考研数学高等数学公式大全

1、文档编码 : CS4I6Q6F5U6 HO4R3E9D7O6 ZI4Y8K2P10M102022 年考研数学高等数学公式大全（完整版） 平方关系： 积的关系： sin2 +cos2 =1 tan2 +1=sec2 cot2 +1=csc2 sin =tan *cos cos=cot *sin tan =sin *sec 倒数关系： cot =cos*csc tan cot =1 sin csc =1 cos sec=1 sec=tan *csc csc =sec*cot 直角三角形 ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 , 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边

2、, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos +=cos -sincos sin cos - =cos cos+sin sin sin =sin cos cos sin tan +=tan +ta-nta n/1 tan 15页 tan - =tan-tan/1+tan tan 第 1 页 共 第 1 页,共 15 页帮忙角公式： Asin +Bcos=A2+B21/2sin ,其 中+t sint=B/A2+B21/2 cost=A/A2+B21/2 tant=B/A Asin+Bcos=A2+B21/2cos-t,t ant=A/B 倍角公式： sin2 =2sin cos=2

3、/tan +cot cos2=cos2-s in2 =2cos2-1=1-2sin2 tan2=2tan -ta/n12 三倍角公式： sin3=3si-n4s in3 cos3=4cos3-3 cos 半角公式： sin /2= -cos1 /2 cos /2= 1+cos /2 tan /2= -cos1 /1+cos =sin /1+c-ocsos降幂公式 cos cos=1/2cos +- cos sin2 =-c1os2/2=versin2 /2 sin sin-1/2=cos -c+os- cos2 =1+cos2 /2=covers2 /2 和差化积公式： tan2 =-c1os

4、2/1+cos2 sin +sin =2sin +/-2co/s2 万能公式： sin-sin=2cos +/2-s in/2 sin =2tan /2/1+tan2 /2 cos+cos=2cos +/2- cos/2 cos=-1tan2/2/1+tan2 /2 cos-cos -=2sin +/2si-n /2 tan=2tan /2-ta/n12/2 推导公式 积化和差公式： tan +cot =2/sin2 sin cos=1/2sin -+sin tan-cot -=2cot2 cos sin=1/2sin-sin-+ 1+cos2 =2cos2 第 2 页 共 15 页 第 2

5、页,共 15 页1-cos2 =2sin2 1+sin =sin /2+cos /22 其他： sin +sin +2/n+sin +2*2/n+sin +2*3/n+ -1/n+s=i0n +2*n -1+/cno=s0 以+及 2 *ncos+cos +2/n+cos +2*2/n+cos +2*3/n+ sin2 +sin2-2/3+sin2+2/3=3/2 tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0 第 3 页 共 15 页 第 3 页,共 15 页三角函数的角度换算 公式一： 设 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（ 2k ） sin co

6、s（ 2k） cos 公式二： 设 为任意角, +的三角函数值 与 sin（ ） sin cos（ ） cos 公式三： tan（2k） tan cot（2k） cot 的三角函数值之间的关系： tan（） tan cot（） cot 任意角 与 - 的三角函数值之间的关 系： sin（ ） sin tan（ ） tan cos（ ） cos 公 式四： 利用公式二和公式三可以得到 - 与 sin（ ） sin cos（ ） cos 公 式五： cot（ ） cot 的三角函数值之间的关系： tan（） tan cot（） cot 利用公式一和公式三可以得到 2-与 的三角函数值之间的关 系：

7、 sin（ 2） sin tan（2 ） tan cos（ 2） cos cot（2 ） cot 第 4 页 共 15 页 部分高等内容 高等代数中三角函数的指数表示 由泰勒级数易得 ： sin x eix e 2i ix , cosx eix 2e ix , tan x e ix ix ee ix ix e泰勒开放有无穷级数： ez expz 1z 2 z2. 3 z3. 页 4 z4. n zn. 1. 第 5 页 共 15第 5 页,共 15 页此时三角函数定义域已推广至整个复数集； tgx 2 sec x arcsin x 112 1 x ctgx csc 2 x arccos x 1

8、secx secx tgx 2 1 x cscx cscx ctgx arctgx 1 2 x ax ax ln a 1 arcctgx 1loga x xln a 2 1 x tgxdx ln cosx Cdx sec 2 xdx tgx Ccos 2x ctgxdx ln sin x C2 csc xdx ctgx C dx secxdx ln secx tgx C2 sin x cscxdx ln cscx ctgx Cxdx secx tgxdx secx Cdx 1arctg x Ccscx ctgxdx cscx Ca22 x aaaxdx ax Cdx 1ln x aCln a

