数学与创新思维市公开课获奖课件

1、数学与创新思维北京航空航天大学 李心灿第1页第1页 引言 全国科技大会指出：“创新是一个民族进步灵魂，是国家兴旺发达不竭动力。一个没有创新能力民族难于挺立于世界民族之林。”“建立创新型国家。” 第2页第2页 教育部一个汇报指出： “实行素质教育重点是改变教育观念，尤其是要以培养学生创新意识和创造精神为主。” 第3页第3页 恩格斯指出： “一个民族要想站在科学最高峰，就一刻也不能没有理论思维。” 创造性人才创造活动是在相应创造性思维支配下，所进行一个积极能动活动。创造性思维是一切创造活动关键和灵魂。第4页第4页HG格拉斯曼说：“数学除了锻炼敏锐理解力，发觉真理外，它尚有另一个训练全面考察科学系统

2、头脑开发功效。”赫巴特说：“数学普通通过直接激发创造精神和活跃思维方式来提供最佳服务。”第5页第5页 因此我认为：数学教学不但应当传授数学知识，还应当培养学生创新思维。第6页第6页 讲五个问题一、归纳思维二、类比思维三、发散思维四、逆（反）向思维五、（数学）猜想 我将结合高等数学和数学史上一些著名问题来讲第7页第7页一、归纳思维 归纳是人类赖以发觉真理基本、主要思维办法。 著名数学家拉普拉斯指出：“分析和自然哲学中许多重大发觉，都归功于归纳办法牛顿二项式定理和万有引力原理，就是归纳办法结果。”“在数学里，发觉真理主要工具和手段是归纳和类比。” 著名数学家高斯曾说：“我许多发觉都是靠归纳取得。”

3、 第8页第8页 著名数学家沃利斯说：“我把（不完全）归纳和类比当作一个较好考察办法，由于这种办法确实使我很容易发觉普通规律” 第9页第9页 归纳是在通过各种手段（观测、试验、分析、计算）对许多个别事物经验结识基础上，发觉其规律，总结出原理或定理。归纳是从观测到一类事物部分对象含有某一属性，而归纳出该事物都含有这一属性推理办法。或者说，归纳思维就是要从众多事物和现象中找出共性和本质东西抽象化思维。也能够说，归纳是在相同中发觉规律，由个别中发觉普通。第10页第10页 从数学发展能够看出，许多新数学概念、定理、法则、形式，都经历过积累经验过程，从大量观测、计算,然后归纳出其共性和本质东西，比如：哥德

4、巴赫猜想，费马猜想，素数定理等。第11页第11页归纳办法哥德巴赫猜想: 3+7=10， 3+17=20， 13+17=30 3，7，13，17都是奇素数*。 10， 20， 30 都是偶数。 是否两个奇素数之和都是偶数呢？这是显然。但是（逆向思维）任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之和吗？第12页第12页 6=3+3 8=3+5 10=3+7 12=5+7 14=3+11=7+7 16=3+13=5+11 这样下去总是正确吗？即任何一个不小于4偶数都是两个奇素数之和？不小于4偶数=奇素数+奇素数？ ( * )（哥德巴赫猜想）第13页第13页 60=3+57 （57=193，不是素数） 60=5

5、+55 （55=115，不是素数) ？！60=7+53（7和53都是素数） . 第14页第14页哥德巴赫猜想。起源，演变 哥德巴赫观测到一些详细例子， 然后归纳出：“任何不小于2数都是三个素数和”。（1742.6.7写信 给欧拉，并附上一些他观测到例子） 欧拉（1742.6.30）回信把它进一步明确化为：“每一偶数是两个素数和”(*)（并说：“我认为它正确，但给不出证实） 1770（英）华林将(*)发表出来。当代原则陈说是（*） 这一猜想历200多年至今仍悬而未决（1966，陈景润，（1+2）。 这是数学向人类智慧挑战！ 但对此猜想证实过程中，极大推动理解析数论发展（尤其是筛法，圆法）第15页

6、第15页二项式系数 (u+v)1=u+v (u+v)2=u2+2uv+v2 (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3 (u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4 (u+v)5=. (u+v)n=第16页第16页12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形第17页第17页12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形第18页第18页1 1 1 1 2 11 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6

