2011年全国数学建模竞赛试卷

1、PAGE PAGE 11城市表层土壤重金属污染分析摘要在经济科技水平迅猛发展的21世纪，环境污染问题已经成为人们所关注的重点问题。本文是针对某城市表层土壤重金属污染程度的分析。首先选取受重金属污染程度严重的城市，对其进行地质环境调查。我们将该城市划分为不同的区域，并对其进行土壤成分采样，将得到的一系列数据整理求和并取平均，根据平均值和采样点画出各地区重金属含量分布图，通过图形分析出重金属污染的空间分布以及污染程度。其次通过数据和图形的结合可说明重金属污染的主要原因，预先估计出污染源的大致位置在工业区与交通区密集处，再经过查找资料，了解所研究的各种重金属的传播特征，基于以上条件建立典型经典微分方

2、程模型，通过建立八种方程取其交点或者密集处，进一步确定污染源的位置，同时验证我们的猜测是正确的。最后我们对所建立的模型的优缺点进行了评价，以及如何用更好的模型来检测重金属污染程度所需收集的信息。关键词 重金属污染 微分方程模型 采样数据 污染源确定 一 问题重述1.1 问题背景随着国与国之间的竞争愈来愈激烈，经济的快速发展能让一个国家快速的强大起来，但同时也带来了环境污染等负面效应。人们通过开采大自然的有用资源来发展自己的经济，但是有些资源不是取之不尽的，人们不懂得有效的利用资源，造成了严重的浪费，发展工业的同时也给严重的污染了环境，其中重金属污染已成为环境污染问题的一个鲜明的代表。为了加大整

3、治环境污染问题的力度，我国实施了节能减排政策，十二五”期间我国将完善节能减排经济政策，强化金融支持力度。推行环境污染责任保险，重点区域涉重金属企业应当购买环境污染责任保险。1.2需要解决的问题针对上述问题，选定典型受重金属污染严重的城市进行取样，得出数据，画出空间分布图形，建立模型分析受污染的程度，确定污染源的位置。 二 问题分析 首先根据问题提出如下假设： 1、每个取样区域互不影响，各区域有固定的容积，区域之间可进行物质交换，交换满足能量定律。 2、每种重金属在土壤中总是稳定存在的，所研究的地区中不存在重金属矿产 3、污染的流向是单一的，只从污染源流向其他各处 。 一个城市的重金属污染与这个

4、城市的工业发展、交通水平居和民生活息息相关。自从各种重要的重金属元素被发现以来，它们就被充分的利用到生活以及工业发展当中，重金属工业排出的废气废水废渣中含有大量的重金属元素，直接排放到大地之中就会污染土壤。现在在某城市进行土壤重金属污染分析。首先，把该城市划分为五个区域，分别是1类区：生活区，2类区：工业区，3类区：山区，4类区：交通区，5类区：公园绿地去区，经采样得到的各个采样点的重金属元素含量数据，为了方便对各区总体的分析我们列出了如下表格： 1类区：生活区元素平均值标准偏差范围As (g/g)6.272.132.3411.45Cd (ng/g)289.96181.5886.801044.

5、50Cr (g/g)69.02106.6618.46744.46Cu (g/g)49.4046.629.73248.85Hg (ng/g)93.04101.7312550Ni (g/g)18.345.608.8932.8Pb (g/g)69.1171.5024.43472.48Zn (g/g)237.01438.5743.372893.47 2类区：工业区元素平均值标准偏差范围As (g/g)7.254.181.6121.87Cd (ng/g)393.1234.25114.51092.9Cr (g/g)53.4143.3915.40285.58Cu (g/g)127.54409.1412.70

6、2528.48Hg (ng/g)642.362212.6911.7913500.00Ni (g/g)19.818.254.2741.70Pb (g/g)93.0484.1731.24434.80Zn (g/g)277.93345.9256.331626.02 3类区：山区元素平均值标准偏差范围As (g/g)4.081.791.7710.99Cd (ng/g)151.4277.5540.00407.60Cr (g/g)38.9224.2316.20173.34Cu (g/g)17.3110.572.2969.06Hg (ng/g)40.5027.449.64206.79Ni (g/g)15.4

