几种特殊类型函数积分

1、关于几种特殊类型函数的积分第1页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四定义：两个多项式的商表示的函数称为有理函数.一、有理函数的积分即称此有理函数是真分式；称此有理函数是假分式；机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。例 多项式的不定积分是容易求的，因此，下面我们只讨论真分式的不定积分。说明：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，共65页，2022年，5月

2、20日，10点51分，星期四（1）分母中若有因式 ，则分解后含有下列项:则分解后含有下列项：（2）分母中若有因式 , 其中具体步骤如下：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四四种典型部分分式的积分: 变分子为 再分项积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四整理得例1 求积分 解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四代

3、入特殊值来确定系数取取取并将 值代入例2：求积分 解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解1:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得：第11页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解2:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回

4、结束 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 第14页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解: 原式例5：求积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解: 原式注意本题技巧按常规方法较繁例6：求积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四三角函数的有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为二、三角函数有理式的积分（万能置换公式）机动 目录 上页 下

5、页 返回 结束 第17页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 万能置换公式第18页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例7：求积分解：由万能置换公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 令第19页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例8：求积分解1：机动 目录 上页 下页 返回 结束 用万能公式较繁第21页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页

6、，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例8：求积分解2：机动 目录 上页 下页 返回 结束 同解1第23页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：一般来说，用万能置换的计算量会比较大， 故在计算三角函数有理式的积分时，通常先考虑其它方法，不得已再用万能置换。第24页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四三角函数有理式的主要积分类型及代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解1:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9：求积分第26页，共6

7、5页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解2：机动 目录 上页 下页 返回 结束 （同解法1）例9：求积分第28页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解3：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9：求积分第29页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例10：求解：令机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、简单无理函数的积分第30页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解：令则原式例11：求积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 第

8、31页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例12：求积分解：令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四例13：求积分解：令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四简单无理函数积分小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、当被积函数含有根式，且根式中含有三角函 数、指数函数、对数函数时，可先令整个根 式为 t ，去掉根式后再作。第34页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 解1:例14：求积分第35页，

9、共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 解2：例14：求积分第36页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四四、内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .简便 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四作

10、业习题4-4 (P280) 2 (双)；3 (双)；4 (双)；机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 备用题第40页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四2、求积分 解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第41页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四3、求积分解1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第42页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解2修改万能置换公式,令机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、求积分第43页，共65页，20

11、22年，5月20日，10点51分，星期四解3可以不用万能置换公式.说明：比较以上三种解法便知，万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、求积分第44页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解: 说明: 通常求含的积分时,往往更方便 .的有理式用代换4、求积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 第45页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解法1 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 5、求积分解法2 原式第46页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四6、

12、求积分解1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第47页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四6、求积分解2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第48页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解3机动 目录 上页 下页 返回 结束 6、求积分第49页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解1机动 目录 上页 下页 返回 结束 7、求积分第50页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解2机动 目录 上页 下页 返回 结束 7、求积分第51页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解3机动 目录 上页 下页 返回

13、结束 7、求积分第52页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解1机动 目录 上页 下页 返回 结束 8、求积分第53页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解2机动 目录 上页 下页 返回 结束 8、求积分第54页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解3机动 目录 上页 下页 返回 结束 8、求积分第55页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解机动 目录 上页 下页 返回 结束 9、求积分第56页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解1机动 目录 上页 下页 返回 结束 10、求积分第57页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解2机动 目录 上页 下页 返回 结束 10、求积分第58页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解3机动 目录 上页 下页 返回 结束 10、求积分第59页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四解4：机动 目录 上页 下页 返回 结束 10、求积分第60页，共65页，2022年，5月20日，10点51分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 则第61页，共65页，2022年，5月20日，1