弹塑性力学第十一章

1、 塑性力学基础知识第一节 金属材料的力学实验及几种简化力学模型1.1单向拉压实验：不同材料在单向拉压实验中，有不同的应力应变曲线。BABAC so p e e pBAC so p esO 软钢 - 合金钢 - 当应力应变曲线在OA范围内变化，材料为弹性变化。当应力达到 s时（软钢有明显屈服发生(AB段），合金钢无明显屈服发生）将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的条件为 f () = - s = 0 初始屈服条件（函数） 当软钢应力达到A点后，软钢有明显屈服（塑性流动）阶段。 经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为强化阶段，BC段），但强化阶段 增幅较少。对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段应

2、力较少）屈服条件是不变的。当应力满足屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变形存在。卸载按线性弹性。而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变形，卸载按线弹性。对于强化特性明显的材料，由O点继续加载，在O B段又是线性弹性变化，当 达到B点再次发生塑性变形， - s=0后继屈服函数 ，而 s=s( p)，BABAC sosO sBAC so p esO 合金钢 - 包辛格效应当卸载后，反向加载时，有些金属材料反映出反向加载的屈服极限 s s 称为包辛格效应（Bauschinger. J. 德国人）。小结： （1）在弹性阶段（ s）：= e 应力应变关系一一对应力

3、。（2）当应力达到初始屈服条件（ =s时），材料进入弹塑性阶段， = e+ p，应力应变关系不再是一一对应关系，而要考虑加载变形历史。（3）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料，屈服条件采用初始屈服条件。对于无明显屈服流动且强化阶段较高的材料，将有后继屈服函数产生。（4）有些强化材料具有包辛格效应。2.2 常见的几种简化力学模型： so s 加载时： =E s = s s 2. 线性强化弹塑性模型： 理想弹塑性模型 so sEEt 加载时： =E so sEEt = E s+ Et ( - s ) s 线性强化弹塑性模型 在实际问题中当弹性应变 e p 塑性应变时，可忽略弹性变形。上述两种模

4、型分别简化为： s 时, = 0 soEt s+Et so =s理想刚塑性模型 线性强化刚塑性模型1.3金属材料在静水压力实验：前人（Bridgmen）对大量金属进行水压力实验及拉压和静水压力联合实验，得到下列结果：1. 在静水压力(高压) p作用下，金属体积应变 e=V/V=p/k成正比，当p达到或超过金属材料的s时，e 与p仍成正比；并且除去压力后，体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。2. 金属受静水压力和拉压联合作用与金属单独受拉压作用比较，发现静水压力对初始屈服应力 s没有影响。 结论：静水压力与塑性变形无关。第二节 一维问题弹塑性分析aaPN2EAxN1b拉压杆的弹塑性问题 s s

5、o s设材料为理想弹塑性材料，在x=a处（b a）作用一逐渐增大的力P。 平衡条件 : N1+N2=P变形协调条件：a+b=0（1）弹性解：当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为 , ，代入变形协调方程为 ， 或 由于b a，所以 N1 N2 ，将 代入平衡方程。 得 ，；最大弹性荷载 力P 作用点的伸长为 (2)弹塑性解Pp P Pe :P = Pe 后，P可继续增大，而N1=sA 不增加（a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性） N2=P- N1=P-sA 力P 作用点的伸长取决于b段杆的变形 , PPpPPPpPee N1=sA , N2=sA 则最大荷载 Pp=2sA极限荷载这时杆件变形显

6、著增加，丧失承载能力。-ss假设： (1)材料为理想弹塑性; (2)平截面假设(适用于l h); (3) 截面上正应力 x 对变形影响为主要的;xMM y2xMM y(1) 梁的弯矩z yz ybh 弹性极限状态（设矩形截面）: M=Me在截面上y=h/2处， , 或 最大弹性弯矩h/2-+sssh/2-+ssss-+y0y0y-ss+弯矩继续增大，截面上塑性区域向中间扩展，塑性区域内的应力保持不变，截面上弯矩为 当y0=h/2时：最大弹性弯矩 当y0=0时：极限弯矩 令 =Mp/Me=1.5（矩形截面） 截面形状系数。1.51.71.15-1.17截面形状（2）梁弹塑性弯曲时的变形在线弹性阶

