第一章控制系统的状态空间表达式

1、第一章 控制系统的状态空间表达式 本章主要内容1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的建立（一） 1.3 状态空间表达式的建立 （二）1.4 状态向量的线性变换 1.5 从状态空间表达式求传递函数阵1.6 离散时间系统的状态空间表达式本章简介(1/1)概述(1/12)概 述控制理论主要是研究动态系统的系统分析、优化和综合等问题。所谓动态系统(又称为动力学系统),抽象来说是指能储存输入信息(或能量)的系统。例如,含有电感和电容等储存电能量的元件的电网络系统,含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能量的刚体力学系统,存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等。概述(2/12)

2、这类系统与静态系统(静力学系统)的区别在于:静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入,而动态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的影响的叠加。如,电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值之比,而电容两端的电压则是通过电容的当前及过去的电流的积分值与电容值之比。概述(3/12)在进行动态系统的分析和综合时,首先应建立该系统的数学模型,它是我们进行系统分析、预报、优化及控制系统设计的基础。在系统和控制科学领域内,数学模型是指能描述动态系统的动态特性的数学表达式,它包含数值型的和逻辑型的,线性的和非线性的,时变的和定常的,连续时间型的和离散时间型的,集中参数的和分布参数的等等。这种描述系统动态特性

3、的数学表达式亦称为系统的动态方程。概述(4/12)建立数学模型的主要方法有:机理分析建模。按照系统的实际结构,工作原理,并通过某些决定系统动态行为的物理定律、化学反应定律、社会和经济发展规律,以及各种物料和能量的平衡关系等来建立系统模型。实验建模(系统辨识)。通过对系统的实验或实际运行过程中取得能反映系统的动态行为的信息与数据,用数学归纳处理的方法来建立系统模型。概述(5/12)值得指出的是,不同建模目的,采用不同数学工具和描述方式,以及对模型精度的不同要求,都会导致不同的数学模型。因此,一个实际的系统也可以用不同的数学模型去描述。例如,严格说来,大多数实际系统的动力学模型都具有非线性特性,而

4、且系统是以分布参数的形式存在。若在建立数学模型中考虑这些复杂因素,必然将使所建立的模型中含有复杂的非线性微分方程或偏微分方程,这样就给模型在系统分析、控制系统的设计和实现上带来相当大的困难性。在给定的容许误差范围内,如果将这些复杂因素用线性特性、集中参数的形式去近似描述系统,将大大简化系统模型的复杂程度,从而使所建立的模型能有效地运用到系统分析和控制系统设计等方面。概述(6/12)当然过多考虑系统的各种复杂因素的简化和近似,也必然影响数学模型的精度,以及模型在分析、综合和控制中的应用效果。因此,一个合理的数学模型应是对其准确性和简化程度作折中考虑,它是在忽略次要因素,在现实条件和可能下,在一定

5、精度范围内的,尽可能抓住主要因素,并最终落脚于实际应用的目标、条件(工具)与环境的结果。模型并不是越精确越好、越复杂越好。 概述(7/12)传递函数是经典控制理论中描述系统动态特性的主要数学模型,它适用于SISO线性定常系统,能便利地处理这一类系统的瞬态响应分析或频率法的分析和设计。但是,对于MIMO系统、时变系统和非线性系统,这种数学模型就无能为力。传递函数仅能反映系统输入与输出之间传递的线性动态特性,不能反映系统内部的动态变化特性。因而是一种对系统的外部动态特性的描述,这就使得它在实际应用中受到很大的限制。概述(8/12)现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。在用状态空

6、间法分析系统时,系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化,从而能同时确定系统的全部内部运动状态,而且还可以方便地处理初始条件。因而,状态空间模型反映了系统动态行为的全部信息,是对系统行为的一种完全描述。概述(9/12)状态空间分析法不仅适用于SISO线性定常系统,也适用于非线性系统、时变系统、MIMO系统以及随机系统等。因而,状态空间分析法适用范围广,对各种不同的系统,其数学表达形式简单而且统一。更突出的优点是,它能够方便地利用数字计算机进行运算和求解,甚至直接用计算机进行实时控制,从而显示了它的极大优越性。概述(10/12)本章主要介绍机理建

7、模、各种数学模型间的变换和状态空间(即状态空间模型)变换。概述(11/12)本章需解决的问题与难点:基本概念: 状态、状态空间状态空间模型-状态空间模型及其意义如何建立状态空间模型由机理出发由微分方程出发由传递函数出发由系统结构图出发状态空间变换特征值、特征向量与特征空间状态空间变换本章重点与难点本章重点本章重点概述(12/12)传递函数阵组合系统的状态空间模型离散时间动态系统的状态空间描述状态和状态空间模型(1/1)1.1 状态和状态空间模型系统的状态空间模型是建立在状态和状态空间概念的基础上的,因此,对这些基本概念进行严格的定义和相应的讨论,必须准确掌握和深入理解。状态状态变量状态空间状态