7、110.285.5174.03Pb (g/g)36.4117.5019.68113.84Zn (g/g)72.9130.6332.86229.80 4、交通区元素平均值标准偏差范围As (g/g)5.963.231.6130.13Cd (ng/g)361.97242.3050.101619.80Cr (g/g)58.2181.5815.32920.84Cu (g/g)62.55120.1612.341364.85Hg (ng/g)449.822179.998.5716000.00Ni (g/g)17.6511.786.19142.50Pb (g/g)63.8032.3822.01181.48Z

8、n (g/g)244.28384.4240.923760.82 5、公园绿化区元素平均值标准偏差范围As (g/g)6.261.992.7711.68Cd (ng/g)280.54232.4597.201024.90Cr (g/g)43.6414.6316.3196.28Cu (g/g)30.1922.369.04143.31Hg (ng/g)114.99221.0510.001339.29Ni (g/g)15.294.907.6029.10Pb (g/g)60.7145.1826.89227.40Zn (g/g)154.24227.6037.141389.39 6、全区总值元素平均值标准偏差

9、范围As (g/g)5.683.021.6130.13Cd (ng/g)302.40224.6340.001619.80Cr (g/g)53.5169.8915.32920.84Cu (g/g)55.02162.662.292528.48Hg (ng/g)299.711626.988.5716000.00Ni (g/g)17.265.554.27142.50Pb (g/g)61.7449.9819.68472.48Zn (g/g)201.20338.7032.863760.82通过采样所得的数据我们画出了如下的各种金属的空间分布图： 根据上表我们明显看出在工业区和交通区的汞、镉、锌含量很多，这

10、说明工业排放的废气废渣废水和汽车的尾气中含有大量的汞、镉、锌导致重金属污染；而生活区和公园绿地区中镉、锌的含量也很多是因为电池中含有这两种元素可见生活中的大量废旧电池没有被回收；山区中各种元素含量明显不多，说明山区污染并不严重，进而进行如下猜测：该城市的主要污染源主要在工业区和交通区密集处 三 名词解释与符号系统1.1名词解释：1.动态平衡：动态平衡反映了事物内部总量的变化规律，即指总量内部各组成要素之间具有相对平衡关系，就是说对于具有总量的事物我们就可称其为总量的动态平衡。“动态平衡”反映了物质内部微观组成的分散性。它们即可以同时反映同一事物外、内部的两个方面，也可以分别反映不同事物的各个层

11、面。首先，动态平衡反映的是事物内部总量的变化规律，而个体则应遵从运动平衡规则。事物的动态平衡是相对的，而不是绝对的；是运动的，而不是静止的；是变化的，而不是永恒不变的。事物的动态平衡是事物内部自发调节的，是由事物内部的全部个体综合运动所产生的结果。2.标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) -统计学名词。一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量3.土壤环境质量指数又称土壤污染指数，是评价土壤受污染物污染程度的一种数量尺度。它具有相对、可比的

12、特点。污染指数选择的评价参数包括重金属、有机毒物、酸度、无机非金属毒物等，评价标准可选用区域土壤背景值。对污染指数的分级时，可采取先定出“开始污染”和“严重污染”的起始值得方法，再在这两者之间内插若干级别，“开始污染”的起始值可以采用土壤背景值、土壤自然含量，“严重污染”的起始值可根据不同区域的实际情况，采用土壤对照点含量或土壤和作物中污染物积累的相关数量等数据。1.2符号系统：k：表示元素种类k=1,2,3.4,5,6,7,8i,j：区域类别，其中i、j=1，2，3，4，5。其中1代表生活区，2代表工业区，3代表山区，4交通区，5代表公园绿地0：外界因素影响：t时刻内区域面积k元素的总量。V

