高中新课标数学基础知识汇整合

1、高中新课标数学基础知识汇整合第一部分集合1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的重点:元素是函数关系中自变量的取值?仍是因变量的取值?仍是曲线上的点?;2.数形联合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化,尔后利用数形联合的思想方法解决;是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3.(1)含n个元素的集合的子集数为1；非空真子集的数为2；2,真子集数为n2(2）ABABAABB;注意：讨论的时候不要忘掉了A的情况；（）CI(AB)(CIA)(CIB);CI(AB)(CIA)(CIB)第二部分函数与导数1.照射:注意第一个

2、集合中的元素必定有象;一对一,或多对一.函数值域的求法：剖析法;配方法;鉴别式法;利用函数单一性;换元法;利用均值不等式aba2b2;利用数形联合或几何意义ab22(斜率、距离、绝对值的意义等利用函数有界性（ax、sinx、cosx等);导数法);3复合函数的有关问题()复合函数定义域求法：若f(）的定义域为，,则复合函数fg(x)的定义域由不等式a（x)b解出若fg(x)的定义域为,b,求(x)的定义域,相当于xa,时，求g（x)的值域。（2）复合函数单一性的判断：第一将原函数yfg(x)分解为基本函数:内函数ug(x)与外函数yf(u);分别研究内、外函数在各自定义域内的单一性;依照“同性

3、则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单一性注意：外函数yf(u)的定义域是内函数ug(x)的值域。4分段函数:值域（最值)、单一性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5.函数的奇偶性函数的定义域对于原点对称是函数拥有奇偶性的必要条件;f(x)是奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)1；f(x)f(x)是偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)；f1(x)奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)0；在对于原点对称的单一区间内：奇函数有相同的单一性,偶函数有相反的单一性;()若所给函数的剖析式较为复杂,应先等价变形，再判断其奇偶性;6函数的单一性单一性的定义：f(x)在区间M

4、上是增（减）函数x1,x2M,当x1x2时f(x1)f(x2)0(0)(x1x2)f(x1)f(x2)0(0)f(x1)f(x2)0);x1x20(单一性的判判断义法:注意：一般要将式子f(x1)f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号;导数法(见导数部分);复合函数法（见2(2)；图像法。注:证明单一性主要用定义法和导数法函数的周期性(1）周期性的定义:对定义域内的随意x，若有f(xT)f(x)(其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数,T为它的一个周期.全部正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，碰到的周期都指最小正周期。()三角函数的周期ysinx:T2;

5、ycosx:T2;ytanx:T;yAsin(x),yAcos(x):T2；ytanx:T；|函数周期的判断:定义法(试值)图像法公式法（利用(2）中结论）与周期有关的结论：f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)f(x)的周期为2a；yf(x)的图象对于点(a,0),(b,0)中心对称f(x)周期2ab;yf(x)的图象对于直线xa,xb轴对称f(x)周期为2ab;yf(x)的图象对于点(a,0)中心对称，直线xb轴对称f(x)周期4ab;8基本初等函数的图像与性质幂函数：yx(R)；指数函数：yax(a0,a1);对数函数：ylogax(a0,a1)；正弦函数：ysinx；余弦函

6、数:ycosx;(6）正切函数：ytanx；一元二次函数:ax2bxc0;其他常用函数：正比率函数:ykx(k0);反比率函数：yk(k0)；特其他1a(axy，函数yx0);xx二次函数：剖析式:一般式：f(x)ax2bxc；极点式：f(x)a(xh)2k，(h,k)为极点;零点式：f(x)a(xx1)(xx2)。二次函数问题解决需考虑的因素:张口方向;对称轴;端点值;与坐标轴交点;判别式;两根符号二次函数问题解决方法:数形联合;分类讨论。10函数图象图象作法：描点法(注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换：平移变换:yf(x)yf(xa),(a0)-左“+”右“;yf(x)yf(

7、x)k,(k0)-上“+下“-”;伸缩变换:yf(x)yf(x)，(0)-纵坐标不变,横坐标伸长为原来的1倍;yf(x)yAf(x),(A0)-横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍；对称变换：yf(x)(0,0)yf(x);yf(x)y0yf(x)；yf(x)x0yf(x)；yf(x)yxyf1(x);翻转变换:yf(x)yf(|x|)-右不动,右向左翻(f(x)在y左侧图象去掉);yf(x)y|f(x)|上不动，下向上翻(f(x)|在x下面无图象);1函数图象（曲线）对称性的证明1)证明函数yf(x)图像的对称性，即证明图像上随意点对于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；(2)证明函数yf(

