特选八年级上数学-全等三角形典型例题(一)

1、八年级上数学-全等三角形典型例题(一)全等三角形典型例题：例1：把两个含有45角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F求证：AFBE AAFBCED练习1：如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点A的直线，BDAE，CEAE，如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。例2： DAC, EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,EE求证：1AE=BD； (2)CM=CN； (3) CMN为等边三角形；4MNBC。EEDDACBNM例3：10分，ABC中，BAC = 90，AB = AC，过A任作一直线l，作BDl于D，C

2、El于E，观察三条线段BD，CE，DE之间的数量关系如图1，当l经过BC中点时，DE = 1分，此时BD CE1分如图2，当l不与线段BC相交时，BD，CE，DE三者的数量关系为 ，并证明你的结论3分如图3，当l与线段BC相交，交点靠近B点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 证明你的结论4分，并画图直接写出交点靠近C点时，BD，CE，DE三者的数量关系为 1分ABCABCDElABClEDAlBC 图1 图2 图3练习1：以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形ABE和等边BCF，连结EF、EC。试说明：1EFEC；2EBCF练习2：如图1A、E、F、C在同一直线上

3、，AE=CF，过E、F分别作DEAC，BFAC假设AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。假设将 ABC的边EC经AC方向移动变为图2时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？图5例四：如图1，ACCE，AC=CE， ABC=CDE=90图5问BD=AB+ED吗?分析 ：1但凡题中的垂直往往意味着会有一组90角，得到一组等量关系；图6图63由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD。解答过程：得到ABCCDE之后，可得到BC=DE，AB=CD BC+CD=DE+AB等式性质图7 即：BD=AB+DE图

4、7变形1：如图7， 如果ABCCDE，请说明AC与CE的关系。注意：两条线段的关系包括：大小关系相等，一半，两倍之类位置关系垂直，平行之类变形2：如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FAAE交CB的延长线于点F， 求证：DE=BF分析：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。变形3：如图8，在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点A的直线，BDAE，CEAE，图8图8分析 ：说明相等的边所在的三角形全等，题中“AB=AC，发现：AB在RtABD中，AC在RtCAE中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt全等如图9于是：已经存在了两组等量

5、关系：AB=AC，直角=直角，再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。 解：由题意可得：在RtABD中，1+ABD=90直角三角形的两个锐角互余1图9 又 BAC=90， 即1+1图9 ABD=CAE等角的余角相等 故在ABD与CAE中， BDA=AEC=90垂直定义ABD=CAE已求 AB=AC ABDCAEAAS AE=BD=7，AD=EC=3 全等三角形的对应边相等 DE=AEAD=73=4变形4：在ABC中，ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。1当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道

6、理吗？2当直线MN绕点C旋转到图10的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。图12图113当直线MN绕点C旋转到图11的位置时，试问DE，AD，图12图11图图1012等腰三角形、等边三角形的全等问题12必备知识：如右图，由1=2，可得CBE=DBA；反之，也成立。例五：在ABC中，AB=AC，在ADE中，AD=AE，且1=2，请问BD=CE吗？分析这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边， 题目中所给的ABC与ADE是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起，加上所求的“BD=CE，你会发现BD在

7、ABD中，CE在ACE中，这样一来，“AB=AC可以理解为：AB在ABD中，AC在ACE中，它们是一组对应边； “AD=AE可以理解为：AD在ABD中，AE在ACE中，它们是一组对应边；2121图13关键还是在于：说明“相等的边角所在的三角形全等 解： 1=2 1+CAD=2+CAD等式性质 即： BAD=CAE 在ABD与ACE中， AB=AC BAD=CAE已求 AD=AE21图14 ABD21图14 BD=CE全等三角形的对应边相等变形1：如图14，BAC=DAE，1=2，BD=CE，请说明ABDACE.吗？为什么？分析：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用SAS说明全等， 此题是两

8、组角相等，那么该如何做呢?变形2：过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。图15分析：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把BD看成在ABD的一边，CE看成ACE的一边，自然就得到了证明的方向。图15 解：ABC与ADE是等边三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60 BAC+CAD=DAE+CAD等式性质 即： BAD=CAE接下来的过程与例三完全一致，不予描述！ 接下来的过程与例三完全一致，不予描述！图16变形3：如图1618，还是刚刚的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，连接BD，CE，请说明它

9、们相等图16 这里仅以图17进行说明 解： ABC与ADE是等边三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60图17BACCAD=DAECAD【仅这步有差异】图17即：BAD=BAD=CAE 在ABD与ACE中， AB=AC BAD=CAE已求 AD=AE图18 ABDACESAS图18 BD=CE全等三角形的对应边相等 图16，图18的类型，请同学们自己去完成变形4：如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N求证：；分析：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60换成直角了，思路一样例六： 如图，ABC中，C=90，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MNAB.求