2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国卷)理

1、课标全国(理)1.(2012课标全国,理1)已知集合A=1,2,3,4,5,B=(x,y)|xA,yA,x-yA,则B中所含元素的个数为().A.3B.6C.8D.10D由xA,yA得x-yA,得(x,y)可取如下:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),故集合B中所含元素的个数为10.2.(2012课标全国,理2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有().A.12种B.10种C.9种D.8种A将4名学生均分为2个小组共有=3种

2、分法,将2个小组的同学分给两名教师带有=2种分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有=2种分法,故不同的安排方案共有322=12种.3.(2012课标全国,理3)下面是关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1,其中的真命题为().A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4Cz=-1-i,故|z|=,p1错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确.4.(2012课标全国,理4)设F1,F2是椭圆E:+=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,F2P

3、F1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为().A.B.C.D.C设直线x=与x轴交于点M,则PF2M=60,在RtPF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos 60=,解得=,故离心率e=.5.(2012课标全国,理5)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=().A.7B.5C.-5D.-7Dan为等比数列,a5a6=a4a7=-8,联立可解得或当时,q3=-,故a1+a10=+a7q3=-7;当时,q3=-2,同理,有a1+a10=-7.6.(2012课标全国,理6)如果执行下边的程序框图,输入正整数N(N2)和实数a1,a2,aN,输出A,B

4、,则().A.A+B为a1,a2,aN的和B.为a1,a2,aN的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,aN中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,aN中最小的数和最大的数C随着k的取值不同,x可以取遍实数a1,a2,aN,依次与A,B比较,A始终取较大的那个数,B始终取较小的那个数,直到比较完为止,故最终输出的A,B分别是这N个数中的最大数与最小数.7.(2012课标全国,理7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为().A.6B.9C.12D.18B由三视图可推知,几何体的直观图如下图所示,可知AB=6,CD=3,PC=3,CD垂直平分A

5、B,且PC平面ACB,故所求几何体的体积为3=9.8.(2012课标全国,理8)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为().A.B.2C.4D.8C设双曲线的方程为-=1,抛物线的准线为x=-4,且|AB|=4,故可得A(-4,2),B(-4,-2),将点A坐标代入双曲线方程得a2=4,故a=2,故实轴长为4.9.(2012课标全国,理9)已知0,函数f(x)=sin在单调递减,则的取值范围是().A.B.C.D.(0,2A结合y=sin x的图像可知y=sin x在单调递减,而y=sin=sin,可知y=sin x的图

6、像向左平移个单位之后可得y=sin的图像,故y=sin在单调递减,故应有,解得.10.(2012课标全国,理10)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图像大致为().B当x=1时,y=-1,故-1x0时,f(x)0,故y=f(x)在(-1,0)上单调递减,故选B.11.(2012课标全国,理11)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为().A.B.C.D.ASC是球O的直径,CAS=CBS=90.BA=BC=AC=1,SC=2,AS=BS=.取AB的中点D,显然ABCD,ABSD,AB平面SCD.在CDS中,C

7、D=,DS=,SC=2,利用余弦定理可得cosCDS=-,故sinCDS=,SCDS=,V=VB-CDS+VA-CDS=SCDSBD+SCDSAD=SCDSBA=1=.12.(2012课标全国,理12)设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为().A.1-ln 2B.(1-ln 2)C.1+ln 2D.(1+ln 2)B由题意知函数y=ex与y=ln(2x)互为反函数,其图像关于直线y=x对称,两曲线上点之间的最小距离就是y=x与y=ex最小距离的2倍,设y=ex上点(x0,y0)处的切线与y=x平行,有=1,x0=ln 2,y0=1,y=x与y=ex的最小距

8、离是(1-ln 2),|PQ|的最小值为(1-ln 2)2=(1-ln 2).13.(2012课标全国,理13)已知向量a,b夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=.3a,b的夹角为45,|a|=1,ab=|a|b|cos 45=|b|,|2a-b|2=4-4|b|+|b|2=10,|b|=3.14.(2012课标全国,理14)设x,y满足约束条件则z=x-2y的取值范围为.-3,3作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线l0:x-2y=0,在可行域内平移知过点A时,z=x-2y取得最大值,过点B时,z=x-2y取最小值.由得B点坐标为(1,2),由得A点坐标为(3,0).zm

