水力学教学课件：第3章-水动力学基础（水利类）

1、第三章水动力学基础概 述意义：自然界或工程中遇到的流体大多处于运动状态，研究流体机械运动的规律及其应用更有普遍意义。内容：研究流体机械运动的规律及其应用。假定：连续介质假定。运动特征：质点间存在复杂的相对运动。基本任务：研究各流体运动要素随时间和空间变化的情况，建立流体运动要素之间的关系式，并用这些关系式来解决实际工程问题。本章重点：恒定总流的三大方程。3-1 描述流体运动的两种方法 以流体运动质点为对象，研究这些质点在整个运动过程中的轨迹（称为迹线）以及运动要素(Kinematic Parameter)随时间的变化规律。又称为质点系法。每个质点运动状况的总和就构成了整个流体的运动。需要对每一

2、流体质点进行标识，如初始位置（a,b,c）拉格朗日法（Lagrangian View） a，b，c，t称为拉格朗日变量 拉格朗日法（Lagrangian View） 把流体当作连续介质，以充满运动质点的空间流场(Flow Field)为对象，研究各时刻流场中不同质点运动要素的分布与变化规律，而不直接追踪给定质点在某时刻的位置及其运动状况 ，又称流场法。欧拉法(Eulerian View)变量x，y，z，t 统称为欧拉变量 （x,y,z）不变，t 变：不同瞬时流体质点通过流场中某固定点（x,y,z）时的速度及其变化情况。（x,y,z）变，t不变：同一瞬时流体质点通过流场中不同点的流体质点的速度分

3、布情况。（x,y,z），t均变：任一瞬时t，通过流场中任意点的流体质点的运动情况。欧拉法(Eulerian View)（x,y,z）不变 t 变（x,y,z）变 t 不变当地加速度迁移加速度欧拉法(Eulerian View)随体导数、质点导数Hamilton算子欧拉法(Eulerian View)3-2 流体运动的几个基本概念1. 恒定流(Steady Flow)与非恒定流(Unsteady Flow) 恒定流流场中任意空间点上所有运动要素都不随时间改变图例A为任一运动要素，仅是空间坐标的函数，与t无关与当地加速度有关的项为0与迁移加速度有关的项不一定为0说明：参考系的影响 恒定流的作用 流

4、动的简化物体在静止水体中匀速运动所形成的流场 2一维流动、二维流动与三维流动若运动要素是三个空间坐标的函数，这种流动就称为三维流动在工程问题中，在保证一定精度的条件下，尽可能将复杂的三元流动简化为二维流动乃至一维流动 若运动要素是二个坐标（不限于直角坐标）的函数，就叫做二维流动若运动要素是一个坐标（如沿流动方向的坐标）的函数，就叫做一维流动一维分析法：忽略流动参数在断面上的变化，用断面平均流速代替断面上各点实际流速，将总流简化为沿轴线的一维流动，其流动参数是纵向坐标s和时间的函数 如v = v (s, t)， Q = Q (s, t)， A = A (s, t)，p = p (s, t)， 3

5、-2 流体运动的几个基本概念3. 流线和迹线 迹线：某流体质点在不同时刻所经过的轨迹。或x,y,z是t的函数，积分后消去t即得迹线方程如何求迹线方程t 为自变量， x,y,z 是参变量3-2 流体运动的几个基本概念恒定流中，流线的形状和位置不随时间而改变恒定流中，流线与迹线重合流线不能相交，也不能是折线，只能是光滑曲线（一般情况）； 有边界影响的特殊情况除外（奇点、驻点）流谱图中，流线密处，流速大，流线疏处，流速小流线的特征 流线：流速场内反映瞬时流速方向的曲线，在同一时刻，处在流线上的任意点的流体质点的流速方向与该点的切线方向相重合。流谱：流场中，每一点都有流线通过，流线充满整个流场，这些流