9、2 x a22ax ashxdx chx Cdx 1 ln 2a ax Cchxdx shx Ca22 x a x dx a2ln x 2 x 2 a Cdx arcsin x aCa 2 x2 2 x I n2n sin xdx 2n cos n 1 I n n 2 002 x 2 a dx x 2 x a2a2ln x 2 x 2 a C 22x2 a 2 dx x x2 a 2 a2ln x x 2 a2 C2 22 x a arcsin x 2 aCa22 x dx x a22三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y;y=y ,有通解 Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx

10、,因此也可以从今动身定义三角函数； 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数 双曲函数,其拥有很导数公式： 第 6 页 共 15 页 第 6 页,共 15 页基本积分表： 三角函数的有理式积分： sin x 12u , cos x 1u2, utg x , 2dx 2 du u21u21u2一些初等函数： 两个重要极限： 双曲正弦 : shx ex ex ex lim x 0 sin x x 1e 59045. 2双曲余弦 : chx ex 2ex lim 1 x 1 x x 双曲正切 : thx shx ex chxex ex arshx ln x x2 1） archx ln x

11、2 x 1 arthx 1 1 x ln 2 1 x sin sin cos cos sin sin sin 2 sin 2cos 2cos coscossin sin tg tg tg 1sin sin 2 cos 2sin 21 tg tg ctg cos cos 2cos 2cos 2ctg ctg ctg ctg cos cos 2sin 2sin 2倍角公式： 第 7 页 共 15页 第 7 页,共 15 页sin 2 2 sin cos 12 2 sin cos22 sin sin3 3sin 3 4 sin cos 2 2 2 cos1ctg 2 2 ctg 1cos3 3 4c

12、os 3cos 2ctg tg3 3tg tg3tg 2 2tg 2 1 3tg 2 1 tg 半角公式： sin 21 cos 2sin cos 21 cos 2tg 21cos1 cos ctg 21cos1 cos 1sin 1cos sin 1cos 1cos sin cos 正弦定理： abc sin C 2R 余弦定理： c2 a 2 b 2 2abcos C sin A sin B 反三角函数性质： arcsin x 2arccos x arctgx 2arcctgx 高阶导数公式 莱布尼兹（ Leibniz）公式： n uv nk n k k Cn u v n 2 v nn 1

13、 n k 1 u n k k v n uv k 0 n n 1 u v nu v nn 1 u2. k. 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理： f b f a f b a 4 y1 y3 yn 1 柯西中值定理： f b F b f a f F a F 当 x 时,柯西中值定理就F x 是 定积分的近似运算： 拉格朗日中值定理； bba y0 ny1 yn 1 矩形法： f x ab b a 1 y0 n 2 yn y1 yn 1 梯形法： f x abba y0 yn 2 y2 y4 yn 2 抛物线法： f x 3n a第 8 页 共 15 页 第 8 页,共 15 页空间解析几何和向

14、量代数： 平面的方程： 1,点法式： A x x0 B y y0 Cz z0 0,其中 n A, B, C, M 0 x0 , y0 , z0 mt nt pt 2,一般方程： Ax By Cz D0 x 3,截距世方程： ay z 1b c 平面外任意一点到该平 面的距离： dAx0 By0 Cz0 2D2 A 2 B C空间直线的方程： x x0 y ny0 z pz0 t, 其中 s m, n, p; 参数方程：x x0 y y0mz z0 二次曲面： 1,椭球面： x22 y 2 z 1a 2 22,抛物面： x2 p b 2 2y c2 p, q 同z（2 q 号） 3,双曲面： 单

15、叶双曲面： x 2 2ay 2 2 bz 2 2c 1双叶双曲面： x22 y 2 z （1马鞍面） a 2 b 2 c2 多元函数微分法及应用 第 9页 共 15页 第 9 页,共 15 页全微分： dz z dx x z dy y du udx udy udz x y z 全微分的近似运算： z dz f x x, y x f y x, y y 多元复合函数的求导法 ： uz v z f ut , vt dz z dt ut v t z f u x, y, vx, y z z uz v x ux v x 当 u du ux, y, v v x, y时,v dx x v dy y u dx