8、空间模型状态空间的基本概念(1/1)1.1.1 状态空间的基本概念下面将给出动态系统的状态和状态空间的概念：系统的状态和状态变量系统的状态空间系统的概念（1/2）系统是由若干个部分相互联系来构成的有机整体。系统的内部又分为两部分：系统内部的结构：系统内部信息的相互联系系统内部信息：系统内部的行为和状况如何选取系统的内部信息系统的概念（2/2）系统内部信息选择的不同，那么系统内部描述就会出现差异，直接影响到整个数学模型系统内部信息选取原则：由控制任务来决定：针对不同的系统有不同的控制任务信息选择要全面：信息要覆盖系统的整个内部信息信息量要恰到好处：“少一个不全面，多一个多余”，在数学上就是线性无

9、关系统的状态和状态变量(1/5)1. 系统的状态和状态变量动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的字面意思就是指系统过去、现在将来的运动状况。正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空间分析方法十分重要。“状态”的定义如下。定义1-1 动态系统的状态,是指能够完全描述系统时间域动态行为的一个最小变量组。该变量组的每个变量称为状态变量。该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。系统的状态和状态变量(2/5)“状态”定义的三要素完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的值和初始时刻后(tt0)的输入,则系统在任何瞬时(tt0)的行为,即系统的状态,就可完全且唯一的确定。动态时域行为

10、（状态不唯一）。最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立的（线性无关）。减少变量,描述不全（个数唯一）。增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必要。系统的状态和状态变量(3/5)若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n个状态变量为x1(t),x2(t), ,xn(t).若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态向量,并可表示如下:图1-1 多输入多输出系统示意图系统的状态和状态变量(4/5)状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或观测的

11、量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。状态空间系统的状态和状态变量(5/5)状态变量与输出变量的关系状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变量。而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非系统的全部动态特性。因此,状态变量比输出变量更能全面反映系统的内在变化规律。可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态变量的输出空间的投影,一个子集。输出空间空间映射xy系统的状态空间(1/1)2. 系统的状态空间若以n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴,就可构成一个n维欧氏空间,并称

12、为n维状态空间,记为Rn.状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动状态。随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状态空间构成一条轨迹,它称为状态轨迹。状态轨迹如图1-2所示。图1-2 二维空间的状态轨迹系统的状态空间表达式(1/11)1.1.2 系统的状态空间表达式状态空间表达式是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。状态空间表达式由描述系统的动态特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出方程所组成。系统的状态空间表达式(1/11)注意：状态方程是一阶微分方程或者差分方程状态方程是状

13、态空间分析法的基本数学方程系统状态方程具有非唯一性（由状态变量选取决定）状态方程不含有输入变量的导数（由于输入变量按阶跃或者分段连续变化时，其导数必存在脉冲函数，使得状态轨迹出现跃变）系统的状态空间表达式(2/11)例 某电网络系统的模型如图1-3所示。试建立以电压ui为系统输入,电容器两端的电压uC为输出的状态空间模型。解 1. 根据系统的内部机理列出各物理量所满足的关系式。对本例,针对RLC网络的回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的方程图1-3 RLC电网络系统系统的状态空间表达式(3/11)2. 选择状态变量。状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数。对本例x

14、1(t)=iL, x2(t)=uC3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式的一阶矩阵微分方程组-状态方程。每个状态变量对应一个一阶微分方程,导数项的系数为1,非导数项列写在方程的右边。系统的状态空间模型(4/11)对本例,经整理可得如下状态方程写成向量与矩阵形式为：4. 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程。对本例系统的状态空间表达式(5/11)其中5. 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式系统的状态空间表达式(6/11)由上述例子,可总结出状态空间表达式的形式为其中x为n维的状态向量;u为r维的输入向量;y为m维的输出向量;

15、A为nn维的系统矩阵;B为nr维的输入矩阵;C为mn维的输出矩阵;D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。描述线性系统的主要状态空间表达式,切记!系统的状态空间表达式(7/11)对前面引入的状态空间表达式的意义,有如下讨论:状态方程描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,它主要决定系统的动态特性。输入矩阵B又称为控制矩阵,它表示输入对状态变量变化的影响。输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许多系统不存在这种直联关系,即直联矩阵D=0。

16、系统的状态空间表达式(8/11)上述线性定常连续系统的状态空间表达式可推广至非线性系统时变系统1. 非线性时变系统其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分别为如下n维和m维关于状态向量x、输入向量u和时间t的非线性向量函数f(x,u,t)=f1(x,u,t) f2(x,u,t) fn(x,u,t)Tg(x,u,t)=g1(x,u,t) g2(x,u,t) gm(x,u,t)T系统的状态空间表达式(9/11)2. 非线性定常系统其中f(x,u)和g(x,u)分别为n维和m维状态x和输入u的非线性向量函数。这些非线性函数中不显含时间t,即系统的结构和参数不随时间变化而变化。3. 线性时变系统其中各