6、线构成某一时刻流场内的流谱。3-2 流体运动的几个基本概念3. 流线和迹线 流线的方程例3-1流线是针对某一时刻而言，因此，在积分的过程中，t为参数而不是自变量3-2 流体运动的几个基本概念3. 流线和迹线 4.流管、元流、总流、在流场中画出任一微小封闭曲线l（不是流线），它所围的面积为无限小，经该曲线上各点作流线，这些流线所构成的封闭管状面称为流管 流体质点只能在流管内部或沿流管表面流动，而不能穿破流管 流管3-2 流体运动的几个基本概念流管内部流动称为元流或微小流束恒定流时流管及元流的形状与位置不随时间改变当元流直径趋于0时，元流则变为流线元流具有一定边界和规模的实际流动称为总流总流可视为

7、无数个元流之和总流3-2 流体运动的几个基本概念4.流管、元流、总流、5.过水断面、流量与断面平均流速与元流或总流正交的横断面称为过水断面过水断面可以是平面，也可以是曲面，取决于流线过水断面单位时间内通过过水断面的流体体积称为流量，以Q表示流量的单位是米3/秒（m3/s）或升/秒（l/s）等，量纲为L3/T 流量断面平均流速3-2 流体运动的几个基本概念6. 均匀流与非均匀流均匀流各流线是平行直线 位于同一流线上各质点的流速大小和方向均相同 恒定流的当地加速度等于零，而均匀流的迁移加速度等于零流体的流动分为恒定均匀流，恒定非均匀流，非恒定非均匀流，非恒定均匀流四种情况在明渠流中，由于存在自由液

8、面，所以一般不存在非恒定均匀流这一情况3-2 流体运动的几个基本概念证明均匀流的特性：过水断面为平面，其面积和形状沿程不变同一流线上各点的流速相等，各过水断面上流速分布相同，平均流速相等过水断面上的流体动压强分布规律符合静压分布规律3-2 流体运动的几个基本概念6. 均匀流与非均匀流非均匀流流体流动的流线如果不是相互平行的直线，例如流线平行但不是直线、或流线是直线但不平行，这样的流动称为非均匀流。非均匀流过水断面上流体动压强分布不满足流体静压强规律 根据非均匀流中流线不平行和弯曲的急剧程度，又可分为:渐变流急变流 3-2 流体运动的几个基本概念6. 均匀流与非均匀流渐变流：流线曲率很小可近似为

9、直线，或流线间的夹角很小渐变流的极限情况为均匀流，近似均匀流渐变流过水断面上流体动压强分布可近似满足流体静压强的分布规律 3-2 流体运动的几个基本概念6. 均匀流与非均匀流3-2 流体运动的几个基本概念6. 均匀流与非均匀流急变流：流线曲率很大完全不为直线，或流线间的夹角很大。急变流因为其流线弯曲程度很大，沿垂直于流线的方向存在离心惯性力，使得过水断面上的流体动压强分布复杂，完全不满足流体静压强的分布规律。离心惯性力的作用，减少或增加了重力在压强分布上的作用8. 系统（System）和控制体（Control volume，简称CV） 系统是由确定的流体质点组成的流体团，在流动过程中其位置、体

10、积和形状可随时间变化，可与外界交换能量、动量，但与外界没有质量交换。系统是一个拉格朗日法的概念。 控制体是流场中一个给定的空间体积，其边界称为控制面（Control surface，简称CS）。控制体、控制面的位置、形状和大小不随时间变化，而流体能够出、入控制体，所以控制体与外界既有能量、动量交换，也有质量交换。控制体是欧拉法的概念3-2 流体运动的几个基本概念明槽流为河渠中的流动，有自由液面，无压流管流没有自由液面，有压流7. 管流（flow in closed conduit）与明槽流（open channel flow）3-3 连续性方程（1）在恒定流条件下，元流的形状与位置不随时间改变

