版高考文科数学试题分类汇编导数

1、2012高考文科试题解析分类汇编：导数1.【2012高考重庆文8】设函数f(x)在R上可导，其导函数f(x)，且函数f(x)在x2处获取极小值，则函数yxf(x)的图象可能是【答案】C【解析】：由函数f(x)在x2处获取极小值可知x2，f(x)0，则xf(x)0；x2，f(x)0则2x0时xf(x)0，x0时xf(x)0【考点定位】此题观察函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题2.【2012高考浙江文10】设a0，b0，e是自然对数的底数若ea+2a=eb+3b，则ab若ea+2a=eb+3b，则ab若ea-2a=eb-3b，则ab若ea-2a=eb-3b，则ab【答案】A【命题妄图】

2、此题主要观察了函数复合单调性的综合应用，经过构造法技巧性方法确定函数的单调性.a2babx【解析】若aeb，必有e2ae2b构造函数：，则efxe2x3fxex20恒成立，故有函数fxex2x在x0上单调递加，即ab成立其余选项用同样方法消除23.【2012高考陕西文9】设函数f（x）=+lnx则（）xAx=1为f(x)的极大值点Bx=1为f(x)的极小值点22Cx=2为f(x)的极大值点Dx=2为f(x)的极小值点【答案】D.【解析】fx21x2，令fx0，则x2x2xx2当x2时，fx21x2x2xx20；当x2时，fx21x2x2xx20即当x2时，fx是单调递减的；当x2时，fx是单调

3、递加的因此x2是fx的极小值点应选D4.【2012高考辽宁文8】函数y=1x2x的单调递减区间为2（A）（1,1（B）（0,1（C.）1，+）（D）（0，+）【答案】B【命题妄图】此题主要观察利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。【解析】Qy1x2lnx,yx1,由y0，解得-1x1,又x0,0 x1,故2x选B5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出以下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0.其中正确结论的序号是A.B.C.D.【答案】C考点：导数。难度

4、：难。解析：此题观察的知识点为导数的计算，零点问题，要先解析出函数的性质，结合图形来做。解答：f(x)x36x29xabc,abc，f(x)3x212x93(x24x3)3(x1)(x3)导数和函数图像以下：f(x)f(x)(a,0)(b,0)(c,0)x1x3由图f(1)169abc4abc0，f(3)275427abcabc0，且f(0)abcf(3)0，因此f(0)f(1)0,f(0)f(3)0。6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A)1(B)3(C)4(D)8【答案

5、】C【命题妄图】此题主要观察利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。【解析】由于点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由x22y,则y12,yx,42因此过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为，2，因此过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y4x8,y2x2,联立方程组解得x1,y4,故点A的纵坐标为4【谈论】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的重点。7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为_【答案】y4x3【命题妄图】此题主要观察导

6、数的几何意义与直线方程，是简单题.【解析】y3lnx4，切线斜率为4，则切线方程为：4xy30.8【.2012高考上海文13】已知函数yf(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(1,1)、2C(1,0)，函数yxf(x)（0 x1）的图像与x轴围成的图形的面积为【答案】1。42x,0 x12【解析】依照题意，获取f(x)，2,1px2x122x2,0 x1从而获取yxf(x)2因此围成的面积为2x,12x2x12111S12x22x)dx22xdx1(，因此围成的图形的面积为.0【谈论】此题主要观察函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出表现数形结

7、合思想，此题综合性较强，需要较强的解析问题和解决问题的能力，在今后的练习中加强这方面的训练，此题属于中高档试题，难度较大.9【2102高考北京文18】（本小题共13分）已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx。若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处拥有公共切线，求a,b的值；a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围。【考点定位】此题应该说是导数题目中较为老例的种类题目，考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点，在题目占能够发现F(3)28和解析出区间k,2包含

8、极大值点x13，比较重要。解：（1）f(x)2ax，g(x)=3x2b.由于曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点1，c处拥有公共切线，因此f(1)g(1)，f(1)g(1)即a11b且2a3b解得a3,b32）记h(x)f(x)g(x)当a3,b9时，h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9令h(x)0，解得：x13，x21；h(x)与h(x)在(,2上的情况以下：x(,3)3(3,1)1（1,2）2h(x)+00+h(x)28-43由此可知：当当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为h(3)28；3k2时，函数h(x)在区间k,2上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(,