7、1 宋朝数学家杨辉1261年写详解九章算法*就解释了上述系数三角形结构法，并说贾宪用此术。杨辉三角形第19页第19页在高等数学中，许多主要结果得出，都用到了归纳思维。比如：求某一函数 n 阶导数，通常办法是求出其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶）导数，再归纳出 n 阶导数表示式。解从而归纳出第20页第20页解由于因而归纳得到第21页第21页 又如：从一阶、二阶常系数线性齐次微分方程通解结构及其求解办法，能够归纳出n阶常系数线性齐次方程通解结构及其求解办法。 再如：多元函数求条件极值拉格朗日乘数法，从两个自变量、一个约束条件，推广到n个自变量、m个约束条件，也是用归纳办法得出。 总之：在高等

8、数学中，有不少内容使用了归纳思维。第22页第22页 科尔莫哥洛夫在我是如何成为数学家中说：我在6、7岁时我已经感受到数学归纳发觉乐趣，比如，我注意到下边等式： 他这个发觉，以后被登载在春燕杂志上。第23页第23页问题：考察表 按照上述算例找出它们普通规律，并用适当数学式子表示出来，并且试证实它。问题：下述结论是否成立？第24页第24页二、类比思维 著名日本物理学家、诺贝尔奖取得者汤川秀澍指出：“类比是一个创造性思维形式。”著名哲学家康德指出：“每当理智缺乏可靠论证思绪时，类比这个办法往往能指导我们迈进。” 类比是依据两个（或多个）对象内部属性、关系一些方面相同，而推出它们在其它方面也也许相同推

9、理。简朴地说，类比就是由此去发觉彼（或由彼去发觉此）。 第25页第25页 类比为人们思维过程提供了更辽阔“自由创造”天地，使它成为科学研究中非常有创造性思维形式，从而受到了诸多著名科学家注重与青睐。比如： 著名天文学、数学家开普勒说： “我珍视类比胜于任何别东西，它是我最可信赖老师它能揭示自然奥秘。” 著名数学家、教育学家波利亚说：“类比是一个伟大引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中类比问题。”第26页第26页在平面解析几何中直线截距式是：在平面解析几何中,两点距离是： 在空间解析几何中,两点距离是： 在空间解析几何中平面截距式是：第27页第27页 在平面解析几何中圆方程是： (x-a

10、)2+(y-b)2=R2 在空间解析几何中球面方程是: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 等等。第28页第28页莱布尼茨公式将他们比较能够看出:把中右端K次幂换成K阶导数(零阶导数理解为函数本身),把中u+v换成uv,n次幂换成n阶导数既为. (拉格朗日17岁) 牛顿二项式展开公式第29页第29页 费马猜想： X2+Y2=Z2解：X=3, Y=4, Z=5 Z=m2+n2 , X= m2-n2 Y=2mn, m,n是任一整数，n2是否有正整数解？第30页第30页 ZZ=XX+YY52=32+42Z3 = x3 + Y3 (X,Y,Z 为正整数)=zxy+公元972年阿拉伯人阿尔科

11、但第（Alkhodjidi)Zn = n+ Yn (n2)(Wiles 1994)第31页第31页欧拉猜想：下述方程没有整数解：没有些人能够证实它是正确，但是在他提出这个猜想之后2内大家都相信它是正确.但是在1998年，诺姆艾利克斯举出一个反例：以后人们又发觉了一个更简朴例子：第32页第32页多元函数与单元函数 在学习多元函数微分学和积分学时，应注意与已经学习过一元函数微积分相应概念、理论、办法进行类比。比如：第33页第33页 在一元函数中，若f(x)在点x0邻域内（n+1）阶导数，且x为此邻域内任意一点，则有一元函数n阶泰勒公式：其中第34页第34页 在二元函数中，若f(x, y)在点(x0

12、,y0)邻域内有（n+1）阶连续偏导数，且(x=x0+h,y=y0+k)为此邻域内任意一点，则有二元函数n阶泰勒公式：第35页第35页 大家能够将上述一元函数n阶泰勒公式与二元函数n阶泰勒公式进行类比（包括它们成立条件和公式结构与形式）。 又如，在学完了积分学后应将定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分进行类比，包括它们定义、性质、计算办法、物理意义、等。第36页第36页 尤其应当将牛顿莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。 若将牛顿莱布尼茨公式 视为，它建立了一元函数f(x)在一个区间定积分与其原函数F(x)在区间边界值之间联系；第37页第37页通过类比，就可将格林