8、x)与yg(x)图象的对称性,即证明yf(x)图象上随意点对于对称中心(对称轴)的对称点在yg(x)的图象上,反之亦然;注：曲线:（，y)=0对于点（a，b)的对称曲线C方程为:f(2a,2b-y)=0;曲线C1：f(x，y）=0对于直线x=a的对称曲线2方程为:f(ax,y）0;曲线C1:f(，y)=0,对于y=+a（或y-+a）的对称曲线的方程为（ya，xa)=(或（-y，x+a)=)；f(+x)f（x）(xR)=f()图像对于直线xab对称;2特别地:f（a+)=f(a-)(xR）y=f(x)图像对于直线x对称;函数y=f(x)与f（x)的图像对于直线x=ab对称;212.函数零点的求法

9、:直接法(求f(x)0的根);图象法13导数导数定义;常有函数的导数公式：C0;(xn)nxn1；(sinx)cosx；(cosx)sinx；(ax)axlna；(ex)ex;(logax)1；1xlna(lnx)。导数的四则运算法x则:(uv)uv;(uv)uvuv;(u)uvuv;vv2(4）导数的应用:利用导数求切线:注意:所给点是切点吗？所求的是“在仍是“过”该点的切线？利用导数判断函数单一性:f(x)0f(x)是增函数；f(x)0f(x)为减函数；f(x)0f(x)为常数;利用导数求极值:求导数f(x);求方程f(x)0的根;列表得极值。利用导数最大值与最小值：求的极值;求区间端点值

10、（若是有)；得最值第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1.角度制与弧度制的互化：弧度180,1弧度,弧度(18057181)180弧长公式:lR；扇形面积公式：S1R21Rl.222.三角函数定义:角中边上随意一点P为(x,y)，设|OP|r则：yxysin,cos,tanrrx3.三角函数符号规律：一全正，二正弦,三两切，四余弦；4.引诱公式记忆规律:“函数名不（改）变,符号看象限；5.yAsin(x)对称轴：xk,0)(kZ)；2;对称中心:(kkkyAcos(x)对称轴:x；对称中心:(2,0)(kZ)；6同角三角函数的基本关系:sin2xcos2x1;sinxtanx;cosx7.

11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tan(tantan)tan。1tan8二倍角公式:sin22sincos;cos2cos2sin22cos2112sin2；tan212tan。abctan2正、余弦定理正弦定理22R是ABC外接圆直径)sinAsinBsinCR（注:a:b:csinA:sinB:sinC；a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;abcabc。sinAsinBsinCsinAsinBsinC余弦定理:a2b2c22bccosA等三个;注:cosAb2c2a2等三个.2bc10。几个公式：三角形面

12、积公式:111SABCahabsinCp(pa)(pb)(pc),(p(ab);22c2内切圆半径r=2SABC；外接圆直径2=abc;abcsinAsinBsinC11已知a,b,A时三角形解的个数的判断:C其中h=bsinA,A为锐角时：ah时，无解；baa=h时，一解（直角）；hab时，A一解（锐角）。第四部分立体几何1三视图与直观图：注:原图形与直观图面积之比为2。2:1表（侧)面积与体积公式:柱体:表面积：=S侧+S底;侧面积：S侧2rh；体积:V=S底h锥体：表面积:SS侧+底;侧面积：S侧rl;体积：=1底h:31台体:表面积:S侧+S上底下底;侧面积：S侧=(rr)l;体积：V

13、43（S+SSS）；球体：表面积：=4R2;体积:V=R3。33.地点关系的证明（主要方法）:直线与直线平行:公义4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理。直线与平面平行：线面平行的判判断理;面面平行线面平行.平面与平面平行:面面平行的判判断理及推论；垂直于同素来线的两平面平行。直线与平面垂直：直线与平面垂直的判判断理;面面垂直的性质定理平面与平面垂直:定义-两平面所成二面角为直角；面面垂直的判判断理.4.求角：（步骤-.找或作角；。求角）异面直线所成角的求法:平移法：平移直线，结构三角形;补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,发现两条异面直线间的关系.直线与平面所成的角：直接法(利用线

