第2章优化设计第二部分-约束最优化方法(补充全20111203)

1、 *a. 约束随机方向搜索法 b. 复合形法 c. 罚函数法 (1) 外点罚函数法 (2) 内点罚函数法 等 *1、线性规划与二次规划问题 2、一般非线性规划第二章 Part2 优化设计（补充全）一、线性规划引例：某车间生产A和B两种产品。为了生产A和B，所需的原料分别为每台2与3个单位，所需工时分别为每台4和2个单位。现在可以应用的原料为100个单位，工时为120个单位。每生产一台A和B分别可得利润6元和4元。应当安排生产A、B各多少台，才能获得最大的利润？ 解：设A、B产品的台数各生产x1, x2台。 目标函数利润函数 限制条件：21 线性规划与二次规划问题原问题表述为：标准化后：线性规划

2、问题目标函数与约束函数均是线性的线性规划问题相关定理1、线性规划问题的可行域D是凸集。2、若线性规划问题存在最优解，则目标函数的 最优值可在某个极点（顶点）达到。x1x2Dz 减小的方向最优解最优解：x1=x2=20二、线性规划问题的单纯形求解算法介绍1947年提出，后有许多改造，形成许多变种。应用较广，具权威性。现举例说明该算法的基本思想x1x2z下降的方向12345极点1234？极点154？极点14？思想：从一个基本可行解（极点）出发，求另一个使目标函数值下降的基本可行解.引入松弛变量 x3、 x4、 x5，原式化成标准形式其中在中若令其中的两个未知量为零，则剩余的三个可由其解出。1） 如

3、另x1=x2=0，则有x1x212345上面的解是可行解， x1=x2=0对应于点1基本可行解基变量2）通过某些判定条件。令x5=x2=0新的解是可行解， x1=3，x2=0对应于点5另一基本可行解x1x212345基变量非基变量3）通过某些判定条件。令x5=x4=0 x1x212345新的解是可行解， x1=4.2，x2=5.2对应于点5最优基本解基变量关键点：每次取三个基变量，根据一些判定条件选择。前后两次迭代的基变量相差一个。极点154非基变量一般形式的线性规划问题其中三、利用MATLAB求解线性规划问题linprog(C, A, b, Aeq, beq，Lb, Ub) C=1;-3;1

4、; Aeq=2 -1 1; beq=8; A=-2 -1 0;1 2 0; b=-2;10; Lb=0;0;0; x=linprog(C,A,b,Aeq,beq,Lb,)Optimization terminated successfully. x = 0.8082 4.5959 10.9794 C=-4;-1; A=-1 2 2 3 1 -1 b=4;12;3; Lb=0;0; x=linprog(C,A,b,Lb,) Optimization terminated successfully. x = 4.2000 1.2000引例：某车间生产A和B两种产品。为了生产A和B，所需的原料分别为

5、每台2与3个单位，所需工时分别为每台4和2个单位。现在可以应用的原料为100个单位，工时为120个单位。每生产一台A和B分别可得利润6元和4元。应当安排生产A、B各多少台，才能获得最大的利润？标准化后MATLAB求解四、二次规划问题其中quadprog(H, f, A, b, Aeq, beq，Lb, Ub) f=-2;-6; H=1 -1;-1 2; A=1 1;-1 2;2 1; b=2;2;2; Lb=0;0; x=quadprog(H,f,A,b,Lb)Optimization terminated successfully.x = 0.4000 1.2000习题：用Matlab求解下

6、列优化问题22 约束最优化方法概述 在工程实际中，所有设计问题几乎都是约束非线性规划问题。 目前对于约束非线性最优化问题的解法较多，可以分为两大类。 直接法：用原来的目标函数限定在可行域内进行搜索，且在搜索的过程中一步步的降低目标函数值，直到求出在可行域内的一个最优解。主要方法有：有约束变量轮换法、随机试验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。 间接法：将约束最优化问题通过变换，转成为无约束最优化问题，然后再用无约束最优化方法来求得最优解。主要方法有：消元法、拉格朗日乘子法、罚函数法等。 目前约束最优化问题的算法收敛速度的判断比无约束最优化问题困难，约束最优化问题的研究和进展情况远不如无

7、约束最优化问题。 在本章将主要介绍随机方向搜索法、复合形法、罚函数法。22 约束随机方向搜索法一、基本原理 约束随机方向搜索法是解决小型约束最优化问题的一种较为有效的直接求解方法。 约束随机方向搜索法是一种数值迭代解法，其基本思想可用二维最优化问题来进行说明。等值线等值线等值线等值线等值线等值线二、初始点的选择三、随机搜索方向的产生四、随机方向搜索的计算过程和算法框图随机方向搜索法计算框图随机方向搜索法计算框图（续）一维搜索过程例、用随机方向法求解下列优化问题取迭代13次，求得kx1x2f(x)0-2.02.06.01-0.1681.1171.1964-0.0331.0241.02510-0.