11、（2）不可能有流体经元流侧面流进或流出（3）流体是连续介质，元流内部不存在空隙考虑下列因素根据质量守恒原理对于不可压缩的流体，密度1=2=常数 元流的连续性方程 1.恒定元流、总流的连续性方程不可压缩元流的流速与其过水断面积成反比，因而流线密集的地方流速大，而流线稀疏的地方流速小元流的连续性方程的物理意义 不可压缩恒定总流的连续性方程 不可压缩流体的恒定总流中，任意两过水断面，其平均流速与过水断面面积成反比 不可压缩恒定总流连续性方程的物理意义 3-3 连续性方程1.恒定元流、总流的连续性方程注意断面间是否有流量的变化，沿程有流量汇入或分出时,连续性方程需适当调整 汇流或分汊时的总流连续性方程

12、3-3 连续性方程1.恒定元流、总流的连续性方程1. 对于理想流体和实际流体都适用 2. 适用于恒定流 3.在边界固定的管流中的非恒定流，对于同一时刻的两过水断面仍然适用 适用条件例3-2流体一维流动的连续方程是流体力学的一个基本方程，它是质量守恒原理在流体力学中的应用3-3 连续性方程1.恒定元流、总流的连续性方程2. 连续性微分方程O:(x, y, z), ux , uy , uz ,(x, y, z) M:(x-dx/2, y, z)N:(x+dx/2, y, z)单位时间内左面流进脱离体的质量3-3 连续性方程单位时间内右面流出脱离体的质量单位时间沿x方向流出与流进六面体的质量差为 单

13、位时间沿y方向及z方向，流出与流进六面体的质量差为 单位时间内流出与流入六面体的质量差应等于六面体内因密度变化而减少的质量 3-3 连续性方程2. 连续性微分方程连续性微分方程的一般形式 化简3-3 连续性方程2. 连续性微分方程展开合并恒定流 不可压缩流体的连续性微分方程 对于不可压缩流体，单位时间单位体积空间内流出与流入的流体体积之差等于零，即流体体积守恒 物理意义恒定流、非恒定流，对于理想流体或实际流体都适用! 均质不可压缩的流体，3-3 连续性方程3-4 理想流体的运动方程 牛顿第二运动定律 推导理想流体三元流动的运动微分方程 x轴方向：受力分析，列方程 两边除以dxdydz，整理得

14、一、理想流体运动微分方程理想流体的运动微分方程，又称为欧拉运动微分方程 对于恒定流或非恒定流，对于不可压缩流体或可压缩流体都适用 对于流体平衡 欧拉平衡微分方程或3-4 理想流体的运动方程 一、理想流体运动微分方程理想流体的运动微分方程，又称为欧拉运动微分方程 二、理想流体运动微分方程的伯努力积分积分条件恒定流 两边同乘dt3-4 理想流体的运动方程 积分条件流体是均质不可压缩的，即=常数 质量力有势恒定流 两边同乘dt3-4 理想流体的运动方程 二、理想流体运动微分方程的伯努力积分积分条件沿流线积分 恒定流 3-4 理想流体的运动方程 二、理想流体运动微分方程的伯努力积分积分dxdydz（+

15、）积分理想流体的伯努力积分 使用积分条件对于不可压缩的理想流体，在有势的质量力作用下作恒定流时， 在同一条流线上值保持不变。 3-4 理想流体的运动方程 二、理想流体运动微分方程的伯努力积分三 理想流体伯努力方程（能量方程） 若作用在理想流体上的质量力只有重力 xyz理想流体的伯努力方程 适用条件：理想流体；恒定流；均质不可压缩；质量力只有重力；同一条流线上的两点或元流的两个断面。同一流线上 3-4 理想流体的运动方程 位置水头相对某个基准面单位重量流体具有的位能与基准面的选择有关z压强水头单位重量流体具有的压能与基准面的选择无关 测压管水头单位重量流体具有的势能与基准面的选择有关 流速水头单