13、公式 视为，它建立了二元函数在一个平面区域D上二重积分与其“原函数”在区域边界L曲线积分之间联系；第38页第38页通过类比，就可将高斯公式 视为，它建立了三元函数在一个空间区域上三重积分与其“原函数”在区域边界曲面S上曲面积分之间联系；第39页第39页通过类比，就可将斯托克斯公式 视为，它建立了三元函数在一个空间曲面S上曲面积分与其“原函数”在区域边界曲线L上曲线积分之间联系。第40页第40页 若引入“外微分运算”，就可将格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛顿-莱布尼茨公式高维推广. 并都能够用一个简朴形式统一表示为第41页第41页 实践证实：在学习过程中，将新内容与自己已经熟悉知识。进行

14、类比，不但易于接受、理解、掌握新知识，更主要是：培养、锻炼了自己类比思维，有助于开发自己创造力。（费马猜想） 第42页第42页三、发散思维 所谓含有发散特性思维是指信息处理路径灵活多变，求结果丰富多样。它是一个开放性立体思维，即围绕某一问题，沿着不同方向去思考探索，重组眼前信息和记忆中信息，产生新信息并取得处理问题各种方案。因此，也把发散思维称为求异思维。它是一个主要创造性思维。 用“一题多解”，“一题多变”等方式，发散式地思考问题。第43页第43页数学王子高斯 高斯被誉为：“能从九霄云外高度按某种观点掌握星空和深奥数学天才”和“数学王子”。 第44页第44页 尤其是高斯非常重视培养自己发散思

15、维，而且善于利用发散思维。他非常重视“一题多解”、“一题多变”。比如：他对代数基本定理，先 后给出了4种不同证实；他对数论中二次互反律，先后给出了8种不同证实（高斯称二次互反律是数论中一块宝石，数论酵母，是黄金定理）。欧拉勒让德第45页第45页第一个证实是用归纳法；第二个证实是用二次型理论；第三个和第五个证实是用高斯引理；第四个证实是用高斯和；第六个和第七个证实是用分圆理论；第八个证实是用高次幂剩余理论。他每一个证实思绪都造成数论新方向。其后19世纪多位数论大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、库默、戴德金、希尔伯特等人都给出了新证实并发展了该理论。第46页第46页 有些人曾问高斯：“你为何能对数

16、学作出那样多发觉？”高斯答道：“假如别人和我同样深刻和持久地思考数学真理，他也会作出同样发觉。”高斯还说：“绝对不能认为取得一个证实以后，研究便告结束，或把另外证实当作多出奢侈品。”“有时候一开始你没有得到最简和最美妙证实，但恰恰在寻求这样证实中才干进一步到真理奇妙联想中去。这正是吸引我去继续研究积极力，并且最能使我们有所发觉。”高斯这些言行，很值得我们学习和深思。第47页第47页 因此，我们在高等数学教学中，应利用一题多解、一题多变来培养训练发散思维，下边我们举几种例子： 第48页第48页一题多解：计算解法：第一类换元积分法第49页第49页一题多解：计算解法：第一类换元积分法第50页第50页

17、一题多解：计算解法：第一类换元积分法第51页第51页一题多解：计算解法：令第一类换元积分法第52页第52页一题多解：计算解法：令第二类换元积分法第53页第53页一题多解：计算解法： 令第二类换元积分法第54页第54页一题多解：计算解法：分部积分法和第一类换元积分法第55页第55页一题多解：计算解法：分部积分法和第一类换元积分法第56页第56页一题多解：计算解法：欧拉代换法，令第57页第57页一题多解：计算解法10：欧拉代换法，令第58页第58页 通过计算这一个题目，不但使用了各种计算不定积分办法，把不定积分法学活了，更主要是培养、训练了发散式思考问题思维办法.第59页第59页又如：求极限能够用

