2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第5章 第4节 第1课时　余弦定理、正弦定理

1、 解三角形第1课时余弦定理、正弦定理考试要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B) eq f(c,sin C)2Ra2b2c22bc_cos_A；b2c2a22ca_cos_B；c2a2b22ab_cos_C变形(1)a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3) eq f(abc,sin Asin Bsin C) eq f(a,sin

2、A)2Rcos A eq f(b2c2a2,2bc)；cos B eq f(c2a2b2,2ac)；cos C eq f(a2b2c2,2ab)2.三角形常用面积公式(1)S eq f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；(2)S eq f(1,2)ab sin C eq f(1,2)ac_sin_B eq f(1,2)bc_sin_A；(3)S eq f(1,2)r(abc)(r为内切圆半径).常用结论1三角形内角和定理在ABC中，ABC；变形： eq f(AB,2) eq f(,2) eq f(C,2).2三角形中的三角函数关系(1)sin (AB)sin C；(2)cos (AB)co

3、s C；(3)sin eq f(AB,2)cos eq f(C,2)；(4)cos eq f(AB,2)sin eq f(C,2).3三角形中的射影定理在ABC中，ab cos Cc cos B；ba cos Cc cos A；cb cos Aa cos B.4三角形中的大角对大边在ABC中，ABabsin Asin B 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)在ABC中， eq f(a,sin A) eq f(abc,sin Asin Bsin C).()(4)当b2c2a20时

4、，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，ABC为钝角三角形()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A eq f(,6)，B eq f(,4)，a1，则b()A2B1C eq r(3)D eq r(2)D由 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B)得b eq f(a sin B,sin A) eq f(sin f(,4),sin f(,6) eq f(r(2),2)2 eq r(2).2在ABC中，若a2，c4，B60，则b等于()A2 eq r(3) B12 C2 eq r(

5、7) D28A由余弦定理b2a2c22accos B，得b2416812，所以b2 eq r(3).3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C60，b eq r(6)，c3，则A_75由正弦定理，得sin B eq f(b sin C,c) eq f(r(6)sin 60,3) eq f(r(2),2)，所以B45或135，因为bc，所以BC，故B45，所以A75.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a4，b5，c6，则cos A_，ABC的面积为_ eq f(3,4) eq f(15r(7),4)依题意得cos A eq f(b2c2a2,2bc) eq f(3,

6、4)，所以sin A eq r(1cos2A) eq f(r(7),4)，所以ABC的面积为 eq f(1,2)bc sinA eq f(15r(7),4). 考点一利用正、余弦定理解三角形 eq avs4al(典例1)(1)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b sin 2Aa sin B，且c2b，则 eq f(a,b)等于()A2B3C eq r(2)D eq r(3)(2)在 eq f(ab,cb) eq f(sin C,sin Asin B)；cos A eq r(3)sin A1； eq r(3)cos eq f(A,2)sin A这三个条件中任选一个，补充在下面

7、的横线上，并加以解答问题：已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，bc4，ABC的外接圆半径为2 eq r(3)，且_，求角A及ABC的边BC上的高h.(1)D由正弦定理及b sin 2Aasin B，得2sin Bsin Acos Asin Asin B，又sin A0，sin B0，则cos A eq f(1,2).又c2b，所以由余弦定理得a2b2c22bccos Ab24b24b2 eq f(1,2)3b2，得 eq f(a,b) eq r(3).故选D.(2)解选择：由 eq f(ab,cb) eq f(sin C,sin Asin B)，得(ab)(sin Asin B

8、)sin C(cb)，由正弦定理，得(ab)(ab)c(cb)，整理得a2b2c2bc，所以cos A eq f(b2c2a2,2bc) eq f(bc,2bc) eq f(1,2)，又0A0，sin B eq r(1cos2B) eq f(r(5),3)，sinA eq r(1cos2A) eq f(4r(5),9)，故cosCcos (AB)cos (AB)cos A cos Bsin A sin B，则cos C eq f(1,9) eq f(2,3) eq f(4r(5),9) eq f(r(5),3) eq f(22,27).(2)ab cos C88，ab eq f(22,27)8

