高考数学(理数)一轮复习学案12．2《合情推理与演绎推理》(含详解)

1、PAGE PAGE 8122合情推理与演绎推理1两种基本的推理推理一般包括_和_两类2合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简言之，归纳推理是由_到整体、由_到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简言之，类比推理是由_到_的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行_、_，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理3演绎推理(1)演绎推理：从

2、一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由_到_的推理(2)“_”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.自查自纠：1合情推理演绎推理2(1)部分个别(2)特殊特殊(3)归纳类比3(1)一般特殊(2)三段论 下列表述正确的是 ()归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理A BC D解：归纳推理是由部分到

3、整体、由个别到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理故正确故选D. 下列推理过程是类比推理的为 ()A人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5B科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C通过检验溶液的pH值得出溶液的酸碱性D数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数解：由类比推理的概念可知，选项B为类比推理选项A为归纳推理，选项C、D为演绎推理故选B. (eq avs4al(2018泸州二诊)甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”若这三人中仅有一人

4、说法错误，则下列结论正确的是 ()A甲被录用了 B乙被录用了C丙被录用了 D无法确定谁被录用了解：由于甲和丙的说法对立，故甲和丙必一真一假，假如甲、乙说法正确，丙说法错误，则甲和丙都被录用，不成立；若甲说法错误，乙、丙说法正确，则甲被录用，满足题意故选A. 数列eq f(1,2)，eq f(1,3)，eq f(2,3)，eq f(1,4)，eq f(2,4)，eq f(3,4)，eq f(1,m1)，eq f(2,m1)，eq f(m,m1)的第20项是_解：eq f(m,m1)在数列中是第123meq f(m（m1）,2)项，当m5时，即eq f(5,6)是数列中第15项，则第20项是eq

5、f(5,7).故填eq f(5,7). (eq avs4al(2017湖北优质高中联考)如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n1，nN)个点，相应的图案中总的点数记为an，则eq f(9,a2a3)eq f(9,a3a4)eq f(9,a4a5)eq f(9,a2 018a2 019)_.解：每条边有n个点，所以3条边有3n个点，三角形的3个顶点重复计算了一次，所以减3个顶点，即an3n3，那么eq f(9,anan1)eq f(9,（3n3）3n)eq f(1,n1)eq f(1,n)，即eq f(9,a2a3)eq f(9,a3a4)eq f(9,a4a5)eq

6、 f(9,a2 018a2 019)(eq f(1,1)eq f(1,2)(eq f(1,2)eq f(1,3)(eq f(1,3)eq f(1,4)(eq f(1,2 017)eq f(1,2 018)1eq f(1,2 018)eq f(2 017,2 018).故填eq f(2 017,2 018).类型一归纳推理(1)在数列an中，a11，an1eq f(2an,2an)，nN*，猜想这个数列的通项公式是什么？说明理由解：在an中，a11，a2eq f(2a1,2a1)eq f(2,3)，a3eq f(2a2,2a2)eq f(1,2)eq f(2,4)，a4eq f(2a3,2a3)

7、eq f(2,5)，所以猜想an的通项公式aneq f(2,n1).证明如下：因为a11，an1eq f(2an,2an)，所以eq f(1,an1)eq f(2an,2an)eq f(1,an)eq f(1,2)，即eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(1,2)，所以数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是以eq f(1,a1)1为首项，eq f(1,2)为公差的等差数列，所以eq f(1,an)1eq f(1,2)(n1)eq f(1,2)neq f(1,2)，所以通项公式aneq f(2,n1).(2)(eq avs4al(2017烟台模拟)观察下列不等式

8、1eq f(1,22)eq f(3,2)，1eq f(1,22)eq f(1,32)eq f(5,3)，1eq f(1,22)eq f(1,32)eq f(1,42)eq f(7,4)，照此规律，第五个不等式为_解：观察不等式的特点，每个不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且右端分数的分子依次构成等差数列故第五个不等式为1eq f(1,22)eq f(1,32)eq f(1,42)eq f(1,52)eq f(1,62)eq f(11,6).故填1eq f(1,22)eq f(1,32)eq f(1,42)eq f(1,52)eq f(1,62)eq f(11,6).点

9、拨：本题考查归纳推理，通过对某些个体的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律，再从中推出一个明确表达的一般性命题，从而写出题中要求的具体命题(1)根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的一个通项公式()a13，an12an1；()a1a，an1eq f(1,2an).解：()由已知有a13221，a22a112317231，a32a2127115241，a42a31215131251.由此猜想an2n11，nN*.()由已知有a1a，a2eq f(1,2a1)eq f(1,2a)，a3eq f(1,2a2)eq f(2a,32a)，a4eq f(1,2a3)eq f(32a,4

10、3a).由此猜想aneq f(（n1）（n2）a,n（n1）a)，nN*.(2)(eq avs4al(2016山东)观察下列等式：(sineq f(,3)2(sineq f(2,3)2eq f(4,3)12；(sineq f(,5)2(sineq f(2,5)2(sineq f(3,5)2(sineq f(4,5)2eq f(4,3)23；(sineq f(,7)2(sineq f(2,7)2(sineq f(3,7)2(sineq f(6,7)2eq f(4,3)34；(sineq f(,9)2(sineq f(2,9)2(sineq f(3,9)2(sineq f(8,9)2eq f(4,

