点到平面的距离之等体积法 课件-高三数学一轮复习

1、高考备考专题复习点到平面的距离之等体积法空间距离是高考的高频考点由于线线、线面和面面间的距离均可以转化为 点到平面的距离来求因此，点到平面的距离是最基础也是最重要的。今天就来学习求点到平面距离的较简便有效的方法等体积法。等体积法就是构造一个三棱锥，利用三棱锥换底后体积不变法来求点到平面的距离。等体积法求点到平面的距离构造一个以此距离为高的三棱锥，转化为三棱锥的高通过等体积变换求解思路三棱锥以任意一个面为底都还是三棱锥，而且体积不变依据换成哪个面为底体积容易求关键能有效避开“直接法”的难及“向量法”的既难又繁优点例1.【04年全国卷I，节选】如图，已知四棱锥 P-ABCD，PBAD，侧面PAD为

2、边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120。求点P到平面ABCD的距离。ABCDP此题若用直接法，则很难作出距离线段；若用向量法，则很难建立坐标系，且计算也繁琐。若用等体积法就简便多了。分析如图，已知四棱锥 P-ABCD，PBAD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120。 求点P到平面ABCD的距离。ABCDP例1.【04年全国卷I，节选】ABCDPE解：取AD的中点E，连结PE，BE解：取AD的中点E，连结PE，BE， PAD为等边三角形ABCDPE解：取AD的中点E，连结PE，BE， P

3、AD为等边三角形， PEAD ，ABCDPE解：取AD的中点E，连结PE，BE， PAD为等边三角形， PEAD ，又 PBAD， ABCDPE解：取AD的中点E，连结PE，BE， PAD为等边三角形， PEAD ，又 PBAD， AD平面PBE，ABCDPE解：取AD的中点E，连结PE，BE， PAD为等边三角形， PEAD ，又 PBAD， AD平面PBE， ADBE，ABCDPE解：取AD的中点E，连结PE，BE， PAD为等边三角形， PEAD ，又 PBAD， AD平面PBE， ADBE， PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即PEB=120。ABCDPE解：取AD的

4、中点E，连结PE，BE， PAD为等边三角形， PEAD ，又 PBAD， AD平面PBE， ADBE， PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即PEB=120。ABCDPE设点P到平面ABCD的距离为h, 解：取AD的中点E，连结PE，BE， PAD为等边三角形， PEAD ，又 PBAD， AD平面PBE， ADBE， PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即PEB=120。设点P到平面ABCD的距离为h, VP-ABE= VA-PBEABCDPE解：取AD的中点E，连结PE，BE， PAD为等边三角形， PEAD ，又 PBAD， AD平面PBE， ADBE，

5、 PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即PEB=120。设点P到平面ABCD的距离为h, VP-ABE= VA-PBEABPE解：取AD的中点E，连结PE，BE， PAD为等边三角形， PEAD ，又 PBAD， AD平面PBE， ADBE， PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即PEB=120。设点P到平面ABCD的距离为h, VP-ABE= VA-PBEABPE解：取AD的中点E，连结PE，BE， PAD为等边三角形， PEAD ，又 PBAD， AD平面PBE， ADBE， PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即PEB=120。设点P到平面

6、ABCD的距离为h, VP-ABE= VA-PBEABPE解：取AD的中点E，连结PE，BE， PAD为等边三角形， PEAD ，又 PBAD， AD平面PBE， ADBE， PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即PEB=120。设点P到平面ABCD的距离为h, VP-ABE= VA-PBEABPE解：取AD的中点E，连结PE，BE， PAD为等边三角形， PEAD ，又 PBAD， AD平面PBE， ADBE， PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即PEB=120。设点P到平面ABCD的距离为h, VP-ABE= VA-PBE AEBE h =PEBEAE s

7、in120,ABCDPE解：取AD的中点E，连结PE，BE， PAD为等边三角形， PEAD ，又 PBAD， AD平面PBE， ADBE， PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即PEB=120。设点P到平面ABCD的距离为h, VP-ABE= VA-PBE AEBE h =PEBEAE sin120,ABCDPE h= , 点P到平面ABCD的距离为 。 点评本题巧妙地借助二面角PEB所在平面与棱AD的垂直关系构造了三棱锥PAEB，并通过换底利用等体积法解决，从而避免了直接作点P到平面ABCD的距离而求。点评练一练已知在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为（ ）练一练已知在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为（ ）此题直接法既难又繁，向量法显然是小题大做，用等体积法就非常简洁。练一练已知在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为（ ）例2例2直接法：作距离线段，太难！向量法：文科生没学过！等体积法：巧妙解决！例2解：由已知得 , , , VC-POM=