2019年湖州师范学院高等数学(微积分)竞赛试题答案

1、20 x21ex20802nnnn10，而 limnn1求积分1(cosx1141(cosxx3x2(n 1)0,n0,0,xsinx01 x2ex )sinx2x22x21 x1ex )sin4xn 1)= 1 (111且12x481812x220(22006，试求n1n10,1cos2 x。0(x2x2x4)0(,n),2006dxx4),40(11x2)的值。n1 (120 x21ex20802nnnn10，而 limnn1求积分1(cosx1141(cosxx3x2(n 1)0,n0,0,xsinx01 x2ex )sinx2x22x21 x1ex )sin4xn 1)= 1 (111

2、且12x481812x220(22006，试求n1n10,1cos2 x。0(x2x2x4)0(,n),2006dxx4),40(11x2)的值。n1 (11，故20060(x2)0(x4)x2x21，n0,2005x4)。1 xsin x0(1),22n120060(limn 0(1)x2)8x 0n32x43xx20(x2) sin x2120(12x2)，（数学专业）一、计算题（每小题 15分，满分 60分）x21. 计算： limx解： 1x22又 cosxx2故 limx1limx22设limn解：,显然由条件知n 0(1)因此有3.xsin x0t，有120 xsin x0e2(

3、x,y)|0emax(D21 x0 0yy0时，由1y1 a0(4a a2)715(1 a)dVda1 cos2 xcos2 xsinx11max(xy2，得知直线 y=x 将D 划分为两个区域：xx ,y2D1xax2(aax2yx2ax1x21 a20, 并由adx=dx2cos2 xcos2 x21,02D220,x(aax21.旋转体的体积aa2x4)dx0得唯一的驻点 a=4.。2001dxdx=,y2ydxdy1dy0)与0,x解得a2 a215xxsin x0t，有120 xsin x0e2( x,y)|0emax(D21 x0 0yy0时，由1y1 a0(4a a2)715(1

4、 a)dVda1 cos2 xcos2 xsinx11max(xy2，得知直线 y=x 将D 划分为两个区域：xx ,y2D1xax2(aax2yx2ax1x21 a20, 并由adx=dx2cos2 xcos2 x21,02D220,x(aax21.旋转体的体积aa2x4)dx0得唯一的驻点 a=4.。2001dxdx=,y2ydxdy1dy0)与0,x解得a2 a215x1(cos2(2020dxdy，其中x, Demax( dxdyy0y0)x5(1 a)2sinxcos2 xt)sin(t)xsin x1sin x1D2x ,y2dy ey1围成一平面图形。问1dx+2t)cos2 x

5、2cos2 x( x,y) |0( x, y)|0220 x2交于 A 点，过坐a,yxsinx1dtdxdxxx=1dxa1cos2 x20arctg (cosx)|201,01,xex dxdy0.adx(1 cos2t4yy2xext)sint1 。1 。ey dxdy2dt21dx0yey dy2e 1。令xxsinx2=所以4计算二重积分D解：令 xD1于是，原式=D1= dx e二、（本题满分 20分）设曲线标原点 O 和 A 点的直线与曲线为何值时，该图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体积最大？最大体积是多少？解：当 xy故直线 OA 的方程为1VdVda令故a=4时旋转体的体积最大

6、，且最大体积为2 161520分）计算曲线积分y2(AmOAxma2y(e sin y(x) 在0，1上可导，且(0,1)，使得 f(x)1(0)(0,12)，,1上用罗尔定理知)f32 5552(eax。exsinyAmOy2xfxf(x)，0,( ,1)，使得 Ff ( )( )1875xm)2 161520分）计算曲线积分y2(AmOAxma2y(e sin y(x) 在0，1上可导，且(0,1)，使得 f(x)1(0)(0,12)，,1上用罗尔定理知)f32 5552(eax。exsinyAmOy2xfxf(x)，0,( ,1)，使得 Ff ( )( )1875xm)dx (OAmy)

7、dxaxmy)dx(1)0( )F(1)f ( )(x)在a，b上连续，且y my)dxex cosyAmO(excos8(2f ( )f(1)( )0，。f(a)=0，试证明：(ex cosm)dyyexcosy2。20，y0m)dyAm)dyxf20m)dy，ma28(x)dxxf (x)dx0f( ) 2，2f ( )F( )三、（本题满分其中 AMO 为由点 A(a,0)至点 O(0,0)的上半圆周 x2解：在 Ox轴上连结 O(0,0)与点 A(a,0), 这样，便构成了封闭的半圆形 AmOA,且在线段 OA 上。OA从而另一方面，利用格林公式可得(emdxdyx2于是AMO1四、（

8、本题满分 20分）设函数 f试证明存在证明：令 F1则有 F其中在即 f(所以 f五、（本题满分 15分）设函数f (2xaba|sin21|sin1)limn)p1 n|sinn 11n1时收敛，当 p2( x(f (2n21nn2npn2n2n2p1时发散。x)dx)x)dx1 | 收敛的条件并证明，其中=111 | 的敛散性与1 n的敛散性一致。(b2(tba(|p |n|a)2af (x)2dt(x(x1)n cossin1，|p 的敛散性相同，bf (af (2xaba|sin21|sin1)limn)p1 n|sinn 11n1时收敛，当 p2( x(f (2n21nn2npn2n2n2p1时发散。x)dx)x)dx1 | 收敛的条件并证明，其中=111 | 的敛散性与1 n的敛散性一致。(b2(tba(|p |n|a)2af (x)2dt(x(x1)n cossin1，|p 的敛散性相同，bf (a)a)an sin n|p( f (2(x) (2，(a) (f (ba1) dxxabaf( 1)n sin( n2f