9、310.【2012高考江苏18】（16分）若函数yf(x)在xx0处获取极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点。已知a，b是实数，1和是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点1（1）求a和b的值；（2）设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点；（3）设h(x)f(f(x)c，其中c2，2，求函数yh(x)的零点个数【答案】解：（1）由f(x)x3ax2bx，得f(x)3x22axb。1和是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点，1f(1)32ab=0，f(1)32ab=0，解得a=0，b=3。（2）由（1）得，f(x)x33x，g(x)f(x)2=x33x2=x1

10、22，解得x1=x2=1，x3=2。x当x2时，g(x)0；当2x0，x=2是g(x)的极值点。当2x1时，g(x)0，x=1不是g(x)的极值点。g(x)的极值点是2。（3）令f(x)=t，则h(x)f(t)c。先谈论关于x的方程f(x)=d根的情况：d2,2当d=2时，由（2）可知，f(x)=2的两个不同样的根为I和一2，注意到f(x)是奇函数，f(x)=2的两个不同样的根为一和2。当d0，f(1)d=f(2)d=2d0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)f(2)=2。此时f(x)=d在2，无实根。当x1，2时f(x)0，于是f(x)是单调增函数。又f(1)d0，y=f(x)d的图象不

11、中止，f(x)=d在（1,2）内有唯一实根。同理，f(x)=d在（一2，一I）内有唯一实根。当x1，1时，f(x)0，f(1)d0，y=f(x)d的图象不中止，f(x)=d在（一1，1）内有唯一实根。因此，当d=2时，f(x)=d有两个不同样的根x1，x2满足x1=1，x2=2；当d2时f(x)=d有三个不同样的根x3，x1，x5，满足xi2，i=3,4,5。现考虑函数yh(x)的零点：(i）当c=2时，f(t)=c有两个根t1，t2，满足t1=1，t2=2。而f(x)=t1有三个不同样的根，f(x)=t2有两个不同样的根，故yh(x)有5个零点。(11）当c2时，f(t)=c有三个不同样的根

12、t3，t4，t5，满足ti2，i=3,4,5。而f(x)=tii=3,4,5有三个不同样的根，故yh(x)有9个零点。综上所述，当c=2时，函数yh(x)有5个零点；当c2时，函数yh(x)有9个零点。【考点】函数的看法和性质，导数的应用。【解析】（1）求出yf(x)的导数，依照1和1是函数yf(x)的两个极值点代入列方程组求解即可。（2）由（1）得，f(x)x33x，求出g(x)，令g(x)=0，求解谈论即可。（3）比较复杂，先分d=2和d0.2I）求函数f(x)的单调区间；（II）若函数f(x)在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（III）当a=1时，设函数f(x)在区间t,

13、t3上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间3,1上的最小值。【解析】()f(x)1x31ax2axaf(x)x2(1a)xa(x1)(xa)32f(x)0 x1或xa，f(x)01xa得：函数f(x)的单调递加区间为(,1),(a,)，单调递减区间为(1,a)()函数f(x)在(2,1)内单调递加，在(1,0)内单调递减原命题f(2)0,f(1)0,f(0)00a1（lfxlby）3（III）当a1时，f(2)f(1)1,f(2)f(1)5,f(1)f(1)4333f(x)在3,1,1,2上单调递加,在1,1上单调递减当t3,2,t30,1

14、M(t)f(1),m(t)f(2)f(1)g(t)f(1)f(1)43当t2,1,t31,2M(t)f(1),m(t)f(1)g(t)f(1)f(1)43得：函数g(t)在区间3,1上的最小值为4312.【2012高考广东文21】（本小题满分14分）设0a1，会集AxR|x0，BxR|2x23(1a)x6a0，AIB.1）求会集D（用区间表示）（2）求函数f(x)2x33(1a)x26ax在D内的极值点.【解析】（1）令g(x)2x23(1a)x6a，9(1a)248a9a230a93(3a1)(a3)。当0a1时，0，3方程g(x)0的两个根分别为x13a39a230a94，x23a39a2

15、30a94，所以g(x)0的解集为(,3a39a230a9)U(3a39a230a9,)。44因为x1,x20，所以DAIB(0,3a39a230a9)U(3a39a230a9,)。44当1a1时，0，则g(x)0恒成立，因此DAIB(0,)，31综上所述，当0a时，3D(0,3a39a230a9)U(3a39a230a9,)；44当1a1时，D(0,)。3（2）f(x)6x26(1a)x6a6(xa)(x1)，令f(x)0，得xa或x1。当0a1时，由（1）知D(0,x1)U(x2,)，3由于g(a)2a23(1a)a6aa(3a)0，g(1)23(1a)6a3a10，因此0ax11x2，因

