多元线性回归异方差问题

1、关于多元线性回归异方差问题1第1页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三2一、异方差及其影响1、异方差的定义：对于多元线性回归模型，如果随机扰动项的方差并非是不变的常数，则称为存在异方差（heteroscedasticity)。异方差可以表示为 。 或第2页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三3两变量线性回归模型的异方差 第3页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三41、异方差的定义 异方差主要出现在截面数据分析中，例如大公司的利润变化幅度要比小公司的利润变化幅度大，即大公司利润的方差比小公司利润的方差大。这取决于公司的规模、产业特点和研

2、究开发支出多少等因素。又如高收入家庭通常比低收入家庭对某些商品的支出有更大的方差。例6-1：人均家庭支出（cum)和可支配收入（in)的关系模型 给出中国1998年各地区城镇居民平均每人全年家庭交通及通讯支出（cum)和可支配收入（in)的数据，估计两者之间的关系模型第4页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三52、异方差的影响1、OLS估计量不再是BLUE，其是无偏和一致的，但并非有效的，即不再具有方差最小性。2、检验假设的统计量不再成立，建立在t分布和F分布之上的置信区间和假设检验不可靠。第5页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三6二、异方差的发现和判

3、断（一）残差的图形检验（二）帕克检验（Park test）（三）戈里瑟检验（Glejser test）（四）怀特检验（White test）第6页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三7（一）残差的图形检验 这是一种最直观的方法，它以某一变量（通常取因变量）作为横坐标，以随机项的估计量e或e2为纵坐标，根据作出的散点图直观地判断是否存在相关性。如果存在相关性，则存在异方差。通常的方法是先产生残差序列，再把它和因变量一起绘制散点图。 例6-2：利用该方法绘制上一章关于美国机动车消费量的模型中QMG与残差的散点图。第7页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三8（

4、二）Breusch-Pagan检验假设回归模型如下：检验假定线性函数第8页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三9步骤： 1、作普通最小二乘回归（1），不考虑异方差问题。 2、从原始回归方程中得残差ui，并求其平方。 3、利用原始模型中的解释变量作形如上式(2)的回归，记下这个回归的R平方 。 4、检验零假设是 对方程（2）进行F检验，或计算LM统计量进行检验。第9页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三10（三）戈里瑟检验1、通常拟合 和 之间的回归模型： 根据图形中的分布选择2、再检验零假设 0（不存在异方差）。如果零假设被拒绝，则表明可能存在异方差。

5、第10页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三11（四）怀特检验假设有如下模型： （3）基本步骤：1、首先用OLS方法估计回归方程（3）式。2、然后作辅助回归： （4）第11页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三123、求辅助回归方程的R2值。在零假设：不存在异方差下，White证明了，从方程（4）中获得R2值与样本容量（n）的积服从卡方分布 自由度等于（4）式中的解释变量的个数。4、根据样本计算统计量n*R2值，并与所选取的显著性水平进行比较，看是否接受零假设（零假设为残差不存在异方差性）。5、Eviews计算：View-Residual Tests-W

6、hite Heteroskedasticity .应用：对例6-1进行White异方差检验（四）怀特检验第12页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三13等价的White检验（1）用OLS估计模型（3），得到残差和拟合值，计算它们的平方；（2）做回归 记下这个回归的R平方（3）构造F或LM统计量并计算p值（前者为 F2，n3分布，后者用 分布。第13页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三14（五） 实例 使用Wooldridge中的数据HPRICE.RAW中的数据来检验一个简单的住房价格方程中的异方差性。水平变量模型为（分别采用水平变量和其对数项分别进行回

7、归分析）发现：采用水平模型存在异方差性，但采用对数模型不存在异方差性。第14页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三15三、异方差的解决方法 加权最小二乘法 模型的重新设定第15页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三16（一）加权最小二乘法基本思路：赋予残差的每个观测值不同权数，从而使模型的随机误差项具有同方差性。第16页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三17（一）加权最小二乘法方差已知的情形假设已知随机误差项的方差为var(ui)= i2 , 设权数wi与异方差的变异趋势相反, wi =1/i, 将原模型两端同乘以wi。wi使异方差