11、3)45；照此规律，(sineq f(,2n1)2(sineq f(2,2n1)2(sineq f(3,2n1)2(sineq f(2n,2n1)2_.解：注意到等式的右边分别为eq f(4,3)12，eq f(4,3) 23，eq f(4,3)34，eq f(4,3)45，所以最后一个等式的右边为eq f(4,3)n(n1)故填eq f(4,3)n(n1)类型二类比推理(1)(eq avs4al(教材习题改编)在平面几何中， ABC的内角C的角平分线CE分AB所成线段的比满足eq f(AE,BE)eq f(AC,BC).把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，平面DEC平分二面角A

12、CDB且与AB相交于点E，则得到类比的结论是_解：将平面中线段的比类比到空间中面积的比可得eq f(AE,EB)eq f(SACD,SBCD).故填eq f(AE,EB)eq f(SACD,SBCD).点拨：本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下.平面点线圆三角形角面积周长空间线面球三棱锥二面角体积表面积(2)若等差数列an的前n项之和为Sn，则一定有S2n1(2n1)an成立若等比数列bn的前n项之积为Tn，类比等差数列的性质，则有()AT2n1(2n1)bn BT2n1(2n1)bnCT2n1(2n1)b

13、eq oal(2n1,n) DT2n1beq oal(2n1,n)解：在等差数列an中，a1a2n12an，a2a2n22an，故有S2n1(2n1)an.在等比数列bn中，b1b2n1beq oal(2,n)，b2b2n2beq oal(2,n)，故有T2n1b1b2b2n1beq oal(2n1,n).故选D.点拨：只要将等差数列关系式中的d换成等比数列中的q，并将“加、减、乘、除”依次变成“乘、除、乘方、开方”运算即可得到等比数列的关系式，而等差数列中d0通常类比成等比数列中q1.(1)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有

14、：c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是_解：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得Seq oal(2,1)Seq oal(2,2)Seq oal(2,3)Seq oal(2,4).故填Seq oal(2,1)Seq oal(2,2)Seq oal(2,3)Seq oal(2,4).(2)“解方程eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)eq sup12(x)eq blc(rc)(avs4alco1(

15、f(4,5)eq sup12(x)1”有如下思路：设f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)eq sup12(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)eq sup12(x)，则f(x)在R上单调递减，且f(2)1，故原方程有唯一解x2.类比上述思路，不等式x6(x2)(x2)3x2的解集是_解：不等式化为x6x2(x2)3(x2)，设g(x)x3x，则g(x)在R上单调递增，所以不等式即g(x2)g(x2)，所以x2x2，解得x2或x1.故填x|x2或x1类型三演绎推理指出下面推理中的错误(1)自然数是整数大前提5是整数小前提所以，5是自然数结论(2)指

16、数函数yax是增函数大前提yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(x)是指数函数小前提所以，yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(x)是增函数结论(3)三角函数是周期函数 大前提ysinx(0 x)是三角函数小前提所以，ysinx(0 x)是周期函数结论解：(1)推理形式错误，自然数是整数为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数(2)大前提错误，因为当0a1时，指数函数yax是减函数(3)推理形式错误，大前提中的“三角函数”和小前提中的“三角函数”概念不同点拨：演绎推理是一种必然性推理，只有前提和推理形式都是正

17、确的，结论才一定是正确的，否则，不能保证结论的可靠性有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线，即已知直线b平面，直线a平面，若直线b平面，则直线b直线a.”该结论显然是错误的，这是因为 ()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误解：直线平行于平面，这条直线可能与该平面内的直线成异面直线，即大前提错误故选A.类型四推理的应用(eq avs4al(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据

18、以上信息，则 ()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩故选D.点拨：推理在实际生活中的应用是近年高考的一个热点问题，对已知条件进行有效的组合一般可直接得到结果，对复杂情形，可能需要先假设，再判断(eq avs4al(2018海南二联)在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中找出真正的嫌疑人，现

19、有四条明确的信息：此案是两人共同作案；若甲参与此案，则丙一定没参与；若乙参与此案，则丁一定参与；若丙没参与此案，则丁也一定没参与据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是()A甲、乙 B甲、丙 C乙、丙 D丙、丁解：逐项考查：若甲、乙参与此案，则不符合；若甲、丙参与此案，则不符合；若乙、丙参与此案，则不符合；当丙、丁参与此案，全部符合故选D.1归纳推理的前提是一些特殊的情况，所以归纳推理要在观察、经验、实验的基础上进行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的归纳推理的一般过程如下

20、(1)通过观察个别情况，发现相同的性质(2)推出一个明确表述的一般性结论2在数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，并且应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用类比的方法提出猜想，然后再加以证明的进行类比推理，重要的是要找准合适的类比对象，如三棱锥、球、体积的类比对象一般分别为三角形、圆、面积；同时还要注意不仅可进行形式的类比，还可进行方法的类比类比推理的一般步骤如下(1)找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明1下面几种推理

