2022年新教材高中数学第2章平面向量及其应用6平面向量的应用6.1余弦定理与正弦定理3用余弦定理正弦定理解三角形第1课时三角形中的几何计算素养作业北师大版必修第二册

1、PAGE PAGE 6第二章6.1 3 第一课时A组素养自测一、选择题1在ABC中，若eq f(sin A,a)eq f(cos B,b)，则角B等于(B)A30B45C60D90解析由正弦定理知eq f(sin A,a)eq f(sin B,b)，eq f(sin A,a)eq f(cos B,b)，sin Bcos B，0B0)，则eq blcrc (avs4alco1(bc4k,ca5k,ab6k)，解得eq blcrc (avs4alco1(af(7,2)k，,bf(5,2)k，,cf(3,2)k.)sin Asin Bsin Cabc753.6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是

2、a，b，c.若c2(ab)26，Ceq f(,3)，则ABC的面积是(C)A3Beq f(9r(3),2)Ceq f(3r(3),2)D3eq r(3)解析由余弦定理，得c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)26，ab6，SABCeq f(1,2)absin Ceq f(1,2)6eq f(r(3),2)eq f(3r(3),2).二、填空题7ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为 eq f(2r(3),3) .解析根据正弦定理有：sin Bsin Csin Csin B4sin Asin

3、Bsin C，所以2sin Bsin C4sin Asin Bsin C，因为B，C(0，)，所以sin B0，sin C0，所以sin Aeq f(1,2).因为b2c2a28，所以cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(4,bc)eq f(r(3),2)，所以bceq f(8r(3),3)，所以Seq f(1,2)bcsin Aeq f(2r(3),3).8在ABC中，A60，最大边长与最小边长是方程x29x80的两个实根，则边BC长为 eq r(57) .解析A60，可设最大边与最小边分别为b、c.由条件可知，bc9，bc8，BC2b2c22bccos A(bc)22bc2b

4、ccos A922828cos 6057，BCeq r(57).9在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos Ceq f(1,8)，若eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(5,2)，且ab9，则c 6 .解析因为eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(5,2)，所以abcos Ceq f(5,2)，所以ab20，又因为ab9，所以a22abb281，所以a2b241，所以c2a2b22abcos C36，解得c6.三、解答题10如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB2，BC6，CDDA4，求四边形ABCD的面积解析如

5、图，连接BD，则四边形ABCD的面积为SSABDSCDBeq f(1,2)ABADsin Aeq f(1,2)BCCDsin C因为AC180，所以sin Asin C，所以Seq f(1,2)(ABADBCCD)sin Aeq f(1,2)(2464)sin A16sin A在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos A2242224cos A2016cos A在CDB中，由余弦定理得BD2CB2CD22CBCDcos C5248cos C所以2016cos A5248cos C因为cos Ccos A，所以64cos A32，所以cos Aeq f(1,2)，又0Aa，,1

6、232a2，)3a3，,12a232，)2eq r(2)a3，2eq r(2)aeq r(10).二、填空题5已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为 eq r(3) .解析本题考查正弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式，由正弦定理可得(2b)(ab)(cb)c，即2a2babb2c2bc，将a2代入可得b2c2bc4，所以4bc.当且仅当bc2时等号成立，所以SABCeq f(1,2)bcsin A，当角A60时有最大值为eq r(3).6如图，若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60，

7、则cos A 0 ，该圆的直径长度为 65 .解析由余弦定理得BD239252223952cos C，BD225260222560cos A，AC180，cos Ccos A，(392252)(602522)23952cos A22560cos A0，cos A0.0A180，A90，BD2392522652，BD65.三、解答题7在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，Ceq f(,3).(1)若ABC的面积等于eq r(3)，求a，b；(2)若sin B2sin A，求ABC的面积解析(1)由余弦定理及已知条件得a2b2ab4，又ABC的面积为eq r(3)，故eq

8、 f(1,2)absin Ceq r(3)，得ab4.联立方程组eq blcrc (avs4alco1(a2b2ab4，,ab4，)得eq blcrc (avs4alco1(a2，,b2.)(2)sin B2sin A，由正弦定理得b2a，联立方程组eq blcrc (avs4alco1(a2b2ab4，,b2a，)得eq blcrc (avs4alco1(af(2r(3),3)，,bf(4r(3),3).)故ABC的面积Seq f(1,2)absin Ceq f(2r(3),3).8如图所示，在平面四边形ABCD中，ADC90，BAD45，AB2，BD2eq r(2).eq blc(rc)(avs4alco1(sin 105f(r(6)r(2),4)(1)求ADB的大小；(2)若DC2eq r(2)，求四边形ABCD的面积解析(1)在ABD中，由正弦定理得：eq f(AB,sin ADB)eq f(DB,sin BAD)，所以sin ADBeq f(ABsin BAD,DB)eq f(2f(r(2),2),2r(2)eq f(1,2).因为A45，所以0ADB135，所以ADB30.(2)在ABD中，ABD1803045105，sin 105eq f(r(6)r(2),4)，所以SABDeq f(1,2)BABDsin ABDeq f(1