《线性代数》电子教程 第二讲 行列式的计算

1、线 性 代 数 电子教案之二1主要内容第二讲 行列式的计算行列式的三类基本运算； 计算行列式的常用的基本方法；代数余子式的定义及其性质；克莱默法则.基本要求了解代数余子式的定义及其性质； 知道克莱默法则.会利用行列式的性质及按行（列）展开计算 简单的 阶行列式；2复习阶行列式的定义式行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ,等于用数 称此行列式.3性质4 推论行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.行列式中某一行（列）的

2、所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数 之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同 一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变.4一、行列式的三类基本运算性质2介绍了第一类基本运算:交换两行（列）.交换第 行和第 行，记作 ；交换第 列和第 列，记作 .性质3介绍了第二类基本运算：以数 乘行列式的某一行（列）.以数 乘行列式的第 行记作 ；以数 乘行列式的第 列，记作 性质6介绍了第三类基本运算： 某一行（列）的 倍加到另一行（列）. 第 行的 倍加到 第 行，记作 第 列的 倍加到第 列，记作

3、.5这里的符号也可用(1)(2)(3)6说明行列式的运算除了这三类之外，还有其他种类，比如按照某一行（列）分拆.所用的记号仅仅是个符号，不能套用加法的 运算律，和是不同的；同样地，和也是不同的.3. 根据上述例（3）可以看出，运用第三类运算 可将行列式化为上三角行列式. 事实上， 对任何 阶行列式总能用第三类运算化为上三 角行列式（或下三角行列式）.有时为了计算简 单适当的运用第一类和第二类运算.7二、行列式的计算(1) 1. 方法1 化为上三角行列式例1计算行列式 解8说明先用了运算 ，其目的是把 换成1， 为了计算方便.2. 第二步和第三步都是将两次运算的结果合在 一起写，这是一种省略写法

4、. 这两次运算都 是独立的，它们的运算顺序可以颠倒.9例2计算行列式解析：这个行列式的特点是对角线上的元素相等，其他位置的元素也相等，这是一类重要的行列式，在后面的学习中会多次遇到这类行列式.方法2 提出公因子10例3计算行列式解析：这个行列式的特点是第一列 的系数相同，第二列 的系数相同， 的系数成等差数列，第三、四列类似.11例3计算行列式解析：这个行列式的特点是第一列 的系数相同，第二列 的系数相同， 的系数成等差数列，第三、四列类似.12例3计算行列式解析：这个行列式的特点是第一列 的系数相同，第二列 的系数相同， 的系数成等差数列，第三、四列类似.方法3 加行加列法13说明 在本例中

5、，第一步和第二步都采用了省略写法，但是各个运算的次序不能颠倒，这是由于后一次运算是作用在前一次运算结果上的缘故.14例4 计算行列式解析: 此行列式的特点是主对角线以下的元素,从上至下,指数依次增加.可以采用加行加列法.15例4 计算行列式解析: 此行列式的特点是主对角线以下的元素,从上至下,指数依次增加.可以采用加行加列法.16例4 计算行列式解析: 此行列式的特点是主对角线以下的元素,从上至下,指数依次增加.可以采用加行加列法.17例4 计算行列式解析: 此行列式的特点是主对角线以下的元素,从上至下,指数依次增加.可以采用加行加列法.18例5 设证明证 对 的前 行作运算 ，总可以将红线上

6、方的元素化为零，而 的后面的 行都没有改变.19 对 的后 列作运算 ，总可以将蓝线上方的元素化为零，而 的前面的 列都没有改变.因此20说明 上述的证明过程虽有些抽象，但思路是简单的. 对于本例重要在于它的结果，以后常要用到此结果.在第二章中,用矩阵的语言来叙述，此结果是显然它是 的推广.21例6 计算 阶行列式其中未写出的元素为 .解析：此行列式的特点是，只有主对角线上和副对角线上的元素不为零，其余元素都为零.而且不为零的元素很有规律，如果去掉第一行和最后一行，第一列和最后一列，剩下的元素构成的行列式，在形式上是没有变化的.2223根据例5的结果这是递推公式方法4 递推法24根据例5的结果

7、这是递推公式方法4 递推法25说明 1.本例采用的方法是递推法.递推法是 阶行列式计算中常用的、有效的方法. 应用递推法的实质是数学归纳法，因此建立了递推公式之后，如 ，必须验证归纳基础，即初始条件下命题成立.例如当 或时 命题成立. 2.上述交换行列式的行（列）的方法,在解题时,经常用到，它的特点是在把最后一行换到某一行的同时，其余各行之间原有的先后次序没有改变（只是行的序号可能改变而已）.26例7 计算行列式解按第一列分拆方法5 分拆行列法27例7 计算行列式解按第一列分拆方法5 分拆行列法2829三、小结行列式的三类基本运算是行列式计算的基础；行列式的计算方法有很多种，要着重掌握下 列五

8、种:化为上三角（下三角）行列式提出公因子法加行加列法递推法分拆行列法30行列式按行（列）展开法则 第六节 行列式按行（列）展开1. 定理的引入 这表明三阶行列式可以按第一行的元素写成3个行列式的和.类似地，可以按照其他行（列）写成3个行列式的和.对于一般的行列式也有如此结果.为此,先介绍两个概念.注：312. 余子式和代数余子式 在阶行列式中，把元所在的第 行 和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做 元 的余子式，记作；记叫做 元 的代数余子式.例如中 元 的余子式和代数余子式分别为定义32说明(1)对于给定的 阶行列式 ，元 的余子式 和代数余子式 仅与位置 有关，而与中第 行、第 列元素的

