第19章四边形192特殊的平行四边形：菱形的判定与性质

1、一、选择题（共1.（2013?滨州）AD=BC;A.0（1999?福州）下列语句中，正确的个数是（1一、选择题（共1.（2013?滨州）AD=BC;A.0（1999?福州）下列语句中，正确的个数是（1）等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线;顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形.A.1个（2011?莱芜）如图，A.14.（2006?海南）如图，在菱形ABCD中，E,F,F,H分别是菱形四边的中点，连接共有菱形（D.4EG与FH交于点O,则图中B5小题）如图，等边ABC沿射线BC向右平移到DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论:BD、AC互相平分；四边形ACED是菱形.C.2）（2）菱形的对角

2、线相等且互相平分；（3）相等的角是对顶角；（4）B.2个E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD.下列结论：EG丄FH,四边形EFGH是矩形，HF平分/EHG,EG=（BC-AD），四边形EFGH是菱形.其中正确的个数是（）2A.4个（2002?杭州）如图所示，/AOP=/BOP=15PC/OA,PD丄OA，若PC=4，贝UPD等于（）B.3二、解答题（共1小题）（选答题，不自动判卷）6.如图，四边形ABCD中，AB/CD,AC平分/BAD,CE/AD交AB于E.（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断ABC的形状，并说明理由.【考点训练】菱形的

3、判定与性质-1参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）（2013?滨州）如图，等边ABC沿射线BC向右平移到DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论:AD=BC:BD、AC互相平分；四边形ACED是菱形.其中正确的个数是（）BCEBCEBCE解解：ABC、DCE是等边三角形，BCEA.0B.1C.2D.3考占：八、平移的性质；等边三角形的性质；菱形的判定与性质.分析：先求出ZACD=60继而可判断ACD是等边三角形，从而可判断是正确的；根据的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断是正确的；根据的结论，可判断正确.答：/ACB=/DCE=60AC=CD,/ACD=180-ZACB-Z

4、DCE=60ACD是等边三角形，AD=AC=BC，故正确；由可得AD=BC,/AB=CD,四边形ABCD是平行四边形，BD、AC互相平分，故正确；由可得AD=AC=CE=DE,故四边形ACED是菱形，即正确.综上可得正确，共3个.故选D.点本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定，解答本题的关键是先评：判断出ACD是等边三角形，难度一般.（1999?福州）下列语句中，正确的个数是（）（1）等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线；（2）菱形的对角线相等且互相平分；（3）相等的角是对顶角；（4）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形.A.1个B.2个C.3个D.4个

5、考占：八、菱形的判定与性质；相交线；等腰三角形的性质.专题：开放型.分析：根据等腰三角形、菱形等相关知识进行解答.解解:（1）等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，根据等腰三角形三线合一的性质，知：此直线也垂答：直平分底边，故（1）正确；（2）菱形的对角线互相垂直平分，但不相等，故（2）错误；（3）对顶角相等，但相等的角不是对顶角，故（3）错误；（4）矩形的对角线相等，根据三角形中位线定理，可证得顺次连接矩形各中点所得四边形的四边都相等，由此可判定所得四边形是菱形，故（4）正确；所以正确的结论是（1）（4），故选B.点此题主要考查的是等腰三角形的性质、菱形的判定和性质，熟练掌握各图形的性质

6、是解答此类题目的关键.评：（2011?莱芜）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD.下列结论：EG丄FH,四边形EFGH是矩形，HF平分/EHG,EG=（BC-AD），四边形EFGH是菱形.其中正确的个数是（）2A.1B.2C.3D.4考三角形中位线定理；菱形的判定与性质.占：八、专推理填空题.题：分根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱析：形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断.解解：TE、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，答：-EF=dCD,FGAB,GH=CD,

7、HEAB,2222/AB=CD,.EF=FG=GH=HE,.四边形EFGH是菱形，EG丄FH，正确；四边形EFGH是矩形，错误；HF平分/EHG，正确；当AD/BC,如图所示：E,G分别为BD,AC中点，连接CD，延长EG到CD上一点N,EN=丄BC,GN=AD,22EG=丄（BC-AD）,只有AD/BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；2四边形EFGH是菱形，正确.综上所述，共3个正确.故选C.点本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形评：EFGH是菱形是解答本题的关键.（2006?海南）如图，在菱形ABCD中，

8、E,F,F,H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O,则图中共有菱形（）A.4个B.A.4个B.5个C.6个D.A.4个B.5个C.6个D.7个考菱形的判定与性质；三角形中位线定理.占：八、分A.4个B.5个C.6个D.7个考菱形的判定与性质；三角形中位线定理.占：八、分析：解答：由菱形的性质和判定，图中的菱形由：四边形AEOH,HOGD,EOFB,OFGC和ABCD，共5个.占八、评:解：四边形ABCD是菱形，E,F,F,H分别是菱形四边的中点，AE=AH=HD=GD=CG=CF=FB=BE=OE=OG=OH=OF,四边形AEOH,HOGD,EOFB,OFGC和ABCD均为菱形，共5个

9、.故选B.本题考查了菱形的判定：四边相等的四边形是菱形.5.（2002?杭州）如图所示，/AOP=/BOP=15PC/OA,PD丄OA，若PC=4,贝UPD等于（）3CA.4B.3C.2D.考菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形.1占：八、专压轴题.题：分析：解答：过点P做PM/CO交AO于M，可得/CPO=/POD，再结合题目推出四边形COMP为菱形，即可得PM=4,又由CO/PM可得/PMD=30由直角三角形性质即可得PD.解：如图：过点P做PM/CO交AO于M,PM/CO/CPO=/POD,/AOP=/BOP=15PC/OA四边形COMP为菱形，PM=4PM/CO?/PMD=/AOP

10、+/BOP=30又PD丄OAPD=PC=2.2令解：作CN丄OA.CN=OC=2,又/CNO=/PDO,CN/PD,/PC/OD,四边形CNDP是长方形,PD=CN=2故选C.点本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等偏上.评：点本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等偏上.评：二、解答题(共1小题)(选答题，不自动判卷)如图，四边形ABCD中，AB/CD,AC平分/BAD,CE/AD交AB于E.求证：四边形AECD是菱形；若点E是AB的中点，试判断ABC的形状，并说明理由.点本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等

11、偏上.点本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等偏上.评：二、解答题(共1小题)(选答题，不自动判卷)如图，四边形ABCD中，AB/CD,AC平分/BAD,CE/AD交AB于E.求证：四边形AECD是菱形；若点E是AB的中点，试判断ABC的形状，并说明理由.考点：菱形的判定与性质.专题：数形结合.分析：(考点：菱形的判定与性质.专题：数形结合.分析：(1)利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形;(2)利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明/ACB解答：解：(1).AB/CD,CE/AD,四边形AEC

12、D为平行四边形，/2=/3,又AC平分/BAD,/1=/2,/1=/3,AD=DC,AECD是菱形；(2)直角三角形.理由：AE=EC/2=/4,/AE=EB,EB=EC,/5=/B,又因为三角形内角和为180/2+/4+/5+/B=180/ACB=90ACB为直角三角形.考点：菱形的判定与性质.专题：数形结合.分析：(考点：菱形的判定与性质.专题：数形结合.分析：(1)利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形;(2)利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明/ACB解答：解：(1).AB/CD,CE/AD,四边形AECD为平行四边形，/2=/3,又AC平分/BAD,/1=/2,/1=/3,AD