初中数学华东师大八年级上册第11章 数的开方第11章数的开方本章总结提升练习

1、数的开方本章总结提升知识框架整合提升问题1平方根的概念及性质什么是平方根？平方根有哪些性质？如何求一个非负数的平方根？平方与开平方有什么关系？例1 下列说法中正确的是()A4没有平方根，也没有立方根B1的立方根是1C(2)2有立方根没有平方根D3是9的平方根例2 若2a3和a12是m的平方根，求m【归纳总结】图11T1问题2算术平方根的概念及性质什么是算术平方根？算术平方根与平方根有哪些区别和联系？如何求一个非负数的算术平方根？例3eq r(f(1,16)的算术平方根是() f(1,4) Beq f(1,4) f(1,2) Deq f(1,2)【归纳总结】 正数a的正的平方根就是a的算术平方根

2、，正数a的算术平方根是a的一个平方根一个非负数的算术平方根只有一个问题3立方根的概念及其性质什么是立方根？立方根有哪些性质？如何求一个数的立方根？立方与开立方有什么关系？例4 已知a3的立方根是2，3ab1的平方根是6，则a2b问题4无理数的概念及实数的分类什么叫做无理数？无理数和有理数的区别是什么？实数由哪些数组成？例5 在eq f(3 r(2),5)，(每相邻两个1之间依次多一个0)，eq r(3,8)，(eq r(5)2， o(2,sup6()1eq o(7,sup6()，eq f(,2)，eq r(144)，这8个数中，无理数有()A3个B4个C5个D6个问题5实数与数轴eq avs4

3、al(实数与数轴上的点有什么关系？)例6 如图11T2，数轴上点A表示的数是eq r(2)，点B与点A关于原点对称，设点B所表示的数为x，求|xeq r(2)|eq r(2)x的值图11T2问题6实数的大小比较及运算数的概念是怎样从正整数逐步发展到实数的？随着数的不断扩充，数的运算有什么发展？加法和乘法的运算律始终保持不变吗？如何比较两个实数的大小呢？例7 (1)化简(eq r(5)eq r(7)|eq r(5)eq r(7)|的结果为多少？(2)比较eq f(r(5)1,2)与的大小关系【归纳总结】 实数的大小比较有以下三种常见方法：(1)作差法；(2)作商法；(3)取近似值法专题阅读平方根

4、的运算典例分析有关平方根的运算是本章的重点内容，也是本章的难点，有些同学感到不容易理解为了帮助大家更好地掌握有关平方根的运算，本文从问题的类型、解题技巧和需要注意的方面举例说明，供大家学习时参考一、平方根定义的应用例1 若正数m的两个平方根分别是2a3和a12，求m解析 根据“一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数”来解解： 因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以(2a3)(a12)0，解得a3故2a32339，a123129从而m(9)281.点评 利用平方根的定义解题要深刻理解一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解二、算术平方根性质的应用例2 已知a满足|2023a|eq

5、 r(a2023)a，求a20232的值解析 一个非负数a的算术平方根为eq r(a)(a0)，在这里a0，eq r(a)0，即被开方数与算术平方根均应为非负数由题意可知eq r(a2023)有意义，所以a20230，这样就可以求出a的取值范围解：因为a20230，所以a2023.因为|2023a|eq r(a2023)a，所以a2023eq r(a2023)a，所以eq r(a2023)2023，所以a202320232，所以a202322023.点评 要挖掘题中被开方数为非负数这一隐含条件，从而确定字母的取值范围或取值三、利用平方根解方程例3 已知(xy)2445，求xy的值解析 将xy看

6、作一个整体，则(xy)249，那么xy为49的平方根，再由平方根的概念求解解：因为(xy)2445，所以(xy)249.又因为(7)249，所以xy7 或xy7.点评 将xy看作一个整体，并理解xy为49 的平方根四、平方根的估算例4 已知9eq r(7)和9eq r(7)的小数部分分别为x，y，求3x2y的值解析 因为2eq r(7)3，所以eq r(7)的整数部分为2，小数部分为eq r(7)2，故9eq r(7)的整数部分为11，其小数部分为x9eq r(7)11eq r(7)2，9eq r(7)的整数部分为6，其小数部分为y9eq r(7)63eq r(7)，将x，y的值代入3x2y中

7、求值即可解：依题意，得x9eq r(7)11eq r(7)2，y9eq r(7)63eq r(7)，所以3x2y3(eq r(7)2)2(3eq r(7)3 eq r(7)662 eq r(7)eq r(7).点评 先估算带根号的数的整数部分，根据它的整数部分，推出其小数部分，再根据它参与的算式确定算式结果的整数部分和小数部分详解详析【整合提升】例1解析 D40，它有平方根；9的平方根是3和3，故3是9的平方根例2解：由2a3和a12是m的平方根，可得2a3和a12相等或互为相反数(1)当2a3a12时， 解得a9，所以2a318321，所以m(21)2441.(2)当(2a3)(a12)0时

8、，解得 a5，所以2a31037，所以m7249.综上可知，m的值为441或49.例3解析 Ceq r(f(1,16)eq f(1,4)，eq f(1,4)的算术平方根是eq f(1,2)，eq r(f(1,16)的算术平方根是eq f(1,2).故选C.例4解：a3的立方根是2，a38，解得a5.3ab1的平方根是6，3ab136，解得b22，a2b522249.49的算术平方根是7，a2b的算术平方根是7.例5A例6解析 本题是一道与数轴有关的数形结合问题，要求|xeq r(2)|eq r(2)x的值，需要先求x的值，由已知并结合数轴能够容易得到xeq r(2)，解：因为点A表示的数是 eq r(2)，且点B与点A关于原点对称，所以点B表示的数是eq r(2)，即xeq r(2)，所以|xeq r(2)|eq r(2)