9、数值大小和正负无关.(2)它们的联系是 ，因而当 为偶数时，二者相同；当 为奇数时，二者相反.333. 展开法则定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或例如34说明 此定理叫做行列式按行（列)展开法则，利用这个法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.按照第二行展开再如证明354.行列式的计算（2）例8 计算行列式解36例9 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式其中记号“ ”表示全体同类因子的乘积.说明 范德蒙德行列式可以看作 个变元 的函数，有三个特点： （1）从列的角度看，第 列元素从上到下依次为变元 的零次幂、一次幂、 、 次幂，37（2）

10、从行的角度看，第 行的元素的指数相同， 元是变元 的 次幂，（3）从结果看，它是关于这些变元的 次齐次函数；而且可分解为 个一次因式之积，而每个因子形如 ，其中 ，即足标大的变元与足标小的变元之差. 反过来， 个变元之间形如这样的一次因子总计为 个. 于是， 阶范德蒙德行列式是所有可能的足标大的变元与足标小的变元之差作为其因子的 元函数.除变元的名称外，这样的函数是唯一确定的. 38证用数学归纳法.因为所以当 时，结论成立. 现在假设结论对于 阶范德蒙德行列式成立，要证结论对 阶范德蒙德行列式也成立，为此，要将 降阶，39证用数学归纳法.因为所以当 时，结论成立. 现在假设结论对于 阶范德蒙德

11、行列式成立，要证结论对 阶范德蒙德行列式也成立，为此，要将 降阶，40证用数学归纳法.因为所以当 时，结论成立. 现在假设结论对于 阶范德蒙德行列式成立，要证结论对 阶范德蒙德行列式也成立，为此，要将 降阶，采用了加行加列法41阶范德蒙德行列式每列提出公因子42例10 利用范德蒙德行列式计算4阶行列式 解435.代数余子式的性质推论 行列式某一行（列）的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即或证明 （1）综合定理3及其推论，有关于代数余子式的重要性质：关于行关于列其中是一个比较常用的符号.总结44（2）代数余子式的显著特点是它与 的第 行、第 列元素本身的数值大小及正负无关.

12、因此从映射角度看，与其说 的 元 对应着唯一的 ，倒不如说 的 元所在的位置 对应着唯一的 .因此，由得45（2）代数余子式的显著特点是它与 的第 行、第 列元素本身的数值大小及正负无关.因此从映射角度看，与其说 的 元 对应着唯一的 ，倒不如说 的 元所在的位置 对应着唯一的 .因此，由得46对于列也有类似的结论,例11 设 的 元的余子式和代数余子式依次记作 和求 及47解48496.小结行列式按行（列）展开，是将 阶行列式将为 阶行列式，在计算行列式时不仅有用，而 且在理论上也是很重要的.范德蒙德行列式是一个十分重要类型的行列式.代数余子式（余子式）与元素的大小以及正负 无关，仅与元素的

13、位置有关.50一、克莱默法则第七节 克莱默法则1. 法则的引入 如果三元线性方程组 的系数行列式则三元线性方程组的解为: 51 当常数项 不全为零时，线性方程组 叫做非齐次线性方程组；当 全为零时，线性方程组 叫做齐次线性方程组.即 一定是 的解，这个解叫做齐次线性方程组的零解，如果一组不全为零的 数是 的解，则叫做齐次方程组的非零解.52其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项的代替后得到的 阶行列式，即如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即那么，线性方程组 有唯一解2. 克莱默法则53二、有关结论定理4 如果线性方程组(1)系数行列式 ，则 (1)一定有解，且解是唯一的.

14、这就是克莱默法则定理4 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.定理4的逆否定理对于齐次线性方程组，当它有非零解时，它的解不唯一；当它的解唯一时，它只有零解.因此定理5 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 则齐次线性方程组(2)没有非零解（只有零解）.定理5 如果齐次线性方程组(2) 有非零解，则它的系数行列式必为零.54例12 问 取何值时，齐次线性方程组有非零解.解 析：题目要求讨论齐次线性方程组有非零解的条件，这是一个方程个数和未知元数相等的齐次线性方程组，可以根据定理5 ，由它的系数行列式得到所求的条件.55因此由定理5 知，若所给齐次线性方程组有非零解，则

15、 ，所以不难验证当 时，所给的齐次方程组的确有非零解56三、小结克莱默法则是用计算机计算线性方程组依据， 特别是求一组系数不变，常数项不同的线性方 程组的解.方程个数和未知元个数相同的齐次线性方程组 的系数行列式等于零，是齐次线性方程组有非 零解的必要条件，在后面的章节中，将证明这 个条件也是充分的.57第一章 总结 本章的重点是行列式的计算；行列式的性质，其证明过程只需了解其思路；掌握行列式的三类基本运算；克莱默法则、齐次线性方程组有非零解的条件.代数余子式及其性质； 阶行列式的定义，只需了解其大概的意思；58行列式的等价定义59思考题：1.设 为3阶行列式，用 分别表 示 的第1、2、3列，如果 ，则 行列式 .2.已知四阶行列式 第1行的元素依次为 ， ， ， ，它们的余子式依次为 ，