力矩及力偶的一些练习题

1、 2章. - -与2.1力点矩从实践中知道，对物体的作用效果除了能使物移动外，还能使物体转动，力矩 是度量力使物体动效果的物理量。力使物体产生转效应与哪些因素有关?现以扳手拧螺帽为例图 2.1 所示手加 在扳手上的力 F 扳手带动螺帽绕中 动 F越大，转动越快力的作用线离转动中心越远，动也越快如果力的作用线与力的作用点到转动心O点的连线不垂直，则动的效果就差；当力的作用线过转动中心 O 无力 F 多大不能扳动螺帽有力的作用线垂直于动中心与力的作用点的连线时转动效果最好。另外当力的大小和作用线不变而指相反时，将使物体向反的方向转动。在建筑工地上用撬杠抬起重物滑组起吊重物等也是实际的例子。通过大量

2、的实践结出以下的规律：力使物体绕点转动的效果，与力大小成正比，与转动中心到力作用线的垂直距离 d 也成正比。这个垂直距离称为力臂，转动中心称为力矩中(称矩心。 力的大小与力臂乘积称为力 F 对点 O 之矩简力)记作 ( F ) 。算公式可写为 ( F ) (2.1)式中的正负号表力矩的转向。在平面规定：力物体绕矩心作逆时针方向转动时 力矩为正；力使体作顺时针方向转动时，力矩负。因此，力矩是个代数量。力矩的单位是 N kN 由力矩的定义可得到如下力矩的性质：(1)力F对点的矩，不仅决定力的大小，同时与矩心的位置关。矩心的位置不同，力矩随之不；(2)力的大小为零或力臂为零时，力矩为零；(3)沿其作

3、用线移动时，因为力的小、方向和力臂均没有改变，以，力矩不变。 (4)互平衡的两个力对同一点的矩代数和等于零。例 2.1 分别算图 2.2 中 F 、 F 对 O 点力矩。 2解 从 22 可知力 F 和 F 对 点力臂是 h 和 l 。 2 .可修编-2 2 2 2 故 m =F l =F l sin30 =490.10.5=2.45N.mm =F l = l =16.30.15=2.445N.m 必须注意：一般况下力臂并不等于矩心与 力的作用点的距，如 F 的臂是 h ,不 l 。 12.2合矩理在计算力对点的矩时，有些问题往往力臂不易出，因而直接按定义求力矩难以 算。此时，通常用的方法是将

4、这个力分解为两或两个以上便于求出力臂的分力在由 多个分力力矩的数和求出合力的力矩。这一有方法的理论根据是合力矩定理，：如果有n个平面汇交力作于点，则平面汇交系的合力对平面任一点之矩，于力系中各分力对一点力矩的代数和：即 m (F (F )+ (F ) + (F ) m (F) (2.2) 称为合矩理合力矩定理一方常常可以用来确定物体的重心置；另一方面也可以用来简化力 的计算就使力矩的计算有两种法臂已知方便求解按力矩定义进行计算； 在计算力对某点矩，力臂不易求出时，按合力定理求解，可以将此力分解为相垂直 的分力，如两分对该点的力臂已知，即可方便求出两分力对该点的力矩的代数，从 而求出已知力对点矩

5、。例 2.2 计算图 2.3 中F对O点之矩。解F对O点取矩时力臂不找出 F 分成互相垂直的两分力 F 、F ，们对 点矩分 别为m (F )=F b=Fbsin m (F )= F a=Facos 由合力矩定理m (F)= m (F )+ m (F )= Facos 例 2.3 槽形杆用螺钉固定于点，如图 （a）示。在杆端作用一力F，其大小为 400 ，求力 F 对 O 的。 2. - -解 方 1(按矩定义计)本题中 F 的大小和向均已知要计算力 F 对点 的矩，关键是找出臂的长度。为此，自矩O作力F作用线的垂线OC，线段C就是力臂d，如图 2.4）所示。由图 2.4（b）的 ABO 可得