17、矩阵为时间t的函数,随时间变化而变化。系统的状态空间表达式(10/11)4. 线性定常系统为简便,常将线性时变系统的状态空间模型简记为(A(t),B(t),C(t),D(t).类似地,线性定常系统的状态空间模型亦可简记为(A,B,C,D).几种简记符的意义:系统的状态空间表达式(11/11)线性系统状态空间表达式的结构图(1/5)1.1.3 线性系统状态空间表达式的结构图线性系统的状态空间表达式可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。在采用模拟或数字计算机仿真时,它是一个强有力的工具。系统结构图主要有三种基本元件:积分器,加法器,比例器,其表示符如图1-4

18、所示。线性系统状态空间表达式的结构图(2/5)图1-4 系统结构图中的三种基本元件 线性系统状态空间表达式的结构图(3/5)例 线性时变系统的结构图如图1-5所示。图1-5 多输入多输出线性时变系统的结构图线性系统状态空间表达式的结构图(4/5)若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间表达式,画出各变量间的结构图。图1-6表示的是状态空间表达式如下所示的双输入-双输出线性定常系统的结构图。线性系统状态空间表达式的结构图(5/5)图1-6 双输入双输出线性定常系统结构图状态空间表达式的建立（一）1/11.2 状态空间表达式的建立（一）用状态

19、空间分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式。 建立表达式三个途径：由系统传递函数方块图来建立；从系统的物理或化学的机理出发进行推导；由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。a+-1.2.1 从系统方块图出发建立系统状态空间表达式从系统方块图出发建立系统状态空间表达式1/7系统方块图如图。输入为u，输出为y，试求其状态空间表达式。K4uy+-举例从系统方块图出发建立系统状态空间表达式2/7+-+-K4-uy从系统方块图出发建立系统状态空间表达式3/7从系统方块图出发建立系统状态空间表达式4/7uy-+从系统方块图出发建立系统状态空间表达式5/7uy-+uy-+-+-从系统

20、方块图出发建立系统状态空间表达式6/7从系统方块图出发建立系统状态空间表达式7/7从系统的机理出发建立状态空间表达式(1/3)1.2.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式建立被控对象的数学模型是进行系统分析和综合的第一步,是控制理论和工程的基础.上一节讨论了由电容和电感两类储能元件以及电阻所构成的电网络系统的状态空间模型的建立，其依据为各电气元件的物理机理及电网络分析方法.这种根据系统的物理机理建立对象的数学模型的方法称为机理建模.机理建模主要根据系统的物料和能量(电压、电流、力和热量等)在储存和传递中的动态平衡关系,以及各环节、元件的各物理量之间的关系,如电感的电压和电流满足的动态关系.在

21、实际工程系统中,许多过程和元件都具有储存和传递能量 (或信息)的能力。例如,机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能量并能通过某种形式传递;化工热力学系统中的物质中的热量的储存与传递;化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息. 对这些系统,根据其物理和化学变化的机理,由相应描述这些变化的物理和化学的定理、定律和规律等,可得系统各物理量之间所满足的动静态关系式.因此,在选择适宜的状态变量后,可建立系统的状态空间表达式.从系统的机理出发建立状态空间表达式(2/3)建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取，它是建立状态空间模型的前提状态变量的主要选取办法系统储能元件的输出系统输出及其输

22、出变量的各阶导数上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种标准形式的变量）下面通过常见的刚体力学系统、机电能量转换系统讨论如何建立状态空间模型.从系统的机理出发建立状态空间表达式(3/3)刚体动力学系统(1/4)1. 刚体动力学系统的状态空间描述图1-7表示由弹簧、质量体、阻尼器组成的刚体动力学系统的物理模型.试建立以外力u(t)为系统输入,质量体位移y(t)为输出的状态空间模型.刚体动力学系统(2/4)解 对许多实际系统,由于对系统的各种物理量的初始值或绝对值难于了解,一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之后的相对值。对本例的刚体力学系统,一般先假设在外力u(t)作用于小车之前,小车已

23、处于平衡态。 下面仅考虑外力加入后,对小车运动的影响.系统的受力情况如下图所示.2. 选择状态变量.对机械动力学系统,常常将位移、速度等选作状态变量.对本例,有刚体动力学系统(3/4)1. 应根据系统的内部机理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所满足的关系式.由牛顿第二定律有刚体动力学系统(4/4)4. 建立输出方程y=x15. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间表达式3. 将状态变量代入运动方程机电能量转换系统(1/5)2. 机电系统的状态空间描述 图1-8表示某电枢控制的直流电动机,其中Ra和La为电枢回路总电阻和总电感,J为转动惯量,负载为摩擦系数为f的阻尼摩擦.试列写以电枢电压u(

