第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计

1、第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计本 章 内 容：6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形6.2 拉伸与压缩杆件的强度设计6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能6.4 结论与讨论6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.1.1 应力计算 当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量轴力FN。与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力。 式中， FN为横截面上的轴力，由截面法求得；A为横截面面积。 注意：对于变截面杆和轴力随截面位置变化的杆件，则杆件横截面上的正应力表达式应为：6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.

2、1.2 变形计算 1绝对变形 弹性模量 式中， FN为横截面上的轴力；E为杆材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA称为杆件的拉伸(或压缩)刚度(tensile or compression rigidity)；式中“+”号表示伸长变形；“一”号表示缩短变形。 。 设一长度为l、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴向载荷FN后，其长度变为l+l，其中l为杆的伸长量： 6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.1.2 变形计算 1绝对变形 弹性模量 当拉、压杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量(

3、或缩短量)： 6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.1.2 变形计算 2相对变形 正应变 对于各处变形不均匀的情形，则必须考察杆件上沿轴向的微段dx的变形，并以微段dx的相对变形作为杆件局部的变形程度。这时 对于杆件沿长度方向均匀变形的情形 ： 无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的关系都是相同的。 6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.1.2 变形计算 3横向变形 泊松比 式中，为材料的另一个弹性常数，称为泊松比(Poisson ratio)。泊松比是量纲为1的量。式中的负号表示：纵向伸长时横向缩短；纵向缩

4、短时则横向伸长。横向变形:杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆件轴线方向也同时产生变形，称为横向变形。6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计【例题6-1】图所示之变截面直杆，ADE段为铜制，EBC段为钢制；在A、D、B、C等四处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的横截面面积AAB=10102mm2，BC段杆的横截面面积ABC=5102mm2；FP=60kN；铜的弹性模量EC=100GPa，钢的弹性模量ES=210GPa；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。试求：1直杆横截面上的绝对值最大的正应力|max。2直杆的总变形量lAC。解：1作轴力图 应用截

5、面法，可以确定AD、DEB、BC段杆横截面上的轴力分别为 在FN一x坐标系可以画出轴力图，如图所示： 6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计2计算直杆横截面上绝对值最大的正应力 横截面上绝对值最大的正应力将发生在轴力绝对值最大的横截面上，或者横截面面积最小的横截面上。 于是，直杆中绝对值最大的正应力为 ： 6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计3计算直杆的总变形量 直杆的总变形量等于各段杆变形量的代数和。AD和DE段因为轴力不同，所以需要分段计算，DE和EB段材料不同，也要分段计算。6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形第6章

6、 拉压杆件的应力变形分析与强度设计【例题6-2】 三角架结构尺寸及受力如图所示。其中FP=22.2kN；钢杆BD的直径d1=25.4mm；钢梁CD的横截面面积A2=2.32103mm2。试求杆BD与CD的横截面上的正应力。解：1受力分析，确定各杆的轴力 取三角架构件为研究对象，进行受力分析，其中BD与CD均为二力构件，受力图如右图所示。 二者方向都与图示方向相同，BD杆受拉，CD杆受压。 由平衡方程： 解得二者的轴力分别为： 6.1 拉伸与压缩杆件的应力与变形第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计2计算各杆的应力 其中BD杆横截面上为拉应力，CD杆横截面上为压应力。 BD杆： CD杆： 6.

7、2 拉伸与压缩杆件的强度设计 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.2.1 强度设计准则、安全因数与许用应力 拉伸与压缩杆件的强度设计准则（强度条件）： 强度设计(strength design) ：指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作，不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度。 其中称为许用应力(allowable stress)，与杆件的材料力学性能以及工程对杆件安全裕度的要求有关： 式中，为材料的极限应力或危险应力(critical stress)，由材料的拉伸试验确定；n为安全因数，对于不同的机器或结构，在相应的设计规范中都有不同的规定。 6.2 拉伸

8、与压缩杆件的强度设计 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.2.2 三类强度计算问题 设计截面尺寸：依强度准则可进行三种强度计算：校核强度：确定许可载荷： 6.2 拉伸与压缩杆件的强度设计 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.2.3 强度设计准则应用举例 【例题6-3】螺纹小径d=15mm的螺栓，紧固时所承受的预紧力为FP=20kN。若已知螺栓的许用应力=150MPa，试校核螺栓的强度。解：1确定螺栓所受轴力 应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力，即2计算螺栓横截面上的正应力 螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力为 3应用设计准则进行校核 螺栓的强度是安全的。 6.2