6、10 tan 12 sin 0.3162而在 中 60 18.43 ，所以 AO 8.39 于是力 F 对点的矩为m 40083.9=33560Nmm“一”号表示力 F 将槽形杆绕点 O 有时针方向转的趋势。方法 按力矩定理计)：将力 F 分为水平力 F 和铅力 F ，如图 2.4）所示。 由合力矩定理知力 F 对的矩就等于分力 F 、F 对同一 的矩的代数和，m (F)= (F )+ (F ) = 120+F 40 400sin60120+400cos6040=41560+8000=可见两种方法结完全一样。但在方法 1 中，求力 对 的需要通过几何关系P才能找出力臂，算比较麻烦；而方法 2

7、用力定理计算则比较简便。在实际计中， 常用合力矩定理求力矩或合力作用线的位置。.可修编-2.3力及基性2.4力偶和力偶在生产实践和日生活中，为了使物体发生转动常常在物体上施加两个大小相等方向相反、不共的平行力。例如钳工用丝锥攻时两手加力在丝杠(图 2.5 所)。当大小相等、方相反、不共线的两个平行力 F 和 /作用在同一物体，它们的合力 F ，即 F 和 F / 没合力。但因二力不共线，所也不能平衡。它们的作用效果是 使物体发生转动力学上把这样大小相等、方向反、不共线的两个平行力叫力偶用符号 , F /表示。两个相反力之间垂距离d叫力偶如图 2.6 ，两个力的作用线所在的平面称为力作用面。力偶

8、不能再简化成比更简单的形式，所以力偶与力一被看 成是组成力系的本元素。如何度量力偶对体的作用效果由实践可知，组成力偶的力大，或力偶臂越大， 则力偶使物体转的效应越强；反之，就越弱。说明力偶的转动效应不仅与两个的大 小有关，而且还力偶臂的大小有关。与力矩类，用力偶中一个力大小和力偶臂乘积并冠以适当正负(以示转向来度量力偶对物体的转动应，称为力偶矩，用 (2.3)m表示。即使物体逆时针方转动时，力偶矩为正；反之为。如图 2.6 所。所以力偶是代 数量。力偶矩的位与力矩的单位相同，常牛顿米 。通过大量实践证，度量力偶对物体转动效应的要素是偶矩大、力的 向力的用面不同的力偶只要它们的三要相同，对物体的

9、转动效应就一样的。2.4.1力偶的基本质性 1力偶没有合力，以力偶不能用一个力来代替，不能与一个力来平衡。从力偶的定义和的合力投影定理可知，力偶中二力在其作用面的任意坐标轴上 投影的代数和恒零，所以力偶没有合力，力偶物体只能有转动效应，而一个力一般4. - -情况下对物体有动和转动两种效应。因此，力与力对物体的作用效应不同，所其不 能与一个力等效也不能用一个力代替，也就是力偶不能和一个力平衡，力偶只和转 向相反的力偶平。性 2 力偶对其作用面任一点之矩恒等于力偶矩，且与矩心位置关。图 2.7 示力(F, F/，其力偶臂 d ，时针转向，其力偶矩为 ，其所在的平面任选一 为心，与离 F/的垂直距

10、离为x它到F的垂直距离为x 然偶O点的力矩是力F与F 分别对O点的力矩的代数。其值为： ( F , ( ) m由于 O 点任意选取的，所以性质 2 得证。性 3 在一平面的两个力偶，如果们的力偶矩大小相等，向相同，则这两个力偶等效。为力偶的等效条件。从以上性质可以到两个推论。推 1 力可在其作用面任意转移，不改变它对物体的转动效应，即偶对物体 的转动效应与它作用面的位置无关。例如图 2.8(a)作用在方向盘上两上力偶 F ， F ， 们的力偶矩 2大小相等，转向同，作用位置虽不同，转动效是相同的。推 2在力偶矩大小不的条件下，可以改变力偶中的的大小和力偶臂的长短；而不改变它对物的转动效应。例如