16、此f(x),f(x)随x的变化情况以下表：x(0,a)a(a,x1)(x2,)f(x)0f(x)极大值因此f(x)的极大值点为xa，没有极小值点。当1a1时，由（1）知D(0,)，3因此f(x),f(x)随x的变化情况以下表：x(0,a)a(a,1)1(1,)f(x)00f(x)极大值极小值因此f(x)的极大值点为xa，极小值点为x1。综上所述，当0a1f(x)有一个极大值点xa，没有极小值点；时，当13a1时，f(x)有一个极大值点xa，一个极小值点x1。313.【2102高考福建文22】（本小题满分14分）已知函数f(x)axsinx3(aR),且在,0,上的最大值为3，222（1）求函数

17、f(x)的解析式；判断函数f(x)在（0，）内的零点个数，并加以证明。考点：导数，函数与方程。难度：难。解析：此题观察的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。解答：（I）f(x)33上恒成立，且能取到等号axsinx在0,222g(x)xsinx在0,上恒成立，且能取到等号2a22ag(x)maxg(x)sinxxcosx0yg(x)在0,上单调递加22ag()a1f(x)xsinx3（lfxlby）222（II）f(x)xsinx3h(x)f(x)sinxxcosx2当x0,时，f(x)0yf(x)在(0,上单调递加2332f(0)f()0yf(x)在(0,上有唯一零点2

18、222当x,时，h(x)2cosxxsinx0f(x)当x,上单调递减222f()f()20存在唯一x0(,)使f(x0)022f(x)02xx0,f(x)0 x0 x得：f(x)在,x0)上单调递加，(x0,上单调递减23f()0,f()022得：x,x0时，f(x)0，2xx0,时，f(x0)f()0，yf(x)在x0,上有唯一零点由得：函数f(x)在(0,)内有两个零点。14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)已知a为正实数，n为自然数，抛物线yx2an与x轴正半轴订交于点A，设f(n)2为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。（）用a和n表示f(n)；（）求对所有n都有f(

19、n)1n成立的a的最小值；f(n)1n1（）当0a1时，比较111与f(1)f(2)f(2)f(4)f(n)f(2n)6gf(1)f(n1)的大小，并说明原由。f(0)f(1)命题立意：此题主要观察导数的应用、不等式、数列等基础知识，观察基本运算能力、逻辑推理能力、解析问题与解决问题的能力和创新意识，化归与转变由特别到一般等数学思想观察函数与方程、数形结合、分类谈论、an1，2n解析（1）由已知得，交点A的坐2,0yx2a求导得y2x抛物在点A的切方程：nnannny2a(x2),即y2axa.则f(n)a4分nf(n)1nan（2）由（1）知f(n)=a,f(n)1n1成立的充要条件是2n1

20、n1于所有的n成立，即知，a2n特意，当n=1，获取a3nn(1n1当a=3，n1，a32)1Cn.22n1nf(n)1n当n=0，a=2n+1.故a=3f(n)1n1所有自然数n均成立.因此足条件的a的最小3.8分3）由（1）知f(k)=ak下面明：1116.f(1)f(n1)f(1)f(2)f(2)f(4)f(n)f(2n)f(0)f(1)第一明0 x1，16x2xx函数g(x)=6x(x2-x)+1,0 x1,g(x)18x(x2).223,g(x)0;当0当0 xx1时，g(x)3321故g（x）在区（0，1）上的最小g(x)ming()039因此，当0 x0,即得16x2xx由0a1

21、知0k1(k*),因此k12k6ak,从而aNaa111f(1)f(2)f(2)f(4)f(n)f(2n)111aa2a2a4ana2nn12naa6f(1)f(n1)14分6(aaa)61nf(0)f(1)谈论本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要观察了导数的应用、不等式、数列等基础知识；观察了思想能力、运算能力、解析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的观察了函数、变换与化归、特别与一般等数学思想方法。15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分）已知函数f(x)=ex-ax，其中a0.（1）若对所有xR，f(x)1恒成立，求a的取值

