2017-2018学年北师大版八年级数学下册讲义《构造全等三角形的六种常用方法》

1、G,如图所示：2017-2018 学年北师大版八年级数学下册讲义构造全等三角形的六种常用方法G,如图所示：专训 2 构造全等三角形的六种常用方法【名师点睛】 在进行几何题的证明或计算时， 有时需要在图形中添加一些辅助线， 辅助线能使题目中的条件比较集中， 比较溶液找到一些量之间的关系， 使数学问题较轻松的解决。 常见的辅助线作法有：翻折法、构造基础三角形法、旋转法、平行线法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形。方法 1翻折法1.如图，在 ABC中，BE是ABC 的角平分线， ADBE，垂足为 D，求证： 2=1+C. 解答：证明： BE是ABC 的角平分线， ADBEAB=FB2=

2、AFBAFB=1+C2=1+C. 方法 2构造基础三角形法2.如图,在RtABC 中,ACB=90,AC=BC,ABC=45，点 D 为 BC的中点， CEAD 于点E，其延长线交 AB于点 F，连接 DF.求证： ADC=BDF. 解答：证明：作 BGCB,交 CF 的延长线于点CBG=90，CFAD1 / 5 122017-2018 学年北师大版八年级数学下册讲义构造全等三角形的六种常用方法12CAD+ADC=BCG+ADC=90CAD=BCG在ACD 和CBG 中CAD=BCG AC=BC ACD=CBG=90ACDCBG(ASA) CD=BG，CDA=CGBCD=BDBG=BDABC=

3、45FBD=GBF= CBG在BFG 和BFD 中BG=BD FBD=GBF BF=BFBFGBFD(SAS) FGB=FDBADC=BDF. 方法 3旋转法3.正方形 ABCD 中，E为 BC 上的一点， F为 CD 上的一点， BE+DF=EF，求EAF 的度数。解答：延长 EB使得 BG=DF，连接 AG，在ABG 和ADF 中由 AB=AD，ABG=ADF=90，BG=DF可得ABGADF(SAS) DAF=BAG，AF=AG又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE在AEG 和AEF 中，AE=AE，GE=FE，AG=AFAEGAEF(SSS) EAG=EAFDAF+EAF+B

4、AE=902 / 5 2017-2018 学年北师大版八年级数学下册讲义构造全等三角形的六种常用方法EAG+EAF=90EAF=45. 方法 4平行线法4.如图，在 ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC交 AC 于点 Q，且 AP与 BQ 相交于点 O.求证：AB+BP=BQ+AQ. 解答：证明：过点 O 作 ODBC 交AB 于点 D. ODBC ADO=ABC BAC=60，C=40ABC=80ADO=80BQ 平分 ABC ABQ=QBC=40AQB=C+QBC=80ADO=AQB AP 平分 BAC DAO=QAO=30又OA=OA

5、ADOAQO OD=OQ，AD=AQ 又ODBP PBO=DOB 又 PBO=DBO DBO=DOB DOB 是等腰三角形BD=OD BD=OQ BAP=30，ABQ=40BOP=703 / 5 ，即 AB+BP=BQ+AQ. 2017-2018，即 AB+BP=BQ+AQ. BAP=30，ABC=80APB=70BOP=APB BOP 是等腰三角形BO=BP AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ方法 5倍长中线法5.如图， ABC 中，D 为 BC 的中点。(1)求证：AB+AC2AD；(2)若 AB=5，AC=3，求 AD 的取值范围。解答：(1)证明：由 BD=CD

6、，再延长 AD 至E，使 DE=ADD 为BC 的中点DB=CD在ADC 和EDB 中，AD=DE，ADC=BDE，DB=CDADCEDB(SAS) BE=AC在ABE中，AB+BEAEAB+AC2AD；(2)AB=5，AC=3 5-32 AD5+3 1AD4. 方法 6截长补短法6.如图,ABCD，CE，BE分别平分 BCD 和CBA，点 E在 AD 上，求证： BC=AB+CD. 4 / 5 2017-2018 学年北师大版八年级数学下册讲义构造全等三角形的六种常用方法解答：证明：在 BC 上取点 F，使 BF=BA，连接 EF，BE、CE 分别是 ABC 和BCD 的平分线，1=2，3=4.在ABE和FBE 中AB=FB，1=2，BE=BEABEFBE(SAS) A=