16、x u dy y dv 隐函数的求导公式： 隐函数 F x, y 0, dy Fx Fy , 2 d y x Fx y Fx dy dx 2 dx Fy Fy dx 隐函数 F x, y, z 0, z Fx Fz , z F y x y Fz 第 10页 共 15 页 第 10 页,共 15 页多元函数的极值及其求法： 设 f x x0 , 2 B f y x0 , y0 0,令： f xx x0 , y0 A, f xy x0 , y0 B, f yy x0 , y0 Cy0 0, x0 , y0 为极大值0 时, A A AC 0, x0 , y0 为微小值就： AC 2 B 无极 值

17、0AC 2 B 时, 不确定 0时 , 常数项级数： 等比数列：1 qq 2 qn 1 n 1 q 15页 1q等差数列：1 23nn 1n2 调和级数：1 111 是发散的 23n第 11 页 共 第 11 页,共 15 页级数审敛法： 1,正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别法）： 1 时,级数收敛 设： lim nnu n,就 1 时,级数发散 1 时,不确定 2,比值审敛法： 设： lim Un 1 ,就 n U n1 时,级数收敛 1 时,级数发散 3,定义法： 1 时,不确定 sn u1 u 2 un ; lim n sn 存在,就收敛；否就发 散； 交叉级数 u1 u2 u3

18、 u4 或 u1 u2 u3 ,un 0的审敛法 莱布尼兹定理： un un 1假如交叉级数中意 lim un n 0,那么级数收敛且其和 s u1 ,其余项 rn的确定值 rn un 1； 确定收敛与条件收敛： 1u1 u2 un ,其中 un 为任意实数； 2 u1 u2 u3 un 假如 2收敛,就 1确定收敛,且称为确定 收敛级数； 假如 2发散,而 1收敛,就称 1为条件收敛级数； 调和级数： 1 发散,而 n 1 收敛； 页 共 15页 nn级数： 1收敛； p 级n2 时发散 1n p p1时收敛 数： 第 12第 12 页,共 15 页幂级数： 2 1 x x 3 x n x

19、x 1 时,收敛1101 x 于 x 1 时,发对于级数 3 a0 a1x 2 a 2 x 散 n an x ,假如它不是仅在原点 收敛,也不是在全 x R 时收敛 数轴上都收敛,就必存 在 R,使 x R 时发散 ,其中 R 称为收敛半x 径； R 时不定 求收敛半径的方法：设 lim nan 1,其中 a n, an 1是3的系数,0 时, R 0 时, R an 就 时, R 函数开放成幂级数： n 函数开放成泰勒级数： f x f x0 x x0 f x0 x x0 2 f x0 x x0 n2. n. n 1 余项： Rn f n 1. x x0 n1, f x可以开放成泰勒级数的

20、充要条件是：lim Rn n 0n f 0 2 f 0 nx0 0 时即为麦克劳林公 f x f 0 f 0 x x x 式： 2. n. 一些函数开放成幂级数： m 1 x 1 mx mm 1 x 2 1mm 1 m n 1 xn 1 x 1 2. n. sin x x 3 x 5 x 1 n2 n 1 x x 3. 5. 2n 1. 欧拉公式： ix ecosx i sin x 或 cosx ix eeix 2sin x ix eix e2 第 13 页 共 15 页 第 13 页,共 15 页微分方程的相关概念： 一阶微分方程： y f x, y 或 Px, ydx Qx, ydy 0可

21、分别变量的微分方程 ：一阶微分方程可以化 为 g y g ydy f xdx 得： G y F x C 称为隐式通 dy f xdx 的形式,解 法： 齐次方程：一阶微分方 程可以写成 dy dx 解； f x, y x, y,即写成 y 的函数,解设y,就 dy x dx ux du,u dx du du u法： y 代替 u, x u, dx x 分别变量,积分后将 x dx u u 即得齐次方程通解； 一阶线性微分方程： 1,一阶线性微分方程： dy dx P x y Qx P xdx dx Ce P x dx 当 0时 ,为齐次方Q x 程, 0 时,为非齐次方当 程, 2,贝努力方程： Q x dy P x y dx y Ce P x dx y Q xe n Qx y ,n0,1 全微分方程： 假如 P x, Q x, ydy 0 中左端是某函数的全 分方程,即： ydx du x, y P x, y dx Q x, ydy 微 0,其中：