9、拉伸与压缩杆件的强度设计 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计【例题6-4】 图示为可以绕铅垂轴OO1旋转的吊车简图，其中斜拉杆AC由两根50mm50mm5mm的等边角钢组成，水平横梁AB由两根10号槽钢组成。AC杆和AB梁的材料都是Q235钢，许用应力=120MPa。当行走小车位于A点时(小车的两个轮子之间的距离很小，小车作用在横梁上的力可以看作是作用在A点的集中力)，求允许的最大起吊重力F。(包括行走小车和电动机的自重)。杆和梁的自重忽略不计。 解：1受力分析 小车在A点时，AB梁与AC两杆的两端都可以简化为铰链连接，于是AB和AC都是二力杆，二者分别承受压缩和拉伸。6.2 拉伸与压缩

10、杆件的强度设计 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计2确定二杆的轴力 以节点A为研究对象，并设AB和AC杆的轴力均为正方向，分别为FN1和FN2 ，节点A的受力如右图所示。由平衡条件 ： 代入已知条件，解得 ： 3确定最大起吊重力 由题分析知，最大吊重力由AB杆和BC杆的强度共同决定。对AB杆：由型钢表查得单根10号槽钢的横截面面积为12.74cm2，杆横截面上的正应力为： 6.2 拉伸与压缩杆件的强度设计 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计根据强度设计准则，得到： 由此解出保证AB杆强度安全所能承受的最大起吊重力为： 对AC杆：由型钢表查得单根50mm50mm5mm等边角钢的横截面

11、面积为4.803cm2，杆横截面上的正应力为： 根据强度设计准则，得到： 由此解出保证AC杆强度安全所能承受的最大起吊重力为： 综合上述分析知，吊车的最大起吊重力为57.6kN。 6.2 拉伸与压缩杆件的强度设计 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计4本例讨论 根据以上分析，在最大起吊重力Fw=57.6kN的情形下，显然AB杆的强度尚有富裕。因此，为了节省材料，同时还可以减轻吊车结构的重量，可以重新设计AB杆的横截面尺寸。根据强度设计准则，有 ： 其中，A1为单根槽钢的横截面面积。于是有： 由型钢表查得单根5号槽钢的横截面面积为6.93cm2，显然满足要求. 这种设计实际上是一种等强度的设

12、计，是保证构件与结构安全的前提下最经济合理的设计。6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.3.1 材料拉伸时的应力一应变曲线 标准试样：将被试验的材料按国家标准制成标准试样(standard specimen)；dh6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.3.1 材料拉伸时的应力一应变曲线 应力一应变曲线：常温(20)下将试样安装在试验机上，使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称为应力一应变曲线(stress-strain curve)。 6.

13、3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.3.2 韧性材料拉伸时的力学性能 应力一应变曲线中的直线段称为线弹性阶段，如图示曲线的OA部分。弹性阶段中的应力与应变成正比，比例常数即为材料的弹性模量E。 1弹性模量 6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.3.2 韧性材料拉伸时的力学性能 应力一应变曲线上线弹性阶段的应力最高限称为比例极限(proportional limit)，用p表示。2比例极限与弹性极限 AB段包括线弹性阶段在内，统称为弹性阶段(图示的OB段)。弹性阶段的应力最高限称为弹性极限(elastic limi

14、t)，用e表示。 6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.3.2 韧性材料拉伸时的力学性能 在弹性阶段之后，出现近似的水平段，这一阶段中应力几乎不变，而变形急剧增加，这种现象称为屈服(yield)(图示曲线的BC段)。这一阶段曲线的最低点的应力值称为屈服极限(yield limit)或屈服点，用s表示。3屈服极限 对于没有明显屈服阶段的韧性材料，工程上则规定产生0.2塑性应变时的应力值称为材料的条件屈服极限(offset yield limit)或屈服强度(offset yieldstress)，用0.2表示。6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章

