东北大学高等数学历年考题12007.01

1、东北大学 2006-2007 第一学期高等数学(上)期末考试试卷答案及评分标准2007.1.10一单项选择题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分）1 C ；2A ；3；4；5二、填空题（本题共 6小题，每小题 4 分，共计 24 分）31 e ；21 ；3 ；(arctan ) ；50.32 2xC226C e C e (或为2)3xx12三、计算题（本题共 4小题，每小题 6 分，共计 24 分） 3tdy 9td2 y2221 3t -2分； 9t -4分 ； 9-6分3311dx t122tt11x xx x2lim( )= = -2分x2xx3x2xxx0 x0 x0se

2、c x12=lim-4 分3x2x0 x 12=lim -6 分3x32x0 3令x 2t,t( , )2 2x2dx=4 2tdt=2 2t-2分4 x2=t tt)C -4 分x 1=2 x 4 x C -6 分22 2dy y y dx x x224原方程化为齐次方程-2 分y令u ,则 y xu, u xx 齐次方程化为积分得-4分u2x1 xlnCuy回代u ,得xx-6分x Cey4将直线化为参数式 x 2t 3t -2分 yz 42t代入平面方程 2t)(3t)(42t)6 0得t 1-4 分x y z 2代入参数方程得故交点为(1,2,2)-6分10 分）(1)求函数的极大值与

3、曲线的拐点 ) ， ( 2) ，yx eyxexx令y 0,x 令y 0,x 2-3分11 0 x y y极大值点为 极大值为 y1e1e当 0 x 时, y 当 x 时, y 022(2, )为曲线的拐点, 即x y 。-6分-8分ee2222曲边梯形面积2 3 e e2A e2xxx121旋转体体积x2)2dx 2(xeV x2e2xdx11 5 ( ).-10分= (2x 2xe2122x44e2e48分）过M(x,y)的切线方程为Y y y(X x)令 0,得 。Y y xyX 2y 2由题设得微分方程-4分y 2 1 z 2 x令 ,得z y111 1通解为 z (x2 C) , 即

4、x C ( 2 )-6 分xy x12代入 y 2，得C 2x2x2 1所求曲线方程为 y -8分2x5y9 02y z4 08分）把直线方程改写为过此直线的平面束方程为2x5y9 (2y z4) 0-4分其法向量为(2,2 5,)由(2,2 5,)3) 0得 -6 分2x5y9 (2y z4) 0即xy18z 0-8 分8分） f(x)在x 处可导，必连续。由f0) lim x2 1 fx1f 0) lim(ax b) a bx1可得 1-3 分a bx21b1由 f l i mx1 2， f ax1x1x1则有b 2, 1.-5 分a0 1x2xf(x) 2x1x 1x3当x1时,当x 1时，(x)x x23012122(x) x x (2x x x -8分xx30016分）由于 f(x)a,b上连续，在(a,b内可导，f(a) f(b).由Rolle 定理， (a,b)，使 f( ) 0-2 分对于f(x)a,b应用Lagrange中值定理 (a,), ,b)使12) ( )f a( ) )ff b f