14、面角定义)；先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作比，得s.二面角的求法：定义法：在二面角的棱上取一点（特别点），作出平面角,再求解；三垂线法:由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；射影法:利用面积射影公式:SScos,其中为平面角的大小;第五部分直线与圆1.直线方程点斜式:yyk(xx);斜截式:ykxb;截距式:xy1;两点式:yy1xx1；一般式:AxByC0,(A，Baby2y1x2x1不全为)。(直线的方向向量：(B,A)，法向量（A,B)2.求解线性规划问题的步骤是:（)列拘束条件;(2)作可行域,写目标函数;（3）确定

15、目标函数的最优解.3.两条直线的地点关系:直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注l1:yk1xb1k1k2,b1b2k1k21l1,l2有斜率l2:yk2xb2l1:A1xB1yC10A1B2A2B1,且A1A2B1B20不可以写成l2:A2xB2yC20B1C2B2C1（考证）分式4直线系直线方程ykxbAxByC0平行直线系ykxmAxBym0垂直直线系y1xmBxAym0k订交直线系A1xB1yC1(A2xB2yC2)0几个公式设A(x,y1)、B(x2，y2)、C(x3,y3)，ABC的重心G:（x1x2x3,y1y2y3);33点（x0，0)到直线Ax+y+C=的距离:dAx0By

16、0C;A2B2两条平行线+y+C1=0与A+By+C=0的距离是dC1C2;A2B26圆的方程:标准方程:(xa)2(yb)2r2；x2y2r2。一般方程:x2y2DxEyF0（D2E24F0)注：Ax2+BxyCy2Dx+Ey=表示圆A=C0且B=且D2+-4AF0;7圆的方程的求法:待定系数法；几何法；圆系法。8圆系:x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0,(1)；注：当1时表示两圆交线.x2y2DxEyF(AxByC)0,(1)。.点、直线与圆的地点关系：（主要掌握几何法)点与圆的地点关系：(d表示点到圆心的距离）dR点在圆上;dR点在圆内；dR点在圆外。直线与圆的地点关

17、系:（d表示圆心到直线的距离)dR相切;dR订交;dR相离.圆与圆的地点关系：(d表示圆心距，R,r,Rr)表示两圆半径且dRr相离;dRr外切;RrdRr订交;dRr内切；0dRr内含.1.与圆有关的结论：过圆x2+y2=r2上的点（x0，）的切线方程为:x0 x+yy=2;,)的切线方程为:（0)（x-a）+(y0b)过圆(xa)2(yb）=r2上的点M(x（-b)2；以A(x1，y2）、（2，y)为直径的圆的方程:（x-x1)(x-2)+（y-y1）(2)=。第六部分圆锥曲线1定义:椭圆：|MF1|MF2|2a,(2a|F1F2|);双曲线:|MF1|MF2|2a,(2a|F1F2|)；

18、抛物线：略弦长公式:AB1k2x2x1(1k2)(x1x2)24x1x21y1(11y2)24y1y2;12y2k2)(y1k注:(）焦点弦长：椭圆:|AB|2ae(x1x2)；抛物线：AB=x1x2+p2p;(）通径（最短弦)：椭圆、双曲线:2b2；抛物线:p。sin2a过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2ny21(m,n同时大于0时表示椭圆,mn0时表示双曲线）;椭圆中的结论：内接矩形最大面积:2；P，Q为椭圆上随意两点,且OP0Q，则1111；|OQ|2a2b2|OP|2椭圆焦点三角形：SPFFb2tan，(F1PF2)；.点M是PF1F2122心里，PM交F1F2于点N,则|PM

19、|a；|MN|c当点P与椭圆短轴极点重合时F1PF2最大;双曲线中的结论:双曲线x2y21(a0,b)的渐近线：x2y20;b2b2a2a2共渐进线ybx的双曲线标准方程为x2y2(为参数,）；aa2b2双曲线焦点三角形：SPFFb2cot，(F1PF2）;.P是双曲线122x2y2分别为左、右焦点,则PFF2的内a2-2=1（a,）的左（右)支上一点,1、F2b切圆的圆心横坐标为a,(a)；双曲线为等轴双曲线e2渐近线为yx渐近线互相垂直;(6）抛物线中的结论：抛物线y2B性质:.=p2y2=-p2;y4.112为直径的圆与准线相切;以ABp为直径的圆与y轴相切;SAOBp2.2sin抛物线