24、t)为输入,轴的角位移(t)为输出的状态空间模型.机电能量转换系统(2/5)解 1. 设电动机励磁电流不变,铁心工作在非饱和区.按照图1-8所描述的电动机系统,可以写出如下主回路电压方程和轴转动动力学方程其中Ea和M分别为如下电枢电势和转矩Ea=Ced/dt, M=CMia其中Ce和Cm分别为电枢电势常数和转矩常数(含恒定的磁通量) .机电能量转换系统(3/5)因此,上述主回路电压方程和轴转动运动方程可记为2. 选择状态变量.对于本例,若已知电枢电流ia(t),角位移(t)和其导数d/dt在初始时刻t0的值,以及电枢电压u,则上述微分方程组有唯一解.因此,可以选择状态变量如下机电能量转换系统(

25、4/5)3. 将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程4. 建立输出方程y=x2机电能量转换系统(5/5)5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型根据系统机理建立状态空间模型-小结(1/3)小结由上述2个例子,可总结出由系统的物理机理建立状态空间模型的基本步骤为:Step 1. 根据系统内部机理得到各物理量所满足的微分方程. 如:回路电压和节点电流方程,牛顿第二定律,热量和物料平衡关系,经济学中的投入产出方程等还记得自动控制原理课中怎么写模型根据系统机理建立状态空间模型-小结(2/3)Step 2. 选择状态变量. 一般状态变量的个数应为独立的一阶储能元件数,并将储能元件上的物理变量及

26、各阶导数选为状态变量,如电网络中电容电压和电感电流,刚体力学系统中惯性体的位移和速度(或角位移和角速度),流体力学系统中流量和液面高度(容量、体积),化工系统中热量(或温度)和流量(或浓度)等物理变量作为状态变量,是较方便的.写状态空间模型的关键喔根据系统机理建立状态空间模型-小结(3/3)Step 3. 将选择好的状态变量代换Step 1得到的各微分方程组,整理得一阶微分方程组.Step 4. 根据系统状态变量与输出变量得关系,建立输出方程.Step 5. 整理规范的状态空间模型.基于上述机理建模方法对系统机理、结构和参数已知的系统可建立状态空间模型，但对于系统机理、结构和参数未知的系统,其

27、状态空间模型的建立,通常只能通过辨识的途径,即用实验建模的方法,通过对系统所作试验而得到的输入输出数据,用统计的方法确定其数学模型。状态空间表达式的建立（二） (1/2)1.3 状态空间表达式的建立（二）本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶常微分方程与传递函数,通过选择适当的状态变量分别建立系统的状态空间表达式。这样的问题称为系统的实现问题。这种变换过程的原则是,不管状态变量如何选择,应保持系统输入输出间的动态和静态关系不变。 状态空间表达式的建立（二） (2/2)本节的内容为：由高阶常微分方程建立状态表达式由传递函数建立状态空间表达式多输入多输出线性系统非线性系统由高阶常微分方

28、程建立状态空间模型(1/1)1.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型,分别讨论不含输入量导数项(传递函数中没有零点)有含输入量导数项(传递函数中有零点)微分方程(传递函数)建立状态空间模型。本节关键问题:如何选择状态变量保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变关键喔!传递函数中没有零点的实现(1/9)1. 传递函数中没有零点的实现描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为, 线性定系数常微分方程为y(n)+an-1y(n-1)+a0y=bu其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。相应的传递函数这里所要研究的是建

29、立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型本节问题的关键是如何选择状态变量。传递函数中没有零点的实现(2/9)上述微分方程的模拟结构图如下图所示传递函数中没有零点的实现(3/9)由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y(t0),y(n-1)(t0)已知,则对给定的输入u(t),微分方程有唯一解,也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定。因此,选择每个积分器的输出作状态变量（相变量），即为输出的各阶导数：x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻划系统的动态特性。取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量

30、,物理意义明确,易于接受。传递函数中没有零点的实现(4/9)将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程和输出方程y=x1传递函数中没有零点的实现(5/9)将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有传递函数中没有零点的实现(6/9)该状态空间模型可简记为:其中传递函数中没有零点的实现(7/9)上述式子清楚说明了状态空间表达式中系统矩阵A与微分方程中的系数a0, a1, an-1之间,输入矩阵B与微分方程中系数b之间的对应关系。通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行

31、为1个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态空间分析方法中是一类重要的矩阵,这在后面的章节中可以看到。传递函数中没有零点的实现(8/9)例 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”+6y”+11y+6y=6u解 本例中a1=6 a2=11 a3=6 b=6 因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时, 可得状态空间模型如下 传递函数中没有零点的实现(9/9)其系统结构图如下所示1.4 状态空间表达式的建立(2)状态变量的选择不唯一，选择的不同状态空间表达式也不同。1.4 状态空间表达式的建立(2)状态变量的选择不唯一，

32、选择的不同状态空间表达式也不同。1.4 状态空间表达式的建立(2)状态变量的选择不唯一，选择的不同状态空间表达式也不同。传递函数中有零点的实现(1/18)2.传递函数中有零点的实现描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方程的一般表达式为y(n)+an-1y(n-1)+a0y=bnu(n)+bn-1u(n-1)+ b1u(1) +b0u本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?传递函数中有零点的实现(2/18)若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即x1(t)=y(t), x2(t)=y(t)