18、极限用三角公式变形；用洛必达法则；用无究小量代换； 用泰勒公式；等等。第60页第60页又如：证实不等式能够用函数单调性；用中值定理； 用泰勒公式； 等等。第61页第61页一题多变： 得知它是全微分方程，从而用全微分方程解法求出其通解；求微分方程通解变形为：由于：第62页第62页一题多变：求微分方程通解变形为： 得知它是齐次微分方程，从而用齐次微分方程解法求出其通解；第63页第63页一题多变：求微分方程通解变形为： 发觉它是伯努利方程，从而令z = y2，化为线性微分方程，然后用线性微分方程解法求出其通解。高等数学一题多解200例选编 （产品：手表、收音机、电视机等） 第64页第64页四、逆向思

19、维 一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给雨伞店老板，小女儿当了洗衣作坊女主管。于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她紧张洗衣作坊衣服晾不干；逢上晴天，她怕伞店雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。 以后有一位聪明人劝她：老太太，你真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆；大晴天，你小女儿家用户盈门，哪一天你都有好消息啊。这样一说，老太太生活色彩竟焕然一新。一则小故事:第65页第65页 逆向思维（又称反向思维）是相对于习惯性思维另一个思维形式。它基本特点是从已有思绪反方向去思考问题。它对解放思想、开阔思绪、处理一些难题、开创新方向，往往能起到积极作用。第66页第66页（1）假如碰到一些问题顺推不行，能够考虑逆推

20、。（2）假如碰到一些问题直接处理困难，想法间接 处理。（3）正命题研究过后，研究逆命题。（4）探讨也许性发生困难时，转而探讨不也许性。 下面举几种高等数学中例子:第67页第67页求解微分方程：若将 x 视为自变量，y 视为未知函数，解此方程就比较困难。由于它既不是可分离变量方程，也不是齐次方程，也不是全微分方程，也不是线性方程和伯努里方程。但是，假如利用逆向思维，即反过来将 x 视为未知函数, y 视为自变量，将方程变为第68页第68页它就是未知函数x 线性微分方程。很容易求出其通解。 )1(21222Ceyexyy+-=-第69页第69页若直接处理困难，想法间接处理。例1： 试求解法：用间接

21、办法，即转化为判断级数级数收敛必要条件是通项趋向于零，于是第70页第70页解法:利用夹逼定理第71页第71页第72页第72页例3：将y=xarctanx展成x幂级数。 若用直接办法，先得求出此函数各阶导数，还得讨论余项Rn(x)。 若用间接办法，就很简便。第73页第73页 探讨也许性发生困难时，转而探讨不也许性。 下面我们例举数学史上两个最有名问题：第74页第74页关于非欧几何发觉 欧几里得几何原本第一卷中给出了五个公设，其中前四个简朴明了，（前三个是作图要求，第四个是“凡直角都相等”），符合亚里士多德公理“自明性”要求，唯独第五公设不但文字烦琐，并且所必定事实也不明显。 并且只有第5公设涉及

22、到无限,这是人们经验之外东西. 第75页第75页 此公设是“若始终线和两条直线相交，所构成两同旁内角之和小于两直角，那么把这两直线延长，它们一定在两内角一侧相交”。 第76页第76页 这公设等价于：“在平面上，过直线外一点，只能作一条直线与这条直线平行”。 欧第77页第77页 当两条直线相交于非常遥远地方时，就无法判断这两条直线是否平行，因此不含有直观明显性。因此没有得到公认，于是就有些人提出来把它作为定理来证实。但是许多数学家经历了多年都以失败告终，他们不是证实有错误，就是用另一条等价公理代替了第五公设。达朗贝尔曾把第五公设证实称为“几何原理中家丑”。第78页第78页 直到19世纪初，数学家

23、们着手研究它反问题欧几里得第五公设不可证。尤其是德国高斯、匈牙利鲍耶、俄国罗巴切夫斯基他们各自总结了前人和自己试证第五公设失败教训。高斯(1799,1813)罗巴切夫斯基 (1826,1829) 鲍耶 （1832）第79页第79页 罗巴切夫斯基把欧氏几何命题按是否依赖于第五公设（平行公设）分为两部分： 不依赖于第五公设得到证实命题（绝对几何）。 依赖于第五公设才干证实命题。 “在一个平面上，过直线AB外一点最少能够作一条直线与AB不相交”。 1. 仅可作一条（第五公设） 欧氏几何； 2. 可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾命题，这就无异于证实了第五公设。 可是他不但没有发觉任何矛盾