7、段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系 M=EI ( M Me ), 或 ,将应力与弯矩关系式 代入上式，可得 。在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得MMp ， 或 MMpMe代入梁弹塑性弯曲时M的表达式Mee ，得 e ( M Me )(3) 梁弹塑性弯曲时的卸载：s+-+s+-+-s+=-+ z ybhz ybhxMxMM y -+sz ybhs+-+ssF1F2 具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点：随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。 中性轴的位置的确定：在弹性阶段：应力为直线分布，中性轴通过截面的形心。 最大弹性弯矩 Me = s W在弹塑性阶段：中性轴的位置由截面上合力为零来

8、确定: F1 = F2 在塑性流动阶段：受拉区应力和受压区应力均为常数，中性轴的位置由截面上合力为零来确定: F1 = F2 或 s A1 = s A2 得 得 A1 = A2 中性轴的位置由受拉区截面面积 等于受压区截面面积确定。 极限弯矩 Mp = s (S1 + S2 ) S1 和S2 分别为面积A1和A2对等面积轴的静矩。应力、应变偏量的不变量和等效应力 e、等效应变 e、罗德（Lode）参数3.1应力偏量的不变量和应变偏量的不变量：在第二章第六节介绍了应力张量分解： , 其中 为应力偏量。类似应力张量分解，可将应变张量分解为： ， 应力张量 ij存在三个不变量 、 和 。 ， ， 类

9、似、 和 的定义，。1.可求应力偏量 sij 的三个不变量： 在主轴方向： 利用 2.应变偏量eij 的三个不变量：第一不变量：第二不变量：在主轴方向：第三不变量： 3.2等效应力 e 和等效应变 e ：1.等效应力e (应力强度)：在单向拉伸时，三个主应力已知：1 0、2=3=0 代入 J2表达式得 或 等效应力对于三维应力状态，定义每一点应力状态都存在力学效应相同的等效应力e 2.等效应变 e ：单向拉伸时1 0、2=3=-1 代入 表达式得 , 当杆受拉伸进入塑性阶段，认为体积应变 e=0，即 (1-2)1=0, 得 此时 类似于e 的定义，在三维应力状态定义等效应变e： e以发生塑性变

10、形定义的量（由 1、2、3 定义）,在变形过程中的每一瞬时，发生应变增量（d1、d2、d3），则可定义瞬时的等效应变增量：这个等效应变增量de 在建立弹塑性应力应变关系增量理论用到。MM(1+3)/2123P1P3P21.应力罗德参数： 在应力莫尔圆中描述一点的应力状态123，当1、3确定,则最大圆半径确定 (1-3)/2 ，但 2的变化可导致两个内圆的比例或大小。这两个内圆的比例或大小可由罗德参数描述。M为 P1和 P3的中点, 定义应力罗德参数 当 2=3时, = -1 -1 1当2=1时, =12.应变罗德参数： 第四节 屈服条件4.1一维问题屈服条件:一维问题包括：杆系的拉压（桁架）问

11、题、圆杆扭转问题、梁的纯弯曲问题。这些问题每一点的应力状态（在弹性和弹塑性阶段）主方向始终不变，且知道它们的方向，所以了解不同材料在单向杆件拉压的屈服条件就可以应用到上述其它问题。屈服条件：理想弹塑性材料的屈服条件为： f () = - k = - s = 0， so pE s o pEEt eABDFC在屈服阶段，发生塑性变形。卸载后，再加载屈服条件不变。线性强化弹塑性材料的屈服条件： 加载：当 s时，材料为弹性变形；当 =s时，开始发生塑性变形；f () = - k = - s = 0为初始屈服函数。当 s是强化阶段，发生弹塑性变形。 卸载：如在强化阶段的B点卸载，按线弹性卸载至C点，有塑

12、性应变保留（p= -e= -E）。如再次加载，则由C点沿CB按线弹性变化（不产生新的塑性变形）。当应力达到 B点时，B点应力为新的屈服极限，称为后继屈服极限。f () = - k = - B = 0为后继屈服函数。 k =H(p)k与塑性变形历史有关。 或：小结：理想弹塑性和强化弹塑性材料的一维屈服函数形式均可写成 f () = - k = 0为后继屈服函数。 k = s 理想弹塑性 k =H(p) 强化弹塑性2.加载、卸载准则:对于一维问题屈服条件已建立，由前面的讨论可知：对强化材料，当 s时，加载和卸载的应力应变关系是不同的，加载服从于弹塑性规律，卸载服从弹性关系，这是材料在塑性阶段的一个