33、, , xn(t)=y(n-1)(t)则可得如下状态方程根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接将输出y的各阶导数项取作状态变量。传递函数中有零点的实现(3/18)考虑三阶微分方程推广的思路：利用已知的结果传递函数中有零点的实现(4/18)首先考虑得到状态空间方程传递函数中有零点的实现(5/18)再考虑对上式做拉氏反变换已知则可得传递函数中有零点的实现(6/18)得到状态空间方程传递函数中有零点的实现(7/18)推广到n阶系统状态

34、空间实现传递函数中有零点的实现(8/18)若选择状态变量如下其中i(i=0,1,n)为待定系数。传递函数中有零点的实现(9/18)其中i(i=0,1,n)为待定系数。传递函数中有零点的实现(10/18)将上述式子代入：得传递函数中有零点的实现(11/18)因此,有对于传递函数中有零点的实现(12/18)即i(i=0,1,n)满足如下方程组传递函数中有零点的实现(13/18)传递函数中有零点的实现(14/18)可以得到最后的状态方程传递函数中有零点的实现(15/18)上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示传递函数中有零点的实现(16/18)例 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”+5

35、y”+8y+4y=2u”+14u+24u解 本例中n=3a2=5 a1=8 a0=4 b3=0 b2=2 b1=14 b0=24解法一0=b3=01=b2-a20=22=b1-a10-a21 =43=b0-a00-a11-a22 =-12传递函数中有零点的实现(17/18)因此,当选择状态变量如下时即得系统的状态空间表达式为传递函数中有零点的实现(18/18)a2=5 a1=8 a0=4 b3=0 b2=2 b1=14 b0=24解法二多输入多输出系统实现(1/5)1.3.2 多输入多输出系统实现下面,以双输入双输出的三阶系统为例介绍由描述MIMO系统的高阶微分方程组如何建立状态空间模型。设描

36、述系统的微分方程为 下面采用模拟结构图的方法,按高阶导数项求解方法来建立状态空间模型。多输入多输出系统实现(2/5)因此,该系统的方程也可表示为对每一个方程积分,直至消除导数符号为止。多输入多输出系统实现(3/5)故可得模拟结构图,如图1-17所示。图1-17 系统模拟结构图多输入多输出系统实现(4/5)取每个积分器的输出为一个状态变量,如图1-17所示。一种状态空间实现为相应地输出方程为多输入多输出系统实现(5/5)因此,该双输入双输出系统的矩阵形式状态空间模型为状态向量的线性变换(1/6)1.4 状态向量的线性变换从上一节的讨论可知,同一个系统的状态空间表达式,即使其维数相同,但其具体结构

37、和系数矩阵也是多种多样的,如系统矩阵A可以为对角线矩阵的或者约旦矩阵的,也可以为其他形式的。即,状态空间表达式不具有唯一性。原因: 状态变量的不同选择这就产生了一个问题:各种不同选择的状态变量之间,以及它们所对应的状态空间表达式之间的关系如何?状态向量的线性变换(2/6)此外,在控制系统的分析和设计中,某些特殊的系统数学模型对讨论问题相对简单得多,如对角线规范形和约旦规范形。于是自然会提出如下问题:如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式的状态空间模型,以降低系统的分析问题和设计问题的难度。解决上述问题,就需引入状态空间的线性变换。什么是状态空间的线性变换?状态向量的线性变换(3/6)状态变

38、量是一组实变量,它们所组成的状态空间为一个实线性空间。由线性代数知识可知,线性空间中,随着表征空间坐标的基底的选取的不同,空间中的点关于各种基底的坐标亦不同。这些基底之间的关系为进行了一次坐标变换,而空间中的点的坐标则相当于作了一次相似变换。 如,在如右图所示的平面直角坐标系中,A点在两个坐标系下的坐标存在如下变化关系(其中P为非可逆的变换矩阵)状态向量的线性变换(4/6)n维空间中的旋转变换、极坐标变换,线性空间中的相似变换,都属于空间变换。其中旋转变换和相似变换还属于线性变换。状态空间中由于状态变量的不同选择类似于线性空间中的坐标架的不同选择，同一个系统不同选择状态变量组之间存在类似于线性

39、空间不同坐标架之间的线性变换,因此我们将在状态空间中坐标变换称为状态空间的线性变换。状态向量的线性变换(5/6)引入坐标变换和状态空间线性变换等概念,实际上就回答了上述两个问题:1. 不同选取状态变量之间存在一个坐标变换,其相应的状态空间表达式之间也存在一个相应的相似变换。2. 既然可以对状态变量和状态空间表达式进行线性变换,则在一定条件下应可以将一般形式的状态空间表达式变换成某种特殊的状态空间表达式。状态向量的线性变换(6/6)本节主要讨论状态空间的线性变换,以及如何系统状态空间描述的约旦规范形。本节关键问题:1. 线性变换的几何及空间意义,建立空间想象力2. 如何作系统线性变换3. 系统的