15、拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.3.2 韧性材料拉伸时的力学性能 应力超过屈服极限或条件屈服极限后，要使试样继续变形，必须再继续增加载荷。这一阶段称为强化(strengthening)阶段（图示曲线的CD段）， 这一阶段应力的最高限称为强度极限或抗拉强度，用b表示。4强度极限或抗拉强度 6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.3.2 韧性材料拉伸时的力学性能 某些韧性材料(如低碳钢和铜)，应力超过抗拉强度b以后，试样开始发生局部变形，局部变形区域内横截面尺寸急剧缩小，这种现象称为缩颈(neck)。 出现缩颈之后，试样变形所需拉力相应减小，应力一应变曲

16、线出现下降阶段，如图示曲线上的DE段，至E点试样拉断。5缩颈与断裂 6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.3.3 脆性材料拉伸时的力学性能 对于脆性材料，从开始加载直至试样被拉断，试样的变形都很小。而且，大多数脆性材料拉伸的应力一应变曲线上都没有明显的直线段，几乎没有塑性变形，也不会出现屈服和缩颈现象，如图示。因而只有断裂时的应力值抗拉强度b 。 图示割线的斜率称为割线模量。 6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.3.4 强度失效概念与失效应力 强度失效的形式可以归纳为： 韧性材料的强度失效屈服与断裂。 脆性材

17、料的强度失效断裂。6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.3.4 强度失效概念与失效应力 失效应力：发生屈服和断裂时的应力就是失效应力(failure stress)，也就是强度设计中的危险应力。 韧性材料与脆性材料的强度失效应力分别为： 韧性材料屈服极限s(或条件屈服极限0.2)、强度极限或抗拉强度b 。 脆性材料强度极限或抗拉强度b 。6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.3.4 强度失效概念与失效应力 伸长率和断面收缩率： 式中，l0为试样原长(规定的标距)；A0为试样的初始横截面面积；l1和A1分别为试样

18、拉断后长度(变形后的标距长度)和断口处最小的横截面面积。 伸长率和断面收缩率的数值越大，表明材料的韧性越好。工程中一般认为5者为韧性材料；5者为脆性材料。 6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.3.5 压缩时材料的力学性能 低碳钢压缩时的应力一应变曲线 ： 与拉伸时的应力一应变曲线相比较，拉伸和压缩屈服前的曲线基本重合，即拉伸、压缩时的弹性模量及屈服应力相同。 屈服后，由于试样愈压愈扁，应力一应变曲线不断上升，试样不会发生破坏。6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.3.5 压缩时材料的力学性能 灰铸铁压缩时的应

19、力一应变曲线 ： 与拉伸时的应力一应变曲线不同的是，压缩时的抗压强度却远远大于拉伸时的数值，通常是抗拉强度的4-5倍。对于抗拉和抗压强度不等的材料，抗拉强度和抗压强度分别用b和bc表示。 这种抗压强度明显高于抗拉强度的脆性材料，通常用于制作受压构件。6.3 拉伸与压缩时材料的力学性能 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计我国常用工程材料的主要力学性能 ：6.4 结论与讨论 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.4.1 本章的主要结论 材料力学分析问题的思路和方法与静力分析相比，除了受力分析与平衡方法的应用方面有共同之处外，还具有自身的特点： 一方面不仅要应用平衡原理和平衡方法，确定构

20、件所受的外力，而且要应用截面法确定构件内力；要根据变形的特点确定横截面上的应力分布，建立计算应力的表达式。 另一方面还要通过试验确定材料的力学性能，了解材料何时发生失效，进而建立保证构件安全、可靠工作的设计准则。6.4 结论与讨论 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.4.2 关于应力和变形公式的应用条件 承受拉伸或压缩时杆件横截面上的正应力公式 ： 正应力公式必须要求轴力的作用线通过杆件的轴心时才适用。 若轴力的作用线不通过杆件的轴心时，轴力向轴心简化，将得到一个轴力和一个弯矩，此时杆件的变形不再是简单的轴向拉压变形，而是轴向拉压和弯曲的组合变形。 正应力公式对于韧性材料和脆性材料都适用。6.4 结论与讨论 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.4.2 关于应力和变形公式的应用条件 承受拉伸或压缩时杆件横截面上的变形公式 ： 导出这一公式时应用了胡克定律，因此，只有杆件在弹性范围内加载时，才能应用上述公式计算杆件的变形 。 当杆件上有多个外力作用，则必须先计算各段轴力，再分段计算变形，然后按代数值相加。6.4 结论与讨论 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计6.4.3 关于加力点附近区域的应力分布 圣维南原理(Saint-Venant pr