16、位重量流体具有的动能与基准面的选择无关 总水头单位重量流体所具有的总机械能与基准面的选择有关 3-4 理想流体的运动方程 三 理想流体伯努力方程（能量方程）都是单位重量流体所具有的能量具有长度的量纲L （1）对理想流体恒定元流，各过水断面上的总水头为常数（2）各项能量可以相互转化，转化过程中，总水头相等3-4 理想流体的运动方程 三 理想流体伯努力方程（能量方程）测压管毕托管毕托管四 旋转参考系中的理想流体恒定元流能量方程3-4 理想流体的运动方程 流动现象描述流体质点受力分析 流体由半径为r1的圆周进入叶轮之间流动，由半径为r2的圆周离开叶轮，并随叶轮做等角速度旋转运动，旋转角速度为 流体在

17、两轮叶间的通道内沿流线流动 在流线1-2上取一点M，此处半径为r，流体质点相当于叶轮的速度为w 质点M所受的质量力包括离心力和重力 离心惯性力为四 旋转参考系中的理想流体恒定元流能量方程代入3-4 理想流体的运动方程 整理旋转参考系中不可压缩的理想流体相对运动的恒定元流能量方程3-5 实际流体的运动微分方程 一、粘性流体的应力正面负面粘性流体的流动存在切应力且各方向的压强不相等切应力分量的第一个下标代表切应力所在作用面的外法线方向，第二个下标表示该切应力的规定方向压强的方向则指向作用面正面与负面的应力互为作用力和反作用力，大小相同、方向相反切应力互等定理的证明3-5 实际流体的运动微分方程 一

18、、粘性流体的应力略去高阶微量，并化简，得同理可得3-5 实际流体的运动微分方程 一、粘性流体的应力应力张量（tensor of stress）只有六个独立的分量其中正应力以拉应力为正，所以对角线上的压强前有负号。二、实际流体的运动微分方程3-5 实际流体的运动微分方程 各项同除以dxdydz,得二、实际流体的运动微分方程3-5 实际流体的运动微分方程 同理可推导得二、实际流体的运动微分方程3-5 实际流体的运动微分方程 拉普拉斯（Laplace）算子 二、实际流体的运动微分方程3-5 实际流体的运动微分方程 Navier- Stokes Equations，简称N-S方程组求解困难：数学上，非

19、线性项的存在；实际水流，边界条件非常复杂 对于实际流体，需进一步考虑切应力的作用 实际流体的运动微分方程的一般形式纳维尔-斯托克斯(Navier-Stokes)方程 拉普拉斯（Laplace）算子 切应力作用的粘性项 求解困难：数学上，非线性项的存在；实际水流，边界条件非常复杂 3-5 实际流体的运动方程 二、实际流体运动微分方程（简版）边界条件（boundary condition）是流速或应力在流动区域的边界上需要满足的条件在固体边壁上要求粘性流体的速度与边壁速度相同 或者无滑移条件粘附条件 如果边壁静止，则 即如果是理想流体，因为不存在切应力，只要求 运动边界： 静止边界： 三、实际流体

20、运动微分方程的定解条件3-5 实际流体的运动方程 3-6 实际流体的能量方程表示总水头大小的液柱自由液面连起来测压管水头线 (Pressure Head Line)，记为PHL 表示总水头大小的液柱自由液面连起来总水头线(Total Head Line)，记为THL 一 实际流体元流的伯努利方程沿程下降沿程趋势不定基于渐变流渐变流是指诸流线接近于平行直线的流动 各流线的曲率很小（即曲率半径R很大）而且流线间的夹角也很小 性质1: 渐变流过水断面近似为平面性质2: 恒定渐变流过水断面上，动水压强的分布与静水压强的分布规律相同二 实际流体总流的伯努力方程3-6 实际流体的能量方程第一类积分将过水断