22、会集；（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1,f(x1)）,B(x2,f(x2)(x10时，(xk)f(x)+x+10，求k的最大值【答案】17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数f(x)ax3bxc在x2处取得极值为c16（1）求a、b的值；（2）若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最大值【解析】（）因f(x)ax3bxc故f(x)3ax2b由于f(x)在点x2处获取极值故有f(2)012ab0，化简得12ab0a1f(2)c即8a2bcc164ab解得12168b（）由（）知f(x)x312xc，f(x)3x212令f(x)0，得x12,x22当x(,2)

23、时，f(x)0故f(x)在(,2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0故f(x)在(2,2)上为减函数当x(2,)时f(x)0，故f(x)在(2,)上为增函数。由此可知f(x)在x12处获取极大值f(2)16c，f(x)在x22处获取极小值f(2)c16由题设条件知16c28得c12此时f(3)9c21,f(3)9c3，f(2)c164因此f(x)上3,3的最小值为f(2)418.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分）设函数，n为正整数，a,b线方程为x+y=1.为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切1）求a,b的值；2）求函数f(x)的最大值（3）证明：f(x)1.ne

24、1上，可得1b1，即b0解：（）由于f(1)b，由点(1,b)在xy.由于f(x)anxn1a(n1)xn，因此f(1)a.又由于切线xy1的斜率为1，因此a1，即a1.故a1，b0.（）由（）知，f(x)xn(1x)xnxn1，f(x)(n1)xn1(n1x).n令f(x)0，解得xn，即f(x)在(0,)上有唯一零点x0n.n1n1在(0,n)上，f(x)0，故f(x)单调递加；n1而在(n,)上，f(x)0，f(x)单调递减.n1故f(x)在(0,)上的最大值为f(n)(n)n(1n)(nnnn1.n1n1n11)（）令(t)lnt1(t0)，则(t)11t1(t0).1+tt2=t2t

25、在(0,1)上，(t)0，故(t)单调递减；而在(1,)上(t)0，(t)单调递加.故(t)在(0,)上的最小值为(1)0.因此(t)0(t1)，即lnt11(t1).t令t11n11n1n1lne，得lnnn1，即ln(n)n因此n1n1e，即nn1.n1)nne()(n1由（）知，f(x)(nnn1，故所证不等式成立.1)n1ne【解析】此题观察多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.观察转变与划归，分类谈论的数学思想以及运算求解的能力.导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等.来

26、年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有ex,lnx等的函数求导的运算及其应用观察.19.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分）设定义在（0，+）上的函数f(x)ax1b(a0)ax（）求f(x)的最小值；（）若曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y3x，求a,b的值。2【解析】（I）（方法一）f(x)ax1b2axg1bb2，axax当且仅当ax1(x1)时，f(x)的最小值为b2。a（II）由题意得：f(1)3a1b3，2a2f(x)a1f(1)a13，ax2a2由得：a2,b1。20.【2012高考江西文21】（本小题满分14分）已知函数f(

27、x)=（ax2+bx+c）ex在0,1上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.1）求a的取值范围；2）设g(x)=f(-x)-f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值。【解析】（1）f(0)c1，f(x)(abc)e0,ab1，f(x)ax2(a1)xaex0在0,1上恒成立(*)f(0)0a0(*)f(0)0,f(1)00a1（2）(x)f(x)f(x)(2axa1)xg(x)(2ax1a)exge当a0，g(x)0yg(x)在0,1上增得：g(x)ming(0),g(x)maxg(1)当0a1，g(x)0 x1a,g(x)0 x1a,g(x)0 x1a2a2a2a得：g(x)在0

28、,1上的最小是g(0)a1,g(1)(1a)e中的最小当g(0)g(1)(e1a1)，g(x)ming(1)e1e1)，g(x)min当g(0)g(1)(0ag(0)e1求最大：当1a1(0a1)，g(x)0g(x)maxg(1)2a31a1a1)，g(x)max1a)当2a1(g(2a3得：当e1a1，g(x)ming(1)，当0ae1，g(x)ming(0)e111e1g(1a)0a，g(x)maxg(1)，a1，g(x)max332a【2012高考宁文21】(本小分12分)f(x)lnxx1，明：()当x1，f(x)3（x1）2()当1x3，f(x)9(x1)x5【命意】本主要考数公式，

