第一章结构动力学概述2(长沙理工大学结构动力学)

1、1.5 结构运动方程的建立 要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程方法很多，常用的有：达朗伯原理、虚位移原理、哈密顿原理建立运动方程。1）达朗伯原理-直接平衡法 对运动的质体m，将其惯性力 看成作用在质体上，联合主动力F(t)、重力W、弹性力 阻尼力 再直接应用平衡条件建立平衡方程从而得到运动方程的方法1、应用的原理和方法ckmF(t)mF(t)FdFsFiW例如图示结构设在某时刻t，质点的总位移为 ，它包括质体重量所产生的静位移 和动位移y，取向下为正。作用在质体上的力有：动力荷载： F(t)；弹性力：阻尼力：重力：W=mg惯性力：根据平衡条件可

2、得运动方程为：即：由于质体重量所产生的静位移 与质体重量W相互平衡，于是上式为：2）虚位移原理当结构较复杂时，可运用基于虚位移原理的虚功法来建立方程。假想m沿y正方向发生一符合约束条件的虚位移 ，由虚位移原理可知，各力在虚位移上所做的总虚功等于零。即：也即：3）哈密顿原理采用该法对上例分析，同样可以得到之前两个方法得到的方程。 用哈密顿原理时和上两方法的不同之处：不再考虑惯性力、阻尼力和弹性恢复力等，它们通过能量变分来得到。哈密顿原理是能量变分形式的平衡方程。在时间段 和 内，动能T减位能V的变分加非保守力做的功 的变分等于零，即2、广义单自由度系统 广义单自由度系统有两种：即刚体集合系统和分

3、布质量系统。 1、刚体集合系统 当质体为一杆件（而非质点），且有质量杆件为刚性时，便可以将这种杆件看做是广义单自由度系统。应用达朗伯原理亦可以建立起这种体系的运动方程。如：图示系统AB梁为刚性无质量杆件，CD梁亦为刚性杆，其总质量为m，k1、k2分别为两弹簧的劲度，c为粘性阻尼系数。cABCDk2k1F(t)2LLLL设C点向下位移为Y，B点向下位移为y1；K2弹簧力为K2(2/3Y-y1)CD杆的惯性力为CD杆的转角为 （设振动微小）则其角加速度为 cABCDk2k1F(t)2LLLLCD杆的转动惯量为对AB梁由MA=0，得对CD梁由MD=0，得由上两式消去y1,可得：改写为：式中为广义质量

4、， 为广义劲度 为广义阻尼系数为广义荷载则CD杆的转动惯性矩为 cABCDk2k1F(t)2LLLL213、 杆系结构单自由度体系的运动方程建立 要了解和掌握杆系结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。m运动方程施力物体惯性力m形式上的平衡方程，实质上的运动方程一、柔度法mEIl=1l柔度系数柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。一、柔度法mEIl=1l柔度系数柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。二、刚度

5、法mEIl1y刚度系数刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。三、列运动方程例题刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。例1.mEIlEIl=1l例2.=1lmEIlEIl/2l/2P(t)Pl/4柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。三、列运动方程例题刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移y

6、所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。例3.mEIlEIl1例4.mEIl/2EIl/2三、列运动方程例题例3.mEIlEIl1例4.mEIl/2EIl/21例5.m1EIl/3l/3l/3m2=简记为位移向量柔度矩阵荷载向量质量矩阵加速度向量例6.m1m2=刚度矩阵例6.m1m2=+例6.m1m2例7 图示体系为质量均匀分布的刚性平板,试建立运动方程. 总质量为M,转动惯量为J.设 水平位移为x 竖向位移为y 转角为2b2a 练习1、图示，不计梁的质量，梁中有一质点m，其刚度为EI，建立其动平衡方程。刚度系数的求法有二：在质点m处沿运动方向加一单位力，求出相应的位移f（柔度系数），图乘可求得f，刚度系数为柔度系数之倒数。mL/2L/21PL/4K1ACB于是方程即为：K=1/f=48EI/mL/2L/