21、面取在渐变流上 单位时间内通过总流过水断面的流体势能二 实际流体总流的伯努力方程3-6 实际流体的能量方程第二类积分单位时间通过总流过水断面的流体动能 是实际动能与按断面平均流速计算的动能之比值流速分布较均匀时=1.051.10 在工程计算中常取=1动能修正系数二 实际流体总流的伯努力方程3-6 实际流体的能量方程二 实际流体总流的伯努力方程3-6 实际流体的能量方程第三类积分单位时间总流过水断面1-1与2-2之间的机械能损失 实际总流的伯努力方程（能量方程） 二 实际流体总流的伯努力方程3-6 实际流体的能量方程位置水头过水断面上的单位重量流体具有的平均位能 与基准面的选择有关z压强水头过水

22、断面上的单位重量流体具有的平均压能与基准面的选择无关 测压管水头单位重量流体具有的平均势能与基准面的选择有关 流速水头，过水断面上单位重量流体具有的平均动能与基准面的选择无关 hw水头损失 单位重量流体从一个过水断面流至另一个过水断面断面克服阻力作功所损失的平均能量二 实际流体总流的伯努力方程3-6 实际流体的能量方程总水头，单位重量流体所具有的平均总机械能与基准面的选择有关 重力对单位重量流体做的功动水压力对单位重量流体作的功阻力对单位重量流体做的功单位重量流体动能的变化所有外力在沿流动方向对单位重量流体所作的功等于该流体动能的增量 二 实际流体总流的伯努力方程3-6 实际流体的能量方程能量

23、方程说明能量可以相互转化，转化过程中，有能量损失流向12 如何判别流向？压强大压强小？流速大流速小？位置高位置低？不全面总机械能大总机械能小！即：H1H2，12；H1H2，21） 二 实际流体总流的伯努力方程3-6 实际流体的能量方程1. 流体流动必须是恒定流，而且是不可压缩流体（=常数）2. 作用在流体上的质量力只有重力 3. 建立能量方程的两个过水断面都必须位于均匀流或渐变流段，但该两个断面之间的某些流动可以是急变流 4. 两断面间流量不变 5. 两过水断面间除了水头损失以外，没有能量的输入或输出 （一般情况） 6. 两断面间必须具有上下游的关系总流伯努力方程的使用条件 二 实际流体总流的

24、伯努力方程3-6 实际流体的能量方程将渐变流过水断面取在已知参数较多的断面上，并使伯努力方程含有所要求的未知数 过水断面上的计算点，对于管流通常取在管轴线上 ，明渠流取在自由液面上 方程中动水压强p1与p2，可取绝对压强，也可取相对压强，但对同一问题必须采用相同的标准。在一般水力计算中，以取相对压强为宜 位置水头的基准面可任选，但对于两个过水断面必须选取同一基准面，通常使z0 总流伯努力方程的使用技巧二 实际流体总流的伯努力方程3-6 实际流体的能量方程例3-3例3-4两断面间有流量分出或汇入时的能量方程 两断面间有能量输入或输出时的能量方程 二 实际流体总流的伯努力方程3-6 实际流体的能量

25、方程3-7 恒定总流的动量方程镇墩F计算运动流体与固体边壁间的相互作用力 假定 （即方程的应用条件)（1）流体是均质不可压缩的，=C（2）流动是恒定流，其运动要素不随时间变化（3）脱离体两端的过水断面处于渐变流中 原理 动量定理：单位时间内物体动量的变化等于作用于 该物体上所有外力的总和 3-7 恒定总流的动量方程A2dA22222u1tu11A1dA11111xyz一、动量方程的推导3-7 恒定总流的动量方程取脱离体1-12-2不可压缩恒定总流的动量方程物理意义作用于脱离体的所有外力的总和单位时间内流出脱离体的流体所具有的动量单位时间内流入脱离体的流体所具有的动量单位时间内流出脱离体的流体所具有的动量减去流入脱离体的流体所具有的动量等于作用于脱离体的外力之和。 3-7 恒定总流的动量方程一、动量方程的推导实际应用中，一般采用分量的形式解题步骤及应注意的问题 1. 选择合适的脱离体所取的脱离体为水体，过水断面取在渐变流段；