29、以及利用数，通函数的性与最来明不等式，考化思想、推理能力、运算能力、用所学知解决的能力，度大。【解析】()(法1)g(x)=lnxx13(x1)，2当x1，g(x)=11x30，x22又g(1)0，g(x)0，即f(x)3(x1)；4分22x1，2xx1，x，（法）由均不等式，当x1122令k(x)lnxx1，k(1)0，k(x)10，k(x)0，即lnxx1，f(x)3(xx由得，当x11).4分2()（法1）h(x)f(x)9(x1)，由()得，x51154=2x54x554(x5)3216xh(x)=2x(x22x(x4x(x2=4x(x2，x5)5)25)5)令g(x)=(x5)321

30、6x，当1x3，g(x)=3(x5)22160h(x)在（1,3）内减，又h(1)0，h(x)0，当1x3，f(x)9(x1).12分x5（法2）h(x)=(x5)f(x)9(x1)，当当1x3，h(x)=f(x)(x5)f(x)93(x1)(x5)(121)92xx=13x(x1)(x5)(2x)18x13x(x1)(x5)(2x1)18x2x2x22=1(7x232x25)0.10分4xh(x)在（1,3）内减，又h(1)0，h(x)0，当1x3，f(x)9(x1).12分x522.【2012高考浙江文21】（本分15分）已知aR，函数f(x)4x32axa（1）求f(x)的区（2）明：当

31、0 x1，f(x)+2a0.【答案】【解析】（1）由意得f(x)12x22a，当a0，f(x)0恒成立，此f(x)的增区,.当a0，f(x)12(xa)(xa)，此函数f(x)的增区a,a.6666(2)由于0 x1，当a2，f(x)a24x32ax24x34x2.当a2，f(x)a24x32a(1x)24x34(1x)24x34x2.g(x)2x32x1,0 x1，g(x)6x226(x3)(x3).33则有x033130,3,133g(x)-0+g(x)1减极小值增1因此g(x)ming(3)1430.39当0 x1时，2x32x10.故f(x)a24x34x20.23.【2012高考全国

32、文21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知函数fx1x3x2ax()3（）谈论f(x)的单调性；（）设f(x)有两个极值点x1,x2，若过两点(x1,f(x1)，(x2,f(x2)的直线l与x轴的交点在曲线yf(x)上，求a的值。【命题妄图】本试题观察了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数，经过求解导数求解单调区间。别的就是运用极值看法，求解参数值的运用。解：（1）依题意可得f(x)x22xa当44a0即a1时，x22xa0恒成立，故f(x)0，因此函数f(x)在R上单调递加；当44a0即a1时，f(x)x22xa0有两个相异实根x1244a11a,x211a且x1x2

33、2故由f(x)x22xa0 x(,11a)或x(11a,)，此时f(x)单调递加由f(x)x22xa011ax11a，此此f(x)增减上可知当a1，f(x)在R上增；当a1，f(x)在x(,11a)上增，在x(11a,)增，在(11a,11a)减。（2）由知，x,x方程f(x)0的两个根，故有12a1,x122x1a,x222x2a因此f(x1)1x13x12ax13同理f(x2)2(a1)x23因此直l的方程y1x1(2x1a)x12ax11x122ax11(2x1a)2ax12(a1)x1a3333333a32a(a1)x33l与x的交点(x0,0)，得x0a2(a1)而f(x0)1(a)

34、3(a)2a2a23(12a217a6)32(a1)2(a1)2(a1)24(a1)由知，点(x0,0)在曲yf(x)的上，故f(x0)0，解得a2或a30或a4233因此所求a的a0或a或a3。4【点】分两，面比，出的函数比常，一点于同学来没有度，但是解决的关是要看数的符号函数性的影响，求解函数的区。第二中，运用极的，和直方程的知求解交点，获取参数的。24.【2012高考山文22】(本小分13分)已知函数f(x)lnxk(k常数，e=2.71828是自然数的底数)，曲yf(x)在点ex(1,f(1)的切与x平行.()求k的；()求f(x)的区；()g(x)xf(x)，其中f(x)f(x)的函数.明：任意x0,g(x)1e2.1lnxk【答案】(I)f(x)xex，由已知，f(1)1k，k1.e011lnx(II)由(I)知，f(x)x.ex设k(x)1lnx1，则k(x)11)上是减函数，xx20，即k(x)在(0,x由k(1)0知，当0 x1时k(x)0，从而f(x)0，当x1时k(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递加区间是(0,1)，单调递减区间是(1,).(III)由