24、，反而推导出了一连串奇妙结果，组成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相冲突，但又和欧氏几何不同新几何体系。第80页第80页 他们首先必定了欧几里得第五公设是不能用其它公理作出证实，然后用一个与它相反命题来代替它。即“在平面上，过直线外一点至少可引两条直线与已知直线平行。”罗第81页第81页 从而建立了一个与欧几里得不同新几何体系。 高斯称之为“反欧几里得几何” 罗巴切夫斯基称之为“想象几何” 后他又称之为“泛几何” 今天称之为罗巴切夫斯基几何（又称双曲几何）。第82页第82页 以后德国数学家黎曼用一个既与欧几里德第五公设命题相反又与罗巴切夫斯基平行公理相反命题来代替它们，即“在平面上，过直线外一

25、点不也许引始终线与已知直线平行”。黎第83页第83页 从而建立了一个与欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何都不同新几何体系，现称为“黎曼几何”（又称椭圆几何）。 现在人们把“罗巴切夫斯基几何与黎曼几何统称为“非欧几里得几何”。 黎曼(1854)第84页第84页 20世纪伟大数学家希尔伯特指出: “19世纪最富启发性和最值得注意成就是非欧几里得几何发觉”。 非欧几里得几何创建是几何学上革命，它不但使数学家大开眼界，引起一些主要数学分支产生，它主要意义还在于使数学哲学研究进入一个崭新历史时期，它使人们对空间结识更深刻，更完全了。比如，它对爱因斯坦相对论提供了最适当数学工具。因此许多人采用非欧几何学作为宇

26、宙几何模型。(太平洋)第85页第85页 欧几里得： 三角形内角和 = 两直角 , 2r=c ， a2+b2=c2 罗巴切夫斯基：三角形内角和 两直角 , 2rc ， a2+b2 两直角 , 2rc ，a2+b2c2 以后许多几何理论都建立在改变和推广欧几里得几何概念基础之上。比如：1844年格拉斯曼建立n维仿射空间和度量空间几何。1871年克来因第86页第86页关于五次及五次以上代数方程根式求解问题 在16世纪之前，数学家们就成功地找到了普通一次、二次、三次、四次以及一些特殊五次及五次以上代数方程根式解法。如： 那么，普通五次及五次以上代数方程是否也存在根式解法呢？第87页第87页 这个问题吸

27、引着众多数学家，他们相信这种解法一定存在，包括：卡当（Cardano）、韦达(Viete)、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了两百多年努力都未能找到解法。韦达拉格朗日第88页第88页 通过无多次失败之后,直到19世纪初，一些数学家产生了逆向思维：首先是鲁非尼（Ruffini）和拉格朗日，接着是阿贝尔(Abel)，把问题提法倒了过来，去思考它反问题：普通五次及五次以上方程不存在根式求解法。阿贝尔(Abel)第89页第89页 阿贝尔从这种逆向思维出发，终于严格地证实了：普通五次及五次以上方程不能用根式求解，不但彻底处理了这桩历史悬案，并且进而开创了近世代数方程研究道路，包括群论和方

28、程超越函数解法。 几何三大难题：1. 三等分任意角;2. 化圆为方;3. 倍立方. ( 只用圆规、直尺)第90页第90页逆向思维基本特点 从已有思绪反方向去思考问题。顺推不行，考虑逆推；直接处理不行，想办法间接处理;正命题研究过后，研究逆命题；探讨也许发生困难时，考虑探讨不也许性。它有助于克服思维定势保守性，它对解放思想、开阔思绪、发觉新生事物，开辟新方向，往往能起到积极作用。第91页第91页 比如： 毒蛇、蝎子都令人生畏，但有些人大胆地逆向思考，提出了以毒攻毒，结果制成了许多珍贵药物。 英国医师琴纳(Jener)发觉牛痘能够预防天花，事实上也是使用了逆向思维。 第92页第92页“围魏救赵” (“36计”中第2计)桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。第93页第93页“围魏救赵” (“36计”中第2计)桂陵（今长垣县西边），大梁（今