13、重要特点，所以需要有一个判别材料是加载还是卸载的准则。强化材料：f () = - k = 0 d 0 加载过程（从一个屈服点到达后继的另一 屈服点d =Etd= Et(de +dp)） d 0 卸载过程 d =Ed d = 0 中性变载理想弹塑性材料： d = 0 加载过程 d = 0 soEB s oEE soEB s oEEtAB4.2三维应力状态的屈服条件1. 金属材料三维应力状态的屈服条件与何有关三维应力状态的屈服条件 f = 0 与何有关？类似于一维应力的屈服条件f (,k) = 0，三维应力状态的屈服条件应力 f (ij , k) = f (1,2 , 3,k)= 0 k=cons

14、t 理想弹塑性材料 k=H(ij)p) 强化弹塑性材料，与变形历史有关。 屈服条件也可写为：f ( ， , ，k)= 0 对于金属材料的力学实验得出静水压力对金属材料的屈服无影响，则屈服条件 f = 0可由应力偏量或应力偏量的不变量表示（J1 = 0 ）: f (sij , k) = f (s1,s2 , s3,k)= f (J2 , J3,k)= 02. 主应力空间和 平面(1) 主应力空间:在外载的作用下，每点产生确定的应力，通常以应力分量（张量）ij表示，但应力张量的分量ij随坐标系选取的不同而变化的。但应力张量的三个主应力1,2 , 3 是不随坐标系改变而变化。11R32OQP(1,2

15、,3)n以三个主应力为三维坐标系，则变形体内任一点 P的应力状态可在主应力空间找到P(1,2 , 3)相应的位置。矢量表示任一点 P的三个主应力(2) 平面 平面：是通过主应力空间坐标原点 O的平面，其平面的法线 为 ，即法线的三个方向余弦相等，均为 。, (3) 应力矢量 沿 平面内和 平面法线（）方向分解: 模：应力球张量： 应力偏张量：应力偏张量的模：由静水压力实验知：静水压力（应力球张量）不产生塑性变形，所以由主应力空间一点应力矢量 可见，当 增加（或减少）， 也增加（或减少），对塑性无影响，而使 达到屈服时依赖于 的增加，换句话说，三维应力状态的屈服函数（曲面）与 平面相交于闭合曲线

16、，当 在闭合曲线内，则 P点应力是弹性的，当 达到闭合曲线，P点达到屈服极限。3. 两个常见的屈服条件：（1）Tresca（屈雷斯卡）屈服条件：1864年法国工程师Tresca通过金属（铅）作了一系列挤压实验，结果提出当最大剪应力达到一定数值时（k），材料进入塑性状态。 即当： 1 2 3 （已知） （初始屈服条件） k 值可由实验确定： 如采用纯剪实验, 1 = -3=s , 2=0, 代入Tresca屈服条件得 1 - 3=2s ， 则 k=s（剪切屈服极限）.如采用单向拉伸实验：1 =s , 2 =3=0 , 代入Tresca屈服条件得 1 - 3= s ， 则 k=s /2，s（拉伸屈

17、服极限） 由两个实验结果都可得到k，如果要求两个k值相同，则必须有s=s/2，但对大多数金属 s s/2 。当三个主应力大小和次序不知道时Tresca条件： 1 - 2=2k 六个平面方程在主应力空间 2 - 3=2k 围成正六面体3 - 1=2k k=s 或 k=s /2在平面问题中：3 =0，则Tresca条件为1321 - 2=2k、2=2k 、1321222k12k1 -22k（2）Mises（米泽斯）屈服条件：1913年德国力学家Mises对Tresca屈服条件进行修正，Tresca条件的不足是：a. 未考虑中间主应力的影响；31312代替Tresca的正六棱柱面。由于圆柱体垂直 平

18、面的，由前面已知，圆柱面的半径r可由应力偏量的第二不变量表示，应力偏张量的模等于常数 或 Mises屈服条件 k1 值可由实验确定：如采用纯剪实验, 1 = -3=s , 2=0, 代入Mises 屈服条件，得 。Mises 屈服条件为：如采用单向拉伸实验：1 =s , 2 =3=0 , 代入Mises 屈服条件，得 。Mises条件为： 由两个实验结果都可得到k1，如果要求两个k1值相同，则必须有 ，对于大多数金属材料的剪切屈服极限和拉伸屈服极限的关系基本接近 。 如果以s（单向拉伸）为屈服条件的控制参数，则Mises条件的曲面圆柱为Tresca正六面体的外接圆柱体。312如果以s312zz