40、对角规范形和约旦规范形描述4. 代数重数、几何重数与约旦矩阵5. 如何求矩阵的广义特征向量建立空间概念,可是学好控制理论的关键喔状态空间表达式的非唯一性(1/6)1.4.1 状态空间表达式的非唯一性设描述同一个线性状态空间的两个n维的状态变量向量分别为由线性代数知识可知,它们之间必有如下变换关系其中P为nn维的非奇异变换矩阵。上述状态变量向量x与 间的变换,称为状态的线性变换。值得指出的是:变换矩阵P只有为非奇异的,才能使x和 间的变换关系是等价的、唯一的和可逆的。两种表达式式之间存在什么关系?状态空间表达式的非唯一性(2/6)设在状态变量x和 下,系统状态空间模型分别为将变换关系x=P 代入

41、(A,B,C,D)的状态方程中有状态空间表达式的非唯一性(3/6)由于变换矩阵P非奇异,因此有则有应该注意的是,系统的初始条件也必须作相应的变换,即将上式与状态空间模型 比较,则线性系统(A, B,C,D)在线性变换矩阵P下的各矩阵具有如下对应关系其中t0为系统运动的初始时刻。状态空间表达式的非唯一性(4/6)例 试将以下状态空间模型作变换矩阵为下式所示的线性变换状态空间表达式的非唯一性(5/6)解 线性变换P的逆矩阵为因此,有状态空间表达式的非唯一性(6/6)故系统在新的状态变量下的状态空间模型为值得指出的是,状态空间的线性变换只是对状态变量作变换,对系统的输入和输出未作变换,因此系统的输入

42、输出间的动态和静态关系对状态变换保持不变。系统特征值的不变性与系统的不变量(1/2)1.4.2 系统特征值的不变性与系统的不变量由前面的讨论可知,当选择不同的状态变量,则获得不同的状态空间模型描述。实际上,状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下对系统的一种描述,它随状态变量选择的不同而不同,并不具有唯一性和不变性。那么,到底系统在状态空间中有哪些描述,哪些性质是不变的,是不随状态变量的选取不同而变化的?线性定常系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。系统的特征结构对系统运动的特性和行为具有重要的影响,决定了系统的基本特性。系统特征值的不变性与系统的不变量(2/2)下面我们将讨论系统经状态线

43、性变换后,其特征值不变,亦即状态线性变换不改变系统的基本特性。系统矩阵的特征值是一种描述系统本质特征的,并具有唯一性的不变量,即不随状态变量的选取不同而变化的不变量,它在系统分析和综合上起着重要的作用。下面将分别讨论:系统的特征值和特征向量特征值的不变性与系统的不变量特征向量的计算系统的特征值和特征向量(1/2)1. 系统的特征值和特征向量定义1 设v是n维非零向量,A是nn矩阵。若方程组Av=v成立,则称为矩阵A的特征值,非零向量v为所对应的矩阵A的特征向量。将上述特征值的定义式写为(I-A)v=0 其中I为nn的单位矩阵。因此,由代数方程论可知,上式有非零特征向量v的解的充要条件为|I-A

44、|=0 并称上式为矩阵A的特征方程,而|I-A|为A的特征多项式。 系统的特征值和特征向量(2/2)矩阵特征值的概念可推广至线性定常系统(A,B,C,D)。定义2 对于线性定常系统(A,B,C,D),系统的特征值即为系统矩阵A的特征值。关于系统特征值,几点注记:A. 一个n维线性定常系统必然有n个特征值与之对应。B. 对于物理上可实现的系统,其系统矩阵必为实矩阵。因此,线性定常系统的特征多项式必为实系数多项式,即系统的特征值或为实数,或为成对出现的共轭复数。特征值的不变性与系统的不变量(1/3)2. 特征值的不变性与系统的不变量系统的特征值表征了系统本质的特征。而线性变换只是相当于对系统从另外

45、一个角度来描述而已,并未改变系统的本质。刻划了系统本质特征的系统特征值应不随线性变换而改变,即有如下结论:线性定常系统特征值对线性变换具有不变性。特征值的不变性与系统的不变量(2/3)对于这个结论,亦可证明如下:设系统原状态空间模型中的系统矩阵为A,经线性变换后,系统矩阵为可见,系统经线性变换后,其特征值不变。矩阵 的特征多项式为即证明了A的特征多项式等于的 特征多项式。由于特征值全由特征多项式的系数： 唯一地确定，而特征值经非奇异变换是不变的，那么这些系数也是不变的量，所以称特征多项式的系数为系统的不变量。 特征值的不变性与系统的不变量(3/3)特征向量的计算(1/3)3. 特征向量的计算一

46、个n维向量 经过以A作为变换阵的变换，得到一个新的向量 ，即： 并且这个新的向量满足： 则称 为A的对应于 的特征向量 求 的特征向量。 举例特征向量的计算(2/3)特征向量的计算(3/3)状态空间表达式变换为对角线型或约旦标准形(1/2)1.4.3 状态空间表达式变换为对角线型或约旦标准型对角线型是指系统矩阵A为对角线矩阵的一类状态空间表达式。对于该类状态空间模型,由于在系统分析和综合时,清晰直观,使问题得以简化该类系统可简化成n个一阶惯性环节的并联 故在状态空间分析法中是较重要的一类特殊状态空间表达式。任何具有n个线性独立特征向量的状态空间模型一定能经状态变换变换成对角线规范形。该结论可详

