多元函数积分概念和性质

1、关于多元函数积分概念与性质第1页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三1.曲顶柱体的体积曲顶柱体：以XOY平面上的闭区域D为底，以D 的边界曲线为准线，母线平行于Z 轴的柱面为侧面，并以z=f(x,y) 为顶的空间立体.一. 两个实例：如何求此曲顶柱体的体积V？微元法思想.分割： 把 D 任意分成 n 个小区域 (同时用 表示第 i 个小区域的面积），分别以 的边界为准线作母线平行于 z 轴的柱面，则原曲顶柱体分成了 n 个小的曲顶柱体。第2页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三近似 ： 任取 ， 则以 为底的小曲顶柱体体积:yxzDo求和：取极限：区域中

2、任意两点距离的最大值称为该区域的直径，记则：第3页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三 设有一物体对应于空间曲面 ,(x,y,z) 为密度函数(连续）， 现要求该物体的质量 m。2. 质量：分割：把任意分成n 小块 ， 表示 第 i 小块曲面的面积。近似：任取 ，则第 i小块曲面的质量取极限：求和：第4页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三二. 数量函数积分的概念定义1第5页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三二重积分；三重积分：其中称为积分域，f 称为被积函数，f(M)d 称为被积式或积分微元。几种具体的类型：第6页，共48页，20

3、22年，5月20日，19点36分，星期三第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）：第一型曲面积分（对面积的曲面积分）：L称为积分路径。第7页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三 数量函数积分的几何意义： 当 时， = 以D为底,以 为顶的曲顶柱体的体积；第8页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三 数量函数积分的物理应用之一：第9页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三三. 积分存在的条件和性质. 必要条件: f 在上可积，则f 在上有界。第10页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三 1.线性性质：2.可加性3.积分不等式

4、若 则第11页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三5.中值定理特别地，有若 则第12页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三的边界为准线，母线平行于 z 轴的柱面为侧面，D为底面，曲面 由二重积分的几何意义知：以 xoy 平面上的区域为顶面的曲顶柱体的体积为第2节 二重积分的计算一. 直角坐标系中二重积分的计算：xbxaoyz第13页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三 任取 ，过 x 轴作平行于yoz坐标面的平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形，设其面积为 ，则先y后x的二次积分(累次积分) 而该体积也可用定积分的方法求得: bxa

5、oxyz第14页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三X -型区域：任一平行 y 轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。 上面假定 ，但实际上上公式对一般的 也成立。对各种不同类型的积分区域D，二重积分化为二次积分的情况总结如下： 第15页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三DaboyxoyxDab第16页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三DdcoyxDcdoyxY -型区域：任一平行 x 轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。第17页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三oy第18页，共48页，2022年，5月20

6、日，19点36分，星期三例 1 计算解oxy11第19页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三解 法一 先对y后对x积分oyx例 2第20页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三法二 先对x后对y积分oyx第21页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三解 由于 的原函数不能用初等函数表示，故不能先对y积分例3 计算oyx1D第22页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三注意：在例2中，法1比法2简便，在例3中，由于被积函数中含有 ，只能先对x积分. 因此，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，而要计算

7、二重积分，关键的是要化为二次积分。例4 作出积分域，并改变积分次序：解 原积分=(4,2)o第23页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三解 原积分=o(2,1)o解 原积分=第24页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三解 原积分o第25页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三例5 求两个底面半径相同的正交圆柱体所围成的立体的体积。解第26页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三二. 极坐标系下二重积分的计算则得极坐标系下的二重积分计算公式: 作极坐标变换第27页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三o

8、xD第28页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三若区域D可用极坐标的不等式oxDoxD第29页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三若区域D可用极坐标的不等式oxD第30页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三若区域D可用极坐标的不等式oxD第31页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三若区域D可用极坐标的不等式oxDab第32页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三解 令 则在极坐标系中，于是例6 计算第33页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三显然由于从而例 7 计算反常积分解

9、设例6例6第34页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三而从而因此第35页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三例8 将下列二次积分化为极坐标形式下的 二次积分：解第36页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三 积分区域：D:在极坐标下，D：于是解第37页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三在极坐标下，将D分为二部分表示：于是解第38页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三在极坐标下，D分为二部分表示：于是解第39页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三例9 求Bernoulli双纽线

10、围成的面积A.解 双纽线在极坐标下的方程为：第40页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三由 的周期性得图形的对称性，而且当 从 增加到 时， 由零增加到 ，再减少到零，于是可得如图所示的双纽线图形。 第41页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三（2）变换T： 把 uov平面上的区域 一对一的变为 D， 定理1 设（1）（3）(u,v),(u,v)在 上具有一阶连续偏导数， 且：三.二重积分的换元法二重积分的换元公式第42页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三例10 计算解于是第43页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三例 11 求由曲线 所围区域 D 的面积S。解 令D第44页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三于是第45页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三例12 求椭圆 围成区域的面积A。解 令广义极坐标，第46页，共48页，2022年，5月20日，19点36分，星期三作 业P93-97 习题6.2 1(1)(b) 2(3)