8、经受了“压缩”和“扩张”变为同方差。第17页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三18（一）加权最小二乘法方差已知的情形对于一元线性回归模型y=b0+b1x+u，加权最小化残差平方和为获得的估计量就是加权最小二乘估计量。对于多元线性回归模型y=Xu，令权数序列wi =1/i ，W为NN对角矩阵，对角线上为wi ，其他元素为0。则变换后的模型为第18页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三19（一）加权最小二乘法方差已知的情形（1）误差方差与xi成比例Var(ui)=2 * xi其中2为常数，这时可以令权序列（2）误差方差与xi2成比例Var(ui)=2 *

9、xi2其中2为常数，这时可以令权序列第19页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三20（一）加权最小二乘法方差已知的情形实例：住房支出模型 给出由四组家庭住房支出和年收入组成的截面数据，建立住房支出模型，并检验和修正异方差。（3）其他的与自变量xi的加权形式f(xi)第20页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三21（一）加权最小二乘法方差已知的情形第21页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三22（一）加权最小二乘法 （4）用随机误差项的近似估计量求权重序列首先利用OLS估计原模型得到残差序列 ，然后利用残差序列的绝对值的倒数序列作为加权

10、序列，即令实例：采用该方法修正6-1模型的异方差性第22页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三23（一）加权最小二乘法 OLS是加权最小二乘法的特例显然，当满足同方差假定时， w1 = w2 = = wn = 1/ = 常数 即权数相等且等于常数，加权最小二乘法，就是OLS法。第23页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三24纠正异方差性的一个可行程序（1）将y对x1, x2,xk做回归并得到残差u;（2）将残差进行平方，然后再取自然对数而得到log(u2);（3）做log(u2)对x1, x2,xk的回归并得到拟合值g；（4）求拟合值的指数：h=exp(

11、g)（5）以1/h为权数用WLS来估计方程。在（3）中做log(u2)对 的回归本质上是完全一样的第24页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三25实例： 采用Wooldridge中的数据Smoke.Raw中的数据来估计一个对日香烟消费量的需求函数。基本回归模型如下： cigs=a0+a1log(income)+a2log(cigpric)+a3educ +a4age+a5age2+a6restaurn 其中cigs为每天吸烟的数量； income为年收入； cigpric为每包香烟的价格（以美分为单位）；educ为受教育年数；age为年龄；restaurn为一个二值变量（若

12、此人居住的州禁止在餐馆吸烟，则取值1，否则取值0）。第25页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三26（二）模型的重新设定在计量经济学实践中，计量经济学家偏爱使用对数变换解决问题，往往一开始就把数据化为对数形式，再用对数形式数据来构成模型，进行回归估计与分析。这主要是因为对数形式可以减少异方差和自相关的程度。第26页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三27案例居民储蓄模型估计1、问题的提出2、初步模型估计3、异方差检验4、异方差模型的估计加权LS法和模型变换法第27页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三281、问题的提出 储蓄是居民的金

13、融消费，也是满足相应收入水平的“基本生活”以后的扩展消费，从具体问题的经验分析，储蓄具有异方差特性。因此建立储蓄模型就不能使用最小二乘法。第28页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三292、初步模型估计首先，估计居民储蓄与可支配收入之间的回归模型第29页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三30残差与收入x的散点图第30页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三313、异方差检验 图示法检验：残差平方与自变量呈比较典型的喇叭型第31页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三32第32页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三33异方差：残差随收入增大而增大 第33页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三344、异方差模型的估计加权最小二乘法在分析收入对储蓄的影响的时候，权数变量可以选取hi=inci于是基本模型savi=a0+a1 inci+ei变为第34页，共39页，2022年，5月20日，19点37分，星期三35权数序列名Proce=Equation=Option=选定异方差、给出权数名