19、PMTa例：薄壁圆管内径为 a,厚度为 。受拉力P和扭矩 MT共同作用，材料s为单向拉伸屈服极限，试写Tresca和Mises屈服条件表达式。解： ， ，主应力: ， Tresca屈服条件：1 - 3= s , 或 ； Mises屈服条件： TrescaMises0.580.51.0TrescaMises0.580.51.0z /sz /s 一些韧性较好材料（如钢、铜、铝）的薄壁圆管的实验结果比较符合Mises屈服条件。4加载、卸载准则（1）理想塑性材料加载和卸载因理想塑性材料不发生强化，f = 0不变的。当应力在屈服面上移动f = 0且 加载当应力由屈服面退回屈服面内趋势时，但 f = 0

20、且 卸载（2）强化材料加载、卸载 加载 f = 0 且 中性变载 卸载ijijddn f=0dijddn f=0 理想塑性材料 强化材料 第五节 理想弹塑性厚壁筒受内压力 设内半径为a，外半径为b 的厚壁圆筒，在内表面处作用均匀压力p，圆筒材料为理想弹塑性材料。本问题为轴对称平面应变问题。当内压p 较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，随着压力p 的增加，圆筒内环向应力和径向应力的绝对值都不断增加，若圆筒处在平面应变状态下，其轴向应力也在增加。当应力分量的组合达到某一临界值时，该处材料进入塑性变形状态，并逐渐形成塑性区。随着压力的继续增加，塑性区不断扩大，弹性区相应缩小，直至圆筒的截面全部进入塑性状态

21、。对于理想弹塑性材料，截面全部进入塑性状态时即为圆筒的塑性极限状态。当圆筒进入塑性极限状态时，其内压达到最大值，即载荷不能再继续增加，而圆筒的变形则处于无约束变形状态。弹性分析当内压p 较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，其中的应力分量为 (a)弹塑性分析对于厚壁圆筒的轴对称平面问题，因此每一点的主应力方向都知道：1=、：2 = z=( r+)/2、3=r，其屈服条件可以简化为： Mises屈服条件 Tresca屈服条件 (b)由于这两种屈服条件，在这里假设的条件下只相差一个系数，因此在进行分析时可按Tresca条件计算，将结果中的 s 乘以一个系数，就变成了按Mises屈服条件的结果。随着压力p

22、的增加，圆筒在内壁r= a处 -r 有最大值，即筒体由内壁开始屈服。若此时的内压为pe 。由(a)式和(b)式可以求得弹性极限压力为 (c)当 p pe 时，在筒体内壁附近出现塑性区，并且随着内压的增加，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近仍为弹性区。由于应力组合 -r的轴对称性，塑性区与弹性区的分界面为圆柱面。筒体处于弹塑性状态下的压力为pp ，弹塑性分界半径为c 。此时对于弹性区和塑性区也可按两个厚壁圆筒分别进行讨论。由于轴对称性，在内筒的外壁和外筒内壁分别作用均布径向压力rr=c= q，为求解塑性区的应力分量，应满足平衡方程与屈服条件，即 将屈服条件代入平衡方程，即得 或 将上式进行积分，得

23、积分常数A 可由内壁的边界条件定出:A = - pp -s lna。代入上式可求得r ，再由屈服条件，可求出 ，即求得塑性区的应力分量为： (d) 由上式可知，塑性区的应力分量是静定的，它仅与内压pp 有关，而与弹性区的应力无关。而且在塑性区内 0, r0 。为求弹性区的应力分量，将弹性区作为内半径为c ，外半径为b ，承受内压q 的厚壁圆筒，由(a)式可得 , 式中 q, c 是未知量。从弹性区来看，r c处刚达到屈服，对比(c)式可得将上式代入弹性区应力分量，可得以c 表示的弹性区应力分量 , 将塑性区外壁的边界条件代入(d)式，可得由内外筒（塑性区与弹性区）界面径向应力相等的条件，可求得pp