47、细地并构造性地证明如下。状态空间表达式变换为对角线型或约旦标准形(2/2)结论 已知线性定常系统的状态方程为1.A的特征值无重根若A的n个特征值1,2,n所对应的特征向量线性独立,则必存在变换矩阵P,使其进行状态变换x=P 后为对角线型或者约旦标准型,即系统的状态方程为为对角线矩阵,并且变换矩阵P可取为P=p1 p2 pn其中pi为矩阵A对应于特征值i的特征向量。A的特征值无重根(1/10)证明 若pi为对应与特征值i的独立特征向量,则必有Api=ipi因此有Ap1 Ap2 Apn=1p1 2p2 npn对上式两边分别有Ap1 Ap2 Apn=Ap1 p2 pn=APA的特征值无重根(2/10

48、)故AP=Pdiag1 2 n即P-1AP=diag1 2 n即证明了结论。对原状态方程进行线性变换 的后,可得A的特征值无重根(3/10)例 试将下列状态空间模型变换为对角线规范形解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=-1 2=-2 3=-3A的特征值无重根(4/10)2. 求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值1,2和3所对应的特征向量分别为p1=1 0 1T p2=1 2 4T p3=1 6 9T3. 取A的特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P-1,即有A的特征值无重根(5/10)4. 计算各矩阵5. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为A的特征值无重根(6/10

49、)下面给出快速计算矩阵特征向量及对角线规范形的一个特例:在第三节讨论的状态空间模型中,其系统矩阵为其特征多项式为|I-A|=n+an-1n-1+a1+a0即该类矩阵的最后一行与特征多项式的系数一一对应。该类特殊系统矩阵A称为友矩阵。单位矩阵A的特征值无重根(7/10)友矩阵的特征向量的特点:当特征值为i时,其对应的特征向量为该结论可由下式证明。即pi为友矩阵的特征值i对应的特征向量。A的特征值无重根(8/10)因此,当友矩阵的特征值互异时,将友矩阵变换成对角线矩阵的变换矩阵恰为下述范德蒙矩阵例 试将下列状态空间模型变换为对角线规范形A的特征值无重根(9/10)解 1. 先求A的特征值。由特征方

50、程可求得特征值为1=0 2=-1 3=-22. 由于A为友矩阵,故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1分别为A的特征值无重根(10/10)3. 计算各矩阵4. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为2.A的特征值有重根A的特征值有重根(1/1)在此种情况下,A可变换成约旦矩阵,系统表达式可变换成约旦标准型。下面将分别讨论约旦块和约旦矩阵约旦规范形及其计算约旦块和约旦矩阵(1/3)1） 约旦块和约旦矩阵矩阵的约旦块的定义为由l个约旦块Ji组成的块对角的矩阵称为约旦矩阵,如J=block-diagJ1 J2 Jl约旦块和约旦矩阵(2/3)下述矩阵均为约旦矩阵上述第一个约旦矩阵有两个约旦块,

51、分别为11维的特征值2的约旦块和33维的特征值-1的约旦块;第二个约旦矩阵有三个约旦块,分别为11维的特征值3的约旦块以及11维和22维的特征值-1的两个约旦块。约旦块和约旦矩阵(3/3)由约旦块和约旦矩阵的定义可知,对角线矩阵可视为约旦矩阵的特例,其每个约旦块的维数为11。在本课程中,若未加以特别指出的话,则所有对约旦矩阵有关的结论都同样适用于对角线矩阵。约旦标准型及其计算(1/8)2） 约旦标准型及其计算定义 系统矩阵A为约旦矩阵的状态空间表达式称为约旦标准型。与对角线型一样,约旦标准型也是线性定常系统的状态空间分析中一种重要的状态空间表达式。下面讨论一般状态空间表达式与约旦标准型之间的线

52、性变换的计算问题。对于任何有重特征值且其线性独立特征向量数小于其维数的矩阵,虽然不能通过相似变换化成对角线矩阵,但可经相似变换化为约旦矩阵。设只有一个特征根1为重根，其重数为q，其余q、q1、n为互异根，则变换阵P的计算公式如下： 是对应于(n-q)个单根的特征向量 是对应于q个1重根的特征向量 显然，p1仍为对应的特征向量，其余p2，p3，pq则称之为广义特征向量。 广义特征向量 约旦标准型及其计算(2/8)例：将下列状态空间表达式化为约旦标准型： 约旦标准型及其计算(3/8)约旦标准型及其计算(4/8)约旦标准型及其计算(5/8)约旦标准型及其计算(6/8)对前面讨论的特殊矩阵-友矩阵,它