8、077-2.998-2.99813-0.00247-3.0-3.0迭代过程显示一维搜索说明简单过程搜索方向 x1x201234不可行点 23 复合形法一、复合形法的基本原理x1x2K=3K=4n=2K=6K=4n=3x1x2x3复合形法的基本原理二、初始复合形的产生2012年12月6日三、复合形法的迭代过程和算法框图复合形法计算框图复合形法计算框图（续）复合形法计算框图（续）四、复合形法算例次数复合形顶点及目标函数值迭代终止判别值初始12270.015955280.009021各次迭代结果：24 罚函数法一、罚函数法的基本原理一系列无约束优化问题的解逼近原问题的最优解对罚函数的进一步说明总结求

9、解过程二、外点罚函数法(一) 基本原理化成标准形式外点法：罚函数的无约束最优解在可行域外部。外点罚函数法计算框图理论最优解X*数值最优解X*外点法三、内点罚函数法(一) 基本原理内点罚函数法计算框图四、混合罚函数法内点形式的混合罚函数法可直接令注：初始迭代点应在严格满足不等式约束的区域内。*25 MATLAB求解非线性规划问题与应用实例考虑如下约束优化问题A线性不等式约束的系数矩阵b 线性不等式约束的右端向量Aeq线性等式约束的系数矩阵beq线性等式约束的右端向量C(X) 与 Ceq(X)是非线性约束函数返回的向量。Lb与Ub是变量的上下限。x = fmincon(fun, x0, A, b,

10、 Aeq, beq, Lb, Ub, nonlcon)求解上述约束优化问题的MATLAB函数非线性约束函数，需要定义外部函数，计算并返回C(X)与Ceq (X)向量例其中x = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, Lb, Ub, nonlcon)在Matlab命令窗口中输入A=-1 -2 -2;1 2 3；b=0;72；x0=10;10;10；x, fval=fmincon(-x(1)*x(2)*x(3), x0,A,b)结果：x* =24, 12, 8T fval= -2.3040e+003例定义两个外部函数，分别计算目标函数值与约束函数值。约束函数化成标准形式

11、目标函数与约束函数均为非线性function C, Ceq=fcon(x)g1=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);g2=-x(1)*x(2)-10;C=g1;g2;Ceq=;function y=fobj(x)y=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);x = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, Lb, Ub, nonlcon)x,fevl = fmincon(fobj, x0, , , , , , , fcon)得解：x*=-9.5474, 1.0474T, f(x*)=0.0236x = f

12、mincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, Lb, Ub, nonlcon)例与前题的区别：多了一个等式约束。function C, Ceq=fcon(x)g1=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);g2=-x(1)*x(2)-10;C=g1;g2;Ceq= =-x(1)2+x(2);function y=fobj(x)y=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);x,fevl = fmincon(fobj, x0, , , , , , , fcon)得解：x*=-1.1121, 1.2367T, f(x*)=

13、1.9660 C, Ceq=fcon(x)C = 0 -8.6246Ceq = 0最优解满足等式约束，且在第一个不等式约束的边界上。例 与前题的区别：多了设计变量下限的约束。计算目标函数与非线性约束函数值的外部函数不变。x,fevl = fmincon(fobj, x0, , , , , Lb, , fcon) Lb=-2;2;得解：最优解 x*=-1.4142, 2.000T 最优值 f (x*)=2.3549x,feval = fmincon(fobj, x0, , , , , Lb, , fcon)轮式车辆前轮转向梯形四杆机构的优化设计后轮（驱动）前轮（转向）直线行驶梯形转向机构一般轮式

14、车辆多为后轮驱动，前轮导向。 工程实例转向中心O当车辆绕转向中心O作等角速转向时，要求全部车轮作无侧向滑动的纯滚动。转向臂0转向臂连杆固连在一起，绕铰点转动0梯形机构形状改变，实现转向转向中心O M L与分别为外导向轮、内导向轮轮轴线之偏转角。若取为自变量，则可由上式解出 M问题描述：设计一梯形转向机构，当在一定范围内变动（030）时， 能按式（1）变化转向臂0转向臂连杆0l1l2l3M取l1和0为设计参数，则 l2不再独立给定，p为多少？根据连杆长度l2不变来解出。p0p0外转向臂与水平轴的夹角内外转向臂与水平轴的夹角13根据连杆长度l2不变来解出p013希望的结果p013l130E030E

15、 p?若将的变化范围分布很多等分点，如30个等分点30E0?要求在这些等分点上，p与E的差值小，于是，可构造下面的函数0l1l2l3M受到的限制条件Ll1M0.6L0受到的限制条件M0+30l1l1l2ed总结l1M0.6L0L以212吉普车数据为例：M148cm，L296cm其中目标函数的计算重新改写为目标函数function y=Jeepobj(x)alpha=0:1:30;alpha=alpha*pi/180;y=0;for i=1:31 alphai=alpha(i)； betae=atan(tan(alphai)/(1-0.5*tan(alphai); Ai=2*x(1)2*sin(

16、x(2)+alphai); Bi=2*x(1)2*cos(x(2)+alphai)-296*x(1); Ci=2*x(1)2*(1-2*(cos(x(2)2)+296*x(1)*(2*cos(x(2)- cos(x(2)+alphai); betap=x(2)-pi+2*atan(Ai-sqrt(Ai2+Bi2-Ci2)/(Bi+Ci)； y=y+(betae-betap)2;end非线性约束函数function C, Ceq=Jeepcon(x)C=sqrt(x(1)2+1482-296*x(1)*cos(x(2)+pi/6)+2*x(1)*cos(x(2) -148-x(1);Ceq=;设计变量的上下限lb=14.8;1.176;lu=59.2;1.57;初始点：x(0)=15,1.4Tx,fevl = fmincon(Jeepobj, x0, , , , , lb, lu, Jeepcon) 初始点：x(0)=15, 1.4T结果：x* =14.994, 1.229T f(x*)= 0.0016x,fevl = fmincon(Jeepobj, x0, , , , , lb, lu, Jeepcon)p013l1 0 3.0000 6.0000 9.0000 12.0000 15.0000 18.0000 21.0000