11、图 2.8(b)示，工人在利用丝锥攻纹 时，作用在螺纹上( F ， F ， F 虽然 和 d 不等，但只要调整力的大小使 2力偶矩 d d 两力偶的作用效果是相同 1 2的。.可修编-从上面两个推论知研究与力偶有关的问题时必考虑力偶在平面的作用位置， 也不必考虑力偶力的大小和力偶臂的长短，只考虑力偶的大小和转向。所以常带箭 头的弧线表示力箭头方向表示力偶的转弧线旁的字母 m 或数表示力偶矩的大 小，如图 2.9 所。2.5平力系合与衡2.5.1平面力偶系合成作用在物体上的群力偶或一组力偶，称为力偶。作用面均在同一平面的力偶系为平面力偶系。因为力偶对物体作用效果是转动，所以同一平上的多个力偶对物

12、体的作用效果 是转动，作用在一物体上的多个力偶的合成的果必然也应该是一个力偶，并且个力 偶的力偶矩等于个分力偶的力偶矩之和。即作在同一平面上的若干力偶，可以成为 一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代数：即M 2 n(2.4)例 2.4 如 2.10 所示，在物体的某平受到三个力偶的作用，设 ， 求们的合力偶。解 各偶矩分为 d N 1 200 ， 2 sin 30 N N 由2式得力矩为M 1 2 300 N 即合力偶矩的大为200 ，顺时针转向，用在原力偶系的平面。2.4.2 平面力系平条件平面力偶系可以成为一个合力偶合偶矩等于零时物体处于衡状态反之， 力偶矩不为零，物体必产生转动效应而不

13、平衡这样可得到平面力偶系平衡的必和充 分条件是：力偶中所有各力偶的力偶矩的代数等于零。即： (2.5)6. - - 上式称为平面力系的平衡方程。应用式2.5)决平面力偶系的平衡问题，只能出一个未知量。例 2.5 梁 上用有一力偶，其转向如图 2.11(a) 力偶矩 kN 。梁长l m，梁的自重不计求、处支座反力。解 梁 端可动铰支座，其支座反力 F 的向是沿垂直方向；梁的 端是固定铰支座，其反力的 方向本来是未定，但因梁上只受一个力偶的作，根 据力偶只能与力平衡的性质 F 必须与 F 组一个 B力偶。这样 F 的方向也只能是沿垂直向的，假 R 与 F 的向如图 2.11(b)示，由平面力偶系平

14、衡条 件得 ， l AFAR 15 l 3)FBR )本小1矩是力使物体绕某点转动效应的度量矩的小等于力与矩心到力的作用 的垂直距离的乘，力矩的转向用正、负号来表；因而在平面问题中，力矩可看是代 数量。2力是由大小相等向相反作线平行不重合的两个力所组成的一个特力 系。力和力偶是力学两个最基本的机械作用量。力刚体作用一般都有移动和转动两 效应；而力偶对体却只有转动效应，没有移动应。力偶既不能用一个力代替，不能 与一个力平衡，偶只能用力偶来平衡。力偶使刚体转动效应用力偶矩来度量。力偶矩大小等于力偶中任一力的大小与 力之间的垂直距的乘积，力偶矩的转向用正、号来表示，因而在平面问题中，偶矩 可看成是代

15、数量力矩是力使物体某点转动效应的度量，而力偶最基本的机械作用量，力矩与力 是两种不同的概，不能混淆。3力在任一轴上的投影等于零力偶对其作用面一点的矩恒等于力偶矩与 矩心的位置无关力偶可以在其刚体的作用面任移动，也可以在力偶矩保持不变条件.可修编-下同时改变力偶力的大小和力偶臂的长短，而改变它对刚体的效应。但必须注，所 谓任意移动是指所作用的刚体移动，而不能将移动到另外的刚体上。掌握力偶这些 性质论对于力系简化的理论或解决有关力偶作用下物体的平衡问题是非常重要的。4面力偶系合成的结是一个合力偶力的力偶矩等于力偶系中各分力偶的力 偶矩的代数和。面力偶系平衡的必要和充分条是合力偶矩等于零，即力偶系中力偶 的力偶矩的代数等于零。思试2.1 什么是力矩？什么力偶？有何异同？举例说明。2.2 力偶有哪几条性质2.3 力偶的三要素是什？2.4 怎样的力偶才是等力偶？习题2.l 计下列各图中 F 力O点之矩