9、ax=3-20=3,zmin=1-22=-3.z-3,3.15.(2012课标全国,理15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为.设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)=,该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A+B+AB)C.该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P=+=.16.(2012课标全国,理16)

10、数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为.1 830an+1+(-1)nan=2n-1,a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1,a1+a2+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+234=1 830.17.(2012课标全国,理17)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C

11、的对边,acos C+asin C-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,ABC的面积为,求b,c.解:(1)由acos C+asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0.因为B=-A-C,所以sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.由于sin C0,所以sin=.又0A,故A=.(2)ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.18.(2012课标全国,理18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售

12、.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.解:(1)当日需求量n16时,利润y=80.当日需求量n16时,利润y=10n-80.所以

13、y关于n的函数解析式为y=(nN).(2)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为EX=600.1+700.2+800.7=76.X的方差为DX=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44.答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为EY=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4

14、.Y的方差为DY=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-76.4)20.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,DXDY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然EXEY,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为EY=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,EXEY,即购进17枝玫瑰花时的平均

15、利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.19.(2012课标全国,理19)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1BD.(1)证明:DC1BC;(2)求二面角A1-BD-C1的大小.解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点,故DC=DC1.又AC=AA1,可得D+DC2=C,所以DC1DC.而DC1BD,DCBD=D,所以DC1平面BCD.BC平面BCD,故DC1BC.(2)由(1)知BCDC1,且BCCC1,则BC平面ACC1,所以CA,CB,CC1两两相互垂直.以C为坐标原点,的方向为x轴的正方向,

16、|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).则=(0,0,-1),=(1,-1,1),=(-1,0,1).设n=(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,则即可取n=(1,1,0).同理,设m是平面C1BD的法向量,则可取m=(1,2,1).从而cos=.故二面角A1-BD-C1的大小为30.20.(2012课标全国,理20)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若BFD=90,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;

17、(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解:(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为ABD的面积为4,所以|BD|d=4,即2pp=4,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB=90.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以ABD=30,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-p

18、x-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故=p2+8pb=0.解得b=-.因为m的截距b1=,=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.21.(2012课标全国,理21)已知函数f(x)满足f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+x2.(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.解:(1)由已知得f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x.所以f(1)=f(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f(1)e-1,所以f(1)=e.从而f(x)=ex-x+x2.由于f(x)

19、=ex-1+x,故当x(-,0)时,f(x)0.从而,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)由已知条件得ex-(a+1)xb.()若a+10,则对任意常数b,当x0,且x时,可得ex-(a+1)x0,设g(x)=ex-(a+1)x,则g(x)=ex-(a+1).当x(-,ln(a+1)时,g(x)0.从而g(x)在(-,ln(a+1)单调递减,在(ln(a+1),+)单调递增.故g(x)有最小值g(ln(a+1)=a+1-(a+1)ln(a+1).所以f(x)x2+ax+b等价于ba+1-(a+1)ln(a+1).因此(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设

20、h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h(a)=(a+1)(1-2ln(a+1).所以h(a)在(-1,-1)单调递增,在(-1,+)单调递减,故h(a)在a=-1处取得最大值.从而h(a),即(a+1)b.当a=-1,b=时,式成立,故f(x)x2+ax+b.综合得,(a+1)b的最大值为.22.(2012课标全国,理22)选修41:几何证明选讲如图,D,E分别为ABC边AB,AC的中点,直线DE交ABC的外接圆于F,G两点.若CFAB,证明:(1)CD=BC;(2)BCDGBD.证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DEBC.又已知CFAB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CFAD,连结AF,所以ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CFAB,所以BC=AF,故CD=BC.(2)因为FGBC,故GB=CF.由(1)可知BD=CF