53、的广义特征向量的快速计算方法为:当特征值为i时,其对应的特征向量和广义特征向量分别为其中mi 为该特征值的重数。约旦标准型及其计算(7/8)解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=-1 2=3=-2例 试将下列状态空间模型变换为约旦规范形约旦标准型及其计算(8/8)3. 计算各矩阵2. 由于A为友矩阵,故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1分别为系统的并联实现(1/7)3.系统的并联实现系统的并联实现(2/7)系统的并联实现(3/7)系统的并联实现(4/7)图P.42系统的并联实现(5/7)图P.43系统的并联实现(6/7)系统的并联实现(7/7)从状态空间表达式求传递

54、函数阵(1/1)1.5 从状态空间表达式求传递函数阵对于SISO线性定常系统,标量传递函数表达了系统输入与输出间的信息动态传递关系。对于MIMO线性定常系统,将每个输入通道至每个输出通道之间的标量传递函数按序排列成的矩阵函数,即传递函数阵,可用来表达系统输入与输出间的信息动态传递关系。下面将从状态空间表达式出发,分别讨论MIMO系统的传递函数阵的定义由状态空间表达式建立系统的传递函数阵,以及组合系统的状态空间模型和传递函数阵 传递函数阵的定义(1/2)1.5.1 传递函数阵的定义在引入传递函数阵概念之前,需将标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数。为此,定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变

55、换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换,那么我们可对矩阵函数和向量函数进行拉氏变换及其拉氏反变换。传递函数阵(2/2)对r维输入、m维输出的MIMO系统,若其输入输出的拉氏变换分别为U(s)和Y(s),则系统的输入输出间的动态关系可表示为其中G(s)称为传递函数阵,其每个元素为标量传递函数。G(s)的形式为其中Gij(s)描述了第i个输出与第j个输入之间的动态传递关系。由状态空间表达式求传递函数阵 (1/1)1.5.2 由状态空间表达式求传递函数阵前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式,下面将介绍其逆问题,即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。主要内容

56、有:传递函数矩阵的推导传递函数矩阵的推导(1/6)传递函数矩阵的推导前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式,下面将介绍其逆问题,即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。已知MIMO线性定常系统的状态空间表达式为其中x为n维状态向量;u为r维输入向量;y为m维输出向量。传递函数矩阵的推导(2/6)对上式取拉氏变换,有其中X(s)、U(s)和Y(s)分别为x(t)、u(t)和y(t)的拉氏变换;x(0)为x(t)的在初始时刻t=0的值。由于传递函数阵描述的是系统输入输出间动态传递关系,不考虑系统初始条件的影响。因此令x(0)=0,于是由状态方程的拉氏变换式有X(s)=(sI-

57、A)-1BU(s)传递函数矩阵的推导(3/6)将上述X(s)代入输出方程,有Y(s)=C(sI-A)-1B+DU(s)因此,可得线性定常连续系统的传递函数阵为G(s)=C(sI-A)-1B+D若对于输入与输出间无直接关联项(即D=0)的系统,则有G(s)=C(sI-A)-1B传递函数矩阵的推导(4/6)由于状态变换仅对状态变量进行,保持系统的输入和输出变量及它们间的动静态关系不变。因此,有如下结论:描述系统输入与输出间动态传递关系的传递函数阵对状态变换具有不变性。 证明：若对此系统作线性状态变换 ,则相应的状态空间表达式为 ,相应的传递函数阵其中传递函数矩阵的推导(5/6)上述结论按下面的步骤

58、是很容易证明的。证明 设系统的状态空间表达式为(A,B,C,D),相应的传递函数阵为G(s)=C(sI-A)-1B+D若对此系统作线性状态变换 ,则相应的状态空间表达式为 ,相应的传递函数阵其中传递函数矩阵的推导(6/6)因此有 =CP(sI-P-1AP)-1P-1B+D=CPP-1(sI-A)-1PP-1B+D=C(sI-A)-1B+D=G(s)即证明了传递函数阵对状态变换具有不变性。子系统在各种联结时的传递函数阵(1/1)1.5.3 子系统在各种联结时的传递函数阵对于许多复杂的生产过程与设备,其系统结构可以等效为多个子系统的组合结构,这些组合结构可以由并联串联反馈3种基本组合联结形式表示。

59、下面讨论的由这3种基本组合联结形式构成的组合系统的状态空间表达式和传递函数阵。并联联结(1/4)1. 并联联结图1-14并联联接组合系统方块结构图并联联结(2/4)设对应于图1-14示的并联联结的组合系统的两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间表达式分别为并联联结(3/4)从图1-14可知u1=u2=u y1+y2=y故可导出并联联结组合系统的状态空间模型为并联联结(4/4)因此,由上述状态空间表达式可知,并联组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。由组合系统的状态空间表达式可求得组合系统的传递函数阵为因此,并联组合系统的传递函数阵为各并联子系统的传递函数阵之和。串联联结(1/5)2. 串联联结图1-15 串联联接组合系统方块结构图设图1-15所