2022年新高考数学必刷压轴题专题40圆的“双切线”问题

1、专题 40圆的“双线”问题【方法拨】1.涉及从圆外一点向圆引两条切的相关线段长计算问题对称性常将双切线问题 转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形切点、圆心、圆外点为顶)，向点与圆心 的距离问题转化.2.圆上存在一点、圆心与圆外一（或圆上存在两点与圆外一点）的张角有最大值，张 角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问.【典型示例】例 （2020新课理11）知M：x y 2 x 直线 l 2 y 0， P 为 l 上的动点，过点 的线 , PB 切点为 A B ，| PM AB |最小时，直线 AB 的程为（ ）A.C.2 x 2 x B.D.2 y 02 x y 【答案D【分析】由题意

2、可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A P , M共圆，且AB MP 据PM PA可知直 MP l 时， PM 最小，求出以 MP 为径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出线 AB 的方程【 解 析 】 圆 的 方 程 可 化 为 ， 点 M 到 直 线l的 距 离 为 ，所以直线 l 与圆相离依圆的知识可知，四点A P, , M四点共圆，且 MP ，以PM PAM1 AM 2 2，而 MP 当直线 MP l 时，MPmin ， PAmin ，时 PM 最 共 7 页1 1 12 21 2 1 21 2 1 1 1 12 21 2 1 21 2 1 26 1 2 1 2MP : y 2即

3、1 11 x y x ，由 2 解， 2 y 2 x y 所以以 MP 为径的圆的方程为，两圆的方程相减可得：2 x y ，即为直线 AB 的程例 在平面直角坐标系 xOy 中已知直线 y= 上在 过点 作 O: x2 y=4的切线，切点分别为 A(x ， )，(x ， )，且 x x + y y =2，则实数 k 的值范围为.【案(，5 ，) 2 2642BAC5 10 152【析由 x + y y = 的构联想“数量积”的定义两次”得ACB04，双切线问题利用对称性转化为特征角易得0故直线 y+6上的点 P 只需满足 =4 即足题.而点 与线上点间的距离，以垂线段最短，故只需 到线的距离不

4、于 y8【析由 x + y = 得：x x y OA OB cosAOB 1 1 ，则 3，在，APC0，=4，当直线 l上的点 P 满足 =4 即足意又因为点 C 与线上点间的距离，以垂线段最短，故只需 C 到线的距离不大于 共 7 页由点到直线的距离公式得： 解之得k 或 所以 k 的值范围为(，5 5 ， 2 2例 3过点 作圆C:( )2 y 2t )的切线,切分别为A B,则 PA 的最小值为_.【答案】214【分析】为了求出 PA 的最小值，需建立目标函数，这里选择使用数量积的定义作为突破口，选择线段 PC长为“元”设APCsin 2 ， cos PC，故 PA 2PC) PC2

5、又点 (t t 在直线 ，故 PC 2 即 所以 2 21 8 4故 的最小值为.点评）最值问题要牢固树立建立目标函数的意识；（2及圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题将切线问题转化为一 条切线问题，抓住“特征直角三角形点与圆心的距离问题转. 共 7 页1 1 2 2 1 21 2 1 21 21 1 2 2 1 21 2 1 21 2例 已知圆 ：2y， ：3)2a21( 为数若圆 与 M上分别存在点 P，Q使得OQP30 的值范围为 【答案】 ，0【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点.这里，先将 Q 固不动，则点 P 在圆 运时，当 为 O 的线时， 最，满足题意，需30将

6、角的范围转化为 OQ 间距离问题，即需 再固定 不动，易得只需 OM6即可，利用两点间距离公(a3)(2a)29，解得5a 0.点评：圆上存在一点（或两点）与圆外一点的张角问题，张角最大时，直线与圆相切，转化 为点与圆心的距离问.例 5平面直角坐标系 中点 P 在 轴，从点 向 C ：y3)2 引线，切线长为 d ，点 P 向圆 C (2 小值为2 引切线，切线长为 d ， d 的【答案】 2【分析】求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问. 【解析】设点 P(x，d x2 ， (22， 2 x2，几何意义：点 Px，到 M，N，3)的距离和当 M， 点共线时， 有小值 2，此时 P， 共 7

7、 页1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 【巩固练】1.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 Cxy2，点 A 是 x 轴的一个动点AP， AQ 分切圆 C 于 P， 两点，则线段 的的取值范围_2.已知圆 M：x1)y2，直线 x0， 为直线 l 上点若圆 上存在 两点 ，使得BAC，则点 横标的取值范围是x y 23.已椭圆 C ： 2 b2（）圆 ： x22b ，若在椭圆 C 上不存在 4点 P，使得由点 P 所的圆 C 的条切线互相垂直，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 _4.在面直角坐标系 xOy 中已知圆 O x2+ y= r2 与 C: (x2+ (y2=4过圆

8、 O上任意一点 P 作 的切线，切点分别为 ， 为. ，则实数 r 的值范围5.在平面直角坐标系 xOy 中知圆 C( y 4) 16对于直线 x my 上的任意一点 P ，在圆 C 总存在 Q 使 ，则实数 m 的值范围为 6.在面直角坐标系 xOy 中已知圆 ：22，线 l：30(，过直线 l 2上一点 P 作 O 的条切线，切点分别为 M，.若M ，正实数 a 的取值范围3是_7. 过线 l： 上意点 作圆 ：x22 的条切线，切点分别为 A，当切线最短时， 的积为_8. 已圆 C：24) 上在两点 A， 为直线 x 上的一个动点且满足 ，那么点 的坐标的取值范围_ 共 7 页 1 2

9、2 1 2 2 【答案与提示】21.【答案】 14,2 3【提示】直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转 2案】，【提示】BAC 最时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问.【答案 (0, )【分析】如图过点 P 的条直线与圆 分切于点 ，N 由两条切线相互垂直2知 【解析】 6 ，题知 ，得 a 3 ，又 1 即得出结. 如图，设过点 P 的条直线与圆 C 分切于点 M ，N2，由两条切线相互垂直，可知 OP 6 ， 2又因为在椭圆 C 上存在点 P，得由点 P 所作的圆 C 的两条切线互相垂直，所以 OP ，得 b 6 ，所以 ， 所以椭圆 C1 离心率 1 ，又 ，所以 4.【答案】 共 7 页PO21PO215.【