设抛物线的函数表达式为将代入得：解得：则所求的抛物线的函数表达式为（注：因建立的平面直角坐标系的不同而不同）；（2）由题意，令得解得：则水面上升1m后的水面宽度为：（米）故水面上升1m，水面宽度将减少米.【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键.25、（1）；（2）可能，的长为或；（3）当时，满足条件的点的个数有个，当时，满足条件的点的个数有个，当时，满足条件的点的个数有个（此时点在的左侧）【解析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题（2）可能分三种情

29、形当时，当时，当时，分别求解即可（3）如图2中，连接，当点在线段的右侧时，作于，连接设，构建二次函数求出的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题【详解】（1）由题意： 解得抛物线的解析式为，顶点坐标（2）可能如图1，当时，此时与重合，与条件矛盾，不成立当时，又，当时，答：当的长为或时，为等腰三角形（3）如图2中，连接，当点在线段的右侧时，作于，连接设则时，的面积的最大值为，当点在的右侧时，的最大值，观察图象可知：当时，满足条件的点的个数有个，当时，满足条件的点的个数有个，当时，满足条件的点的个数有个（此时点在的左侧）【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题26、（1）CD2+BD22AD2，见解析；（2）BD2CD2+2AD2，见解析；（3）7，最大值为，半径为【分析】（1）先判断出B