20、y2=px（p0)内结直角三角形AB的性质：.x1x24P2,y1y24P2;lAB恒过定点(2p,0)；.A,B中点轨迹方程：y2p(x2p)；.OMAB，则M轨迹方程为：(xp)2y2p2;(SAOB)min4p2。抛物线y22px(p），对称轴上必然点A(a,0),则：.当0ap时，极点到点A距离最小,最小值为a;当ap时，抛物线上相对于x轴对称的两点到点A距离最小,最小值为2app2。3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法):联立直线与圆锥曲线方程,结构一元二次方程求解。注意以下问题：联立的对于“x”仍是对于“y”的一元二次方程?直线斜率不存在时考虑了吗?鉴别式考证了吗？设而不求(代点

21、相减法)：-办理弦中点问题步骤以下：设点y1y2；解决问(x1，y1）、B（2,y);作差得kABx2x1题。.求轨迹的常用方法:定义法:利用圆锥曲线的定义;()直接法（列等式）（;3）代入法(有关点法或转移法）;待定系数法；（5）参数法;（6)交轨法。第七部分平面向量设a（x1,y1),b(x,y2），则：b(0）a=b(R)1y2xy1=0;(、b0)ab1x2+y12=0.ab=|os,b=x2+y1y2;注:|a|cs,b叫做在b方向上的投影;|cosa，b叫做b在a方向上的投影;ab的几何意义:ab等于与b在a方向上的投影b第八部分数列1.定义：等差数列anan1and(d为常数）2

22、anan1an1(n2,nN*)anknbsnAn2Bn；等比数列anan1q(q0)an2an-1an1(n2,nN)anancqn(c,q均为不为0的常数）Snkkqn(q0,q1,k0);2等差、等比数列性质等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dana1qn11.q时，Snna1;1前n项和n(a1an)n(n1)d2.q时，Sna1(1qn)Sn2na1211qa1anq1q性质anmnmnm；=a+(n）d，=a+n=p+时amnpqmna+a=a+a=aSk,S2kSk,S3kS2k,成APSk,S2kSk,S3kS2k,成Gak,akm,ak2m,成P,dmdak,akm,a

23、k2m,成GP,qqm等差数列特有性质:项数为2n时：Sn=(an+1)=n(aa2n）;S偶S奇nd；S奇an;项数为2n-1时:S2n(2n1)a中；S奇-S偶a中S奇n;；S偶an1S偶n-1若anm,amn,(mn)，则amn0；若Snm,Smn,则Smn(mn);若SnSm,(mn)，则Smn0。3.数列通项的求法：S(n=1)剖析法;定义法(利用AP，的定义);公式法an=1ancn;:累加法SnSn-1(n2)1叠乘法(an1cn型);结构法(an1kanb型)；（6)迭代法;an间接法(好似：an1an4anan1114）;作商法(a1a2ancnanan1型）；待定系数法；(

24、理科)数学概括法。注:当碰到an1an1d或an1q时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式。an1.前n项和的求法：拆、并、裂项法；倒序相加法；错位相减法5等差数列前n项和最值的求法：an0或an0;利用二次函数的图象与性质。an10an10第九部分不等式1.均值不等式：aba2b2ab22注意:一正二定三相等；变形，ab(ab)2a2b2。22.绝对值不等式:|a|b|ab|a|b|3.不等式的性质:abba;ab,bcac;abacbc;ab,cdacbd；ab,c0acbd;ab,c0acbc；ab0,cd0acbd;ab0anbn0(nN);(6)ab0anb(nN)。4.不等式等证

25、明（主要)方法:比较法:作差或作比;综合法;剖析法。第十部分复数1见解：z=a+bib=0(a,b）zzz;z=a+bi是虚数b0(,bR);z=a+bi是纯虚数a=0且（a,bR)z+z0(z0）z20;a+bi=c+dia=且cd（a，b,d)；2.复数的代数形式及其运算：设z1=a+bi,z2=c+d(a，dR）,则：（1）zz2=(a+）(c+d)i；z1。z2=(ai)（+di)=(ac-b）+(abi)(cdi)(ad+bc)i;z1z=(cdi)(cdi)几个重要的结论:acbdbcad2）;c2d2c2d2i（0(1)z1z22z1z222(z12z22);(2)zzz2z2;(1i)22i;1ii;1ii;1i1ii性质:T4;i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i；i4ni4n1i42i4n30;()13i以3为周期,且01,2,31;12；22()z1zz1z1。z.运算律：（1)zmznzmn;(2)(zm)nmn;(3)(z1z2)mmm(,);zz1z2mnN5.共轭的性质:(z1z2)z1z2;z1z2z1z2；(z1)z1；zz。z2z2.模的性质:|z1|z2|z1z2|z1|z2|;|z1z2|z1|z2|;