21、过程是演绎推理的是()A某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B由三角形的性质，推测空间四面体的性质C平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D在数列an中，a11，aneq f(1,2)(an1eq f(1,an1)，计算前3项并归纳出an的通项公式解：A、D是归纳推理；B是类比推理；C使用了“三段论”，是演绎推理故选C.2给出下列三个类比结论(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)n anbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sinsin；(ab)2a22abb2与(

22、ab)2类比，则有 (ab)2a22abb2.其中正确结论的个数是 ()A0 B1 C2 D3解：(ab)nanbn(n1，ab0)，故错误sin()sinsin不恒成立，如30， 60，sin901，sin30sin60eq f(r(3),4)，故错误由向量的运算公式知正确故选B.3若数列an是等差数列，则数列bn(bneq f(a1a2an,n)也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为 ()Adneq f(c1c2cn,n) Bdneq f(c1c2cn,n)Cdneq r(n,f(ceq oal(n,1)ceq oal(n,2)ceq

23、 oal(n,n),n) Ddneq r(n,c1c2cn)解：若an是等差数列，则a1a2anna1eq f(n（n1）,2)d，所以bna1eq f(n1,2)deq f(d,2)na1eq f(d,2)，即bn为等差数列若cn是等比数列，则c1c2cnceq oal(n,1)q12(n1)ceq oal(n,1)qeq sup6(f(n（n1）,2)，所以dneq r(n,c1c2cn)c1qeq sup6(f(n1,2)，即dn为等比数列故选D.4(eq avs4al(2017葫芦岛测评)在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌上，为了使他们能够自由与邻座交谈，事先

24、了解到的情况如下甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语则这五位代表的座位顺序应为 ()A甲、丙、丁、戊、乙 B甲、丁、丙、乙、戊C甲、乙、丙、丁、戊 D甲、丙、戊、乙、丁解：由题意，甲、乙、丙、丁、戊5个人围成圆圈，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流从甲开始，甲会说汉语和英语，则甲的相邻座位一定是丙和丁，可知选项D符合或运用排除法来解决观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，选项B，C错误，乙不能和甲交流，选项A错误故选D.5(eq avs4al(2018安庆二模)对大于1的自然数的

25、三次幂可以分解成几个奇数的和，比如2335，33 7911，4313151719，以此规律，则453的分解和式中一定不含有 ()A2 069 B2 039 C2 009 D1 979解：由规律得n3中有n项，而23，33，43中第一项分别为32221，73231，134241，所以453中第一项为4524511 981，最后一项为1 9812442 069，所以一定不含有1 979.故选D.6某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期是 ()A10日和12日

26、B2日和7日C4日和5日 D6日和11日解：这12天的日期之和，S12eq f(12,2)(112)78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和是22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日故选D.7(eq avs4al(2017河南八市联考)观察下列等式：141，2479，34252729，4461636567，照此规律，第5个等式可为_解：观察可知每个等式右端的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，设行数为n，用an1表示等

27、式右端的第一个数，则an1n3n1，因此第5行的第一个数为5351121，则第5个等式为54121123125127129.故填54121123125127129.8下表中的数阵为“森德拉姆筛子”，其特点是每行每列都成等差数列记第i行第j列的数为ai，j(i，jN*)，如a1，14.则a9，9_.47101316712172227101724313813223140491627384960解：由题知，在第1行，第1个数是4，公差为3，因此第1行的第9个数为a1，943(91)28；又由表可知，第j列数的公差为2j1，故a9，928(291)(91)180.或由a1，114，a2，226，a3，

28、338，得ai，ii(2i2)，从而a9，9920180.故填180.9设f(x)eq f(1,3xr(3)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解：f(0)f(1)eq f(1,30r(3)eq f(1,31r(3)eq f(1,1r(3)eq f(1,3r(3)eq f(r(3)1,2)eq f(3r(3),6)eq f(r(3),3)，同理可得，f(1)f(2)eq f(r(3),3)，f(2)f(3)eq f(r(3),3)，并注意到这三个式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1x21时，均有f(x1)f(x2)eq f

29、(r(3),3).证明：设x1x21，则f(x1)f(x2)eq f(1,3x1r(3)eq f(1,3x2r(3)eq f(（3x1r(3)）（3x2r(3)）,（3x1r(3)）（3x2r(3)）)eq f(3x13x22r(3),3x1x2r(3)（3x13x2）3)eq f(3x13x22r(3),r(3)（3x13x2）23)eq f(3x13x22r(3),r(3)（3x13x22r(3)）)eq f(r(3),3).10先解答(1)，再根据结构类比解答(2)(1)已知a，b为实数，且|a|1，|b|ab；(2)已知a，b，c均为实数，且|a|1，|b|1，|c|abc.证明：(1)ab1(ab)(a1)(b1)0.(2)因为|a|1，|b|1，|c|1，所以|ab|abc，所以abc2(ab)c11(abc)1(ab1)cabc.11在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：eq f(1,AD2)eq f(1,A