解析几何中定值和定点问题

1、解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要 解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再 视具体情况进行研究.【实例探究】题型1 ：定值问题：例1 :已知椭圆C的中心在原点，焦点在 x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离 心率等于(I)求椭圆C的标准方程；(H)过椭圆C的右焦点作直线I交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值 解：(I)设椭圆C的方程为，则由题意知 b = 1.声-护朮on Lr 2

2、肩，椭圆C的方程为(II)方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知F点的坐标为(2, 0).=入AF”一 (巧J 儿)=易(2叼厂卩1)-zL =- % = -1 1 + A将A点坐标代入到椭圆方程中，得 去分母整理得方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2, 0）.显然直线I存在的斜率，设直线I的斜率为k，则直线I的方程是将直线I的方程代入到椭圆 C的方程中，消去y并整理得MA =MA =看亦r面=爲丽，将各点坐标代入得给又2（叽十心）-2孔刊4 - 2（珂 + xj 4-例2.已知椭圆C经过点A（1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）.1 ）求椭圆方程2）E、F是椭

3、圆上的两个动点，如果直线 AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a2-b 2=c2 =1设椭圆方程为 x2 （b2H）+y 2/b 2=1将（1，3/2 ）代入整理得 4bM-9b2-9=0 解得b2=3 （另一值舍）所以椭圆方程为x2/4+y 2/3=1（2）设AE斜率为k 则 AE 方程为 y-(3/2)=k(x-1)x2/4+y 23=1，联立得出两个解一个是A (1,3/2 )另一个是E (x1 , y1 )代入消去 y 得(1/4+k 2/3 ) x2- (2k 2/3-k ) x+k 2/3-k-1/4=0根据韦达定理 x1 1= (k2

4、3-k-1/4) / (1/4+k 23 将的结果代入式得y1= (-k22-k/2+3/8) /(1/4+k 2/3)设 AF 斜率为-k，F (x2，y2 )则 AF 方程为 y- (3/2 ) =-k (x-1 x74+y 23=1联立同样解得x2= (x2= (k2/3+k-1/4)/ (1/4+k 2/3 )y2= (y2= (-k 22+k/2+3/8)/ (1/4+k 23 )EF斜率为(y2-y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直线EF斜率为定值，这个定值是1/2。2所以直线EF斜率为定值，这个定值是1/2。2X例3、已知椭圆2a2y21(a bb20)的离心率为！，且过点(

5、2,1).(I)求椭圆的方程;(n)(I)求椭圆的方程;(n)若过点 C (-1 , 0)且斜率为k的直线I与椭圆相交于不同的两点代B，试问在x轴上是否存在点 M，使上是否存在点 M，使MA MB53k2 1是与k无关的常数？若存在， 求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 TOC o 1-5 h z 解: (1 )椭圆离心率为-6，二-6，二 3-.3 a 3 a 3又丫椭圆过点(晅,1)，代入椭圆方程，得1.a b所以 a25,b25 .32 2椭圆方程为- 基1，即X2 3y25.553(2 )在x轴上存在点M (jo)，使MA MB f 是与K无关的常数.63k 1证明：假设在x轴上存在

6、点M ( m,0 )，使MA MB 5是与k无关的常数,3k 1直线L过点C (-1 , 0 )且斜率为K, 方程为k(x 1),x2 3y25,y k(x 1),2 2得(3k1)x6k2x 3k2o.设 A(x1, y1), B(x2, y2)直线L过点C (-1 , 0 )且斜率为K, 方程为k(x 1),x2 3y25,y k(x 1),2 2得(3k1)x6k2x 3k2o.设 A(x1, y1), B(x2, y2)，则 X1 X26k23k21,X13k253k21X2(X1 m,yJ,MB(X2 m,y2),Ma MB53k2(X1m)(X2m)yy53k2 1X2mk2x11X2_53k2k2x1x221m x1X2m2k2153k21k23k23k21k26k2m 23k 153k21k2k2 6mk2 3m2k23k21设常数为 t，则 k2 6mk2 2 3m2k2 m2 t3k2 1整理得(3m2整理得(3m2 6m 1 3t)k 2t 0对任意的k恒成立,解得解得23m 6m 1 3t 0,2m t 0.即在x轴上存在点M ( 1,0),使mA mB 5 是与K无关的常数.63k 1题型2 :定点问题2 2例4.已知椭圆C:笃 爲 1 (a b 0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直 a b角三角形，直线 x-y+b=O 是抛物线y2