第二章多自由度机械系统的动力学建模

1、第二章 多自由度机械系统的动力学建模方法当广义坐标不止一个时，记广义坐标为 ，不失一般性，把系统外力F和力矩 统一记为 ，把质量m和转动惯量J统一记为 ,对应的位移和转角统一记为 ,速度为21 多自由度系统建模方法之一（基于动能定理和广义可能位移原理）211 基于动能定理：引入广义坐标得：记为将此式进一步展开：注意到广义坐标为 是独立无关的，得系统运动方程：表为矩阵形式：或： 式中 广义力 二阶广义惯量 三阶广义惯量212基于广义可能位移原理的动力学普遍方程：虚位移1. 虚位移xyOBAMF 质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移虚位移（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（2）虚位移

2、不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；（3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的元功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。FNi ri = 0式中：FNi 表示第i个质点的约束反力； r i 表示第i个质点的虚位移。常见理想约束包括:光滑支承面刚体的固定支点连接两刚体的光滑铰链连接两个质点的无重刚杆不可伸长的绳索2 虚位移原理 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功虚功。 W = F r W = M 虚位移原理FiFNim1m2mi riFi 主动力FNi约束反力 ri虚位移Fi + FNi

3、 = 0Fi ri + FNi ri = 0Fi ri + FNi ri = 0FNi ri = 0 Fi ri = 0 对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零虚位移原理 Fi ri = 0 上式称为虚位移原理的解析表达式 应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法： （1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系； （2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。（一）虚功原理与达朗贝尔原理 虚功原理是关于力学系统平衡的一个普通原理，解题方法一般归纳为：1、

4、判别约束是否为理想约束；2、找出主动力及作用点；3、确定自由度，并选择广义坐标；4、由广义坐标和变换式把虚位移用广义坐标的变分来表示；5、由虚功原理写出平衡方程，由于广义坐标的变分相互独立，所以可以较方便的求解。 达朗贝尔原理是力学体系动力学的一个普通方 程，它考虑的是运动而不是静力学问题。由“运动”学 （ 主动力； 约束反力）变为平衡类型这样把动力学的问题转变为静力学问题处理，这就是著名的“动静法”。由于变为平衡方程，所以完全可按虚功原理方法解决有关问题。虚功原理与达朗贝尔原理一起成为分析力学的最普遍原理的理论基础。由 得：故运动方程：式中各项与前面的推导完全一致。22 复杂机构系统的动力学

5、建模方法之二（拉格朗日方程法）T动能 V势能 L拉氏函数（动势）(二)拉格朗日方程 作为力学系统的运动规律，利用广义坐标从动力学普遍方程推导出来的拉格朗日方程，对整个力学体系的运动提供了一个统一而普遍的解法。拉氏方程是完整理想的力学体系的最普遍的动力学方程，它给解决动力学问题提供了一个高度统一而又概括的方法。这种表述及其方法，不仅在力学范畴有重要意义和实用价值，而且为研究近代物理提供了必须的物理思想和数学技巧。T动能 V势能 L拉氏函数（动势） 拉格朗日方程用高度统一规律描述了力学系统动力学的运动规律，反映在：拉氏方程的形式不随广义坐标的选择而发生变化；对惯性系统和非惯性系，拉氏方程的形式都一

6、样；拉氏方程中的广义坐标、广义速度、广义动量、广义动能都比牛顿力学中的坐标、速度、力、动量、动能具有更普遍的意义。拉氏方程概括了质点、质点组、刚体各种运动的动力学规律。拉氏方程是从能的角度去研究问题。当系统的主动力为保守力系时，拉氏函数成为力学体系的特征函数；拉氏方程的个数与力学体系的约束条件有关。约束越多，方程数就越少，所以与牛顿力学比较，对多约束的力学体系，拉氏方程就愈能显示出它的优越性。但是拉氏方程的物理图象不如牛顿力学直观，这是它的不足之处。在应用拉格朗日方程解题时一般方法是： 首先正确判断力学体系的自由度，并选择适当的广义坐标；。判断是否是保守力场，从而决定选用方程类别；是保守力场时

7、采用： 不是保守力场，或力场性质不明及不易判断情况下要采用一般形式的拉格朗日方程： 求出的速度一定要采用绝对速度。这是动能表达式中所需要的。按广义坐标建立 个方程后，马上检查是否存在循环坐标（拉氏函数中不显含某一广义坐标 ，此为循环坐标），马上就可以写出它的第一积分 ；若采用一般形式的拉格朗日方程，就要求广义力。广义力的求法是：按定义求： 其中 是作用在力学体系的第 个质点上的主动力， 是第 个质点的位矢。在完整系中，广义力 与广义坐标相对应，它们的个数都等于自由度数。广义力还可以写成：将坐标变换式代入上式，计算后求得。按虚功求：虚功原理用广义力与广义位移表示为： 故 仅给广义坐标中之一 的变

8、化，其余 个独立坐标不变，这样可求得所有主动力在相应 上所做元功之和。令 则 同理，可求出 ，或在约束条件许可下， 彼此独立。当 都不为零时， 前的系数即为各广义力。如图所示起升机构，已知马达转矩Mmotor,减速器传动比i,马达转角 ，卷筒半径R，滑轮组倍率a,求动力学方程拉氏方程 设广义坐标 则: 起升机构广义力得到运动方程:小车变幅机构的平面运动的动力学模型建立如图所示的坐标系吊重的坐标为 小车的坐标为取广义坐标 为x(t)和(t)非保守广义力用 描述则:广义惯性力拉格朗日方程为:、 其中是由于摩擦而消耗的能量,若忽略掉摩擦计算出拉格朗日方程的各项具体内容系统移动时的动能：根据m 、M的

9、坐标计算得：系统的势能：得拉格朗日函数为：由拉格朗日方程得到下面微分方程组：因此可以得出结论，通过控制小车加速度及驱动力就可以实现对工作装置摆角的控制。 小车变幅机构的综合运动的动力学模型建立如图所示的坐标系小车的坐标为吊重的坐标为 考虑小车变幅机构的综合运动，建立水平运动和回转运动相结合的动力学模型，吊重的摆角可以分解成两个方向的摆角，同样采用拉格朗日方程，塔式起重机的动力学模型简图如图所示。设 塔机转动的角位移吊重摆线与平面的夹角 吊重摆角在平面上的投影 广义坐标为：x(t),(t) , (t) , (t)非保守广义力(即不包括重力)广义惯性力： 得到拉格朗日方程为：是塔机的回转机构总转动惯量由拉格朗日方程经简化得到下面方程组：投影在xz平面上的角与吊重的质量、小车的驱动力及加速度相关，同理可得与xz平面的夹角与塔机的回转力矩、小车的水平位移、吊重质量和小车质量及回转的角加速度有主要关系。 设已知各构件质心速度 （包含平动与转动）、惯量 （包含平动与转动惯量）。则系统动能为：例如，二自由度系统有：对三自由度系统有： 对任意多自由度系统运用拉格朗日方程法：广义力广义质量系统动能 得运动方程： 带入拉式方程： （2-20）以二自由度系统为例：对三自由度系统有： （2-22） 可以证明，系统动力学方程式与式完全一致.将中的广义力和广义质量代入运动方程式得：上式右边第