9、8，解得：ab108，由 eq f(a,sin A) eq f(b,sin B)得： eq f(a,sin 2B) eq f(b,sin B)，故 eq f(a,b) eq f(2sin B cos B,sin B)2cos B eq f(4,3)，由 eq blc(avs4alco1(ab108，,3a4b，) 解得 eq blc(avs4alco1(a12，,b9，) 由余弦定理得c2a2b22ab cos C，则c2144812129 eq f(22,27)49，故c7，故ABC的周长是abc129728. 考点二判断三角形的形状 eq avs4al(典例2)设ABC的内角A，B，C所对

10、的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不确定A法一：(化角为边)因为b cos Cc cos Bb eq f(a2b2c2,2ab)c eq f(a2c2b2,2ac) eq f(2a2,2a)a，所以a sin Aa，即sin A1，故A eq f(,2)，因此ABC是直角三角形法二：(化边为角)因为bcos Cccos Basin A，所以sin Bcos Csin Ccos Bsin2A即sin (BC)sin2A，所以sinAsin2故sin A1，即A eq f(,2)，因此ABC是直角三角形法三：(射

11、影定理)b cos Cc cos Baa sin A，sin A1，故A eq f(,2)，因此ABC是直角三角形母题变迁若本例条件变为 eq f(a,b) eq f(cos B,cos A)，判断ABC的形状解由 eq f(a,b) eq f(cos B,cos A)，得 eq f(sin A,sin B) eq f(cos B,cos A)，所以sin A cos Acos B sin B，所以sin 2Asin 2B因为A，B为ABC的内角，所以2A2B或2A2所以AB或AB eq f(,2)，所以ABC为等腰三角形或直角三角形判定三角形形状的两种常用途径提醒：在判断三角形的形状时一定要

12、注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件跟进训练2在ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，若(a2b2)sin (AB)(a2b2)sin (AB)，则三角形的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形D法一：已知等式可化为a2sin (AB)sin (AB)b2sin (AB)sin (AB)，即2a2cos A sin B2b2cos B sin A结合正弦定理，上式可化为sin2A cosA sin Bsin2B cosB sin A，即sin A sin B(sin A cos Asin B cos B eq f(1,2)sin A sin

13、B(sin 2Asin 2B)0，A，B均为ABC的内角，sin A0，sin B0，sin 2Asin 2B0，即sin 2Asin 2B，又A，B(0，)，02A2，02B2，2A2B或2A2B，即AB或AB eq f(,2)ABC的形状为等腰三角形或直角三角形，故选D.法二：已知等式可化为a2sin (AB)sin (AB)b2sin (AB)sin (AB)，即2a2cos A sin B2b2cos B sin A由正、余弦定理，可得a2 eq f(b2c2a2,2bc)bb2 eq f(a2c2b2,2ac)a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(a2b2c2

14、)0，ab或a2b2c2，ABC的形状为等腰三角形或直角三角形，故选D. 考点三与三角形面积有关的问题典例3如图，在ABC中，D为BC的中点，AB4，AD eq r(10)，AC6.(1)求ABC的面积；(2)求cos eq blc(rc)(avs4alco1(2Cf(,3)的值解(1)设BDCDx，在ABD和ACD中，利用余弦定理：cos ADB eq f(x21042,2r(10)x)，cos ADC eq f(x21062,2r(10)x)，又cos ADBcos ADC，整理得 eq f(x21062,2r(10)x) eq f(x21042,2r(10)x)，解得x4或4(舍去)，故

15、cos C eq f(7,8)，所以sin C eq f(r(15),8)，故SABC eq f(1,2)68 eq f(r(15),8)3 eq r(15).(2)cos 2Ccos2Csin2C eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)2 eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(15),8)2 eq f(17,32)，sin2C2sin C cos C2 eq f(7,8) eq f(r(15),8) eq f(7r(15),32)，故cos eq blc(rc)(avs4alco1(2C f(,3) cos 2C cos eq f(,3)sin 2C sin eq

16、 f(,3) eq f(1721r(5),64).求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键跟进训练3(1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为 eq f(a2b2c2,4)，则C()A eq f(,2)B eq f(,3)C eq f(,4)D eq f(,6)(2)在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2b2c2 eq r(3)ab，且ac sin B2 eq r(3)sin C，则ABC的面积为_(1)C(2) eq f(r(3),2)(1)因为SABC eq f(1,2)absin C，所以 eq f(a2b2c2,4) eq f(1,2)absin C由余弦定理a2b2c22abcos C，得2abcos C2ab sin C，即cos Csin C，所以tan C1.