13、：区域土地的体积D：该区域初始的元素总量：区域土地中元素的浓度：从开始时刻到t时刻由i区域到j区域的物质质量。：速率系数（j，i=1,2,3,4,5，）：j=0时，i区域流入外部环境的速率系数（i=1,2,3,4,5）：环境对j区域的输入速率（j=1,2,3,4,5） 四 模型的建立与求解 系统处于一种动态平衡中，即假设成立着关系式 元素的输出速率可以认为与该区域元素当前的浓度成正比，即=以下分析先假设与该区域当前浓度成简单的线性关系，即=但元素的输入规律与区域的外界干扰（即输入方式有关）通常的外界干扰可假设为两种：自然的流入流出和快速输入（由于环境污染，人为造成的）情况1：在这种情况下，假设

14、元素以恒定速率进入区域内，即 （）这是一个一阶线性常系数线性方程，解为 或取时间，则 ，称为稳态元素浓度。情况2：快速输入（由于环境污染，人为造成的）总量D的药物在瞬间被输入区域中，该区域体积为V，我们可以近似的将系统看成初始总量为D，浓度为，以后认为该区域只输出不输入，及系统可以近似地满足微分方程 其解为，而区域元素的浓度则为，被称为区域元素浓度。讨论各区域互相影响的情况：如图： ：从开始时刻到t时刻由i区域到j区域的物质质量。假设这一过程与i区域的质量有关，而与其他区域质量 （）无关。在时间间隔内，从i到j区域的平均流量（单位时间流入质量）与成正比，即 根据导数的定义，可得 其中，或为常数

15、，或为t的函数，视具体情况额而定，称为i区的速率系数。上述讨论了从i区域到外部环境的输出过程，只要令，并令为i区域流入外部环境的速率系数即可。环境（所求区域之外的部分）对j区域的输入质量一般只与环境有关，进一步假设在时间间隔内，单位时间内由外部环境流入到j区域的平均流量也为常数，即令 用导数表示，有 同样，或为常数，或为t的函数，是具体情况而定。称为外部环境对j区域的输入速率。按上述分析，决定系统动态分布规律的将是速率系数（j，i=1,2,3,4,5，）、输出系数（i=1,2,3,4,5）、输入速率（j=1,2,3,4,5）。 现在给出一个一般的5个区域系统的数学模型，假设每一个区域均有可能和

16、外部环境以及其他任意区间存在物质交换。 考虑到质量的守恒，显然，在时段中，第i区域各元素质量增加 应等于在这一段时间内其余各区域和外部环境流入i区域的物质之和再减去第i区域流入外部环境和其余各区域的质量之和，即 两边除以，并令，得到等式 这个常微分方程组加上初值条件就形成了该区域系统的数学模型。根据采样数据和微分方程模型画出每种重金属元素总体含量的折线图如下根据上图可看出重金属元素含量多的地方就是污染源的区域或者是污染源附近 由此得出如下32个点坐标分别为【6（1647,2728,6）】三个 【8（2383,3692，7）】 五个【9（2708,2295,22）】二个【16（4777，4897

17、,8）】一个 【20（4592,4603,6）】二个 【22（3299,6018,4）】五个 【29（4742,7293,9）】一个 【30（4948,7293,6）】一个 【36（9328,4311,24）】一个 【49（10685,5528,34）】一个 【54（10700，8184,50）】一个 【61（13797,9621,18）】一个 【84（18134,10046,41）】一个 【95（21439,11383,45）】一个 【128（24153,12450,71）】一个 【135（22193,12185,79）】一个 【178（12696,3024,27）】二个 【182（13694,2357,33）】一个 【257（15248,9106,16）】一个，除去相同的点，目前可以确定的污染源位置有19个。 五 模型的优缺点及推广方向优点：1.离散点连续处理，强化了规律性， 2.充分的利用了采样点以及采样数据与图形的结合缺点：1.误差较大，不能反应特殊情况，更适用于集中区域的分析 2.没有考虑有重金属矿产的情况。 3.要求的地理环境条件苛刻 4.微分方程模型需要假设的条件过多，没有对一些影响因素（如外界条件的干扰，区域之间的动态变化）