二次函数压轴题-特殊四边形问题（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册（人教版）

1、22.43 二次函数压轴题-特殊四边形问题（专项练习）如图，二次函数的图象交x轴于点，交y轴于点C点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P仅在线段上运动，如图1求线段的最大值；若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由 2如图，抛物线yx2bxc与x轴相交于A（1，0），B（5，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD5，CD8，将RtACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线

2、上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由3在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC.(1)若抛物线过点C、A、A，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标； (3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐

3、标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图像于点，点在该二次函数的图像上，设过点（其中）且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形（1）若点的横坐标为8用含的代数式表示的坐标；点能否落在该二次函数的图像上？若能，求出的值；若不能，请说明理由；（2）当时，若点恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式 5如图，在平面直角坐标系中，直线y3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A

4、右侧）（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由6如图，抛物线与轴交于，与轴交于点已知直线过两点（1）求抛物线和直线的表达式；（2）点是抛物线上的一个动点，如图，若点在第一象限内，连接，交直线于点设的面积为，的面积为，求的最大值；如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作，垂足为点是对称轴上的一个动点，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求

5、出点的坐标；若不存在，请说明理由7 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将OAP沿着OP折叠，点A落在点A的位置，当点A在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件

6、的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？ 8如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180，得到新的抛物线C（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的对应点P，设M是C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形PMPN能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由 9如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+

7、2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tanOAC=（1）求抛物线的解析式；（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HNx轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 10在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，我们就说其中一条抛物线是另一条抛物线的“友好抛物线”，（1）若抛物线的“友好抛物线”为，则与的数量关系为 与的数量关系为 （2）若抛物线的“友好抛物线”为，则与的数量关系为 与的数量关系为 （3）由以上分析

8、，我们可以得到抛物线：的“友好抛物线”为： 如图，若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，直线与抛物线相交于点、（点在点左侧），与抛物线相交于点、（点在点左侧）若四边形为菱形，求线段的长（提示：已知直线和 ），若，则两直线垂直）；当四边形的面积为时，求的值11如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴

9、上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由12如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒当t为何值时，四边形OMPN为矩形当t0时，BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由 13如图，抛物线与

10、x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为，点C的坐标为，直线1经过B，C两点（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由14如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；（3

11、）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由 16如图1，抛物线 与轴交于A,B两点，与轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，点P是直线EO上

12、方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若不存在，请说明理由. 17已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点（1）求抛物线的解析式和直线的解析式（2）在抛物线上两点之间的部分（不包含两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（3）若点在抛物线上，点在轴

13、上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标如图，已知直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于、两点，点为抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，垂足为（1）求抛物线的解析式；（2）当点位于抛物线对称轴右侧时，点为抛物线对称轴左侧一个动点，过点作轴，垂足为点若四边形为正方形时求点的坐标；（3）若是以点为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点的横坐标 19已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，（1）求二次函数的表达式；（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点到直线的距离取得最大值时点的坐标；（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点使以

14、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）20如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2（a0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（，0），直线BC的解析式为（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD/BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y=ax2+bx+2（a0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2（a0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，

15、E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由 21如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当PAB面积最大时，求点P的坐标及PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与

16、x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积. 23如图，直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点E的坐标和BEC面积的最大值；（3）

17、在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由24已知函数均为一次函数，m为常数（1）如图1，将直线绕点逆时针旋转45得到直线，直线交y轴于点B若直线恰好是中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；（2）若存在实数b，使得成立，求函数图象间的距离；（3）当时，函数图象分别交x轴，y轴于C，E两点，图象交x轴于D点，将函数的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数图象上，设的图象，线段，线段围成的图形面积为S，

18、试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01） 25如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点；是直线上的一点，其纵坐标为，以，为边作矩形（1）求的值（2）当点与点重合时，求的值（3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围 如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（

19、0，6）三点（1）求抛物线的解析式（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 27如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相

20、交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由参考答案1（1）；（2），存在，【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；（2）由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可【详解】解：（1）把代入中，得 解得（2）设直线的表达式为，把代入得，解这个方程组，得 点是x轴上的一动点，且轴 ，此函数有最大值又点P在线段上运动，且当时，有最大值 点是x轴上的一动点，且轴 （i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有M

21、N=MC，如图，C（0，-3）MC= 整理得， ，解得，当时，CQ=MN=，OQ=-3-()=Q(0，)；当m=时，CQ=MN=-，OQ=-3-(-)=Q(0，)；(ii)若，如图，则有整理得， ，解得，当m=-1时，MN=CQ=2，Q（0，-1），当m=-5时，MN=-100（不符合实际，舍去）综上所述，点Q的坐标为【点拨】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏2（1）yx24x5（2）m的值为7或9（3）Q点的坐标为（2，7）或（6，7）或

22、（4，5）【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C，则C点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EFx轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得PQNEFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q

23、点的坐标【详解】（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A（1，0），B（5，0）两点，解得，抛物线解析式为y=x2+4x+5；（2）AD=5，且OA=1，OD=6，且CD=8，C（6，8），设平移后的点C的对应点为C，则C点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=x2+4x+5，解得x=1或x=3，C点的坐标为（1，8）或（3，8），C（6，8），当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，m的值为7或9；（3）y=x2+4x+5=（x2）2+9，抛物线对称轴为x=2，可设P（2，t），由（2）可知E点坐标为（1，8），当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EFx轴于点

24、F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，则BEF=BMP=QPN，在PQN和EFB中PQNEFB（AAS），NQ=BF=OBOF=51=4，设Q（x，y），则QN=|x2|，|x2|=4，解得x=2或x=6，当x=2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=7，Q点坐标为（2，7）或（6，7）；当BE为对角线时，B（5，0），E（1，8），线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），设Q（x，y），且P（2，t），x+2=32，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，Q（4，5）；综上可知Q点的坐标为（2，7）或（6，7）或（4，5）考点：

25、二次函数综合题3（1）yx23x4.；（2）x2时，AMA的面积最大，最大值为8， M(2，6)（3）P1（0，4），P2（3，4），P3（，4），P4（，4）；点N的坐标为：（0，0）或（3，0）【详解】试题分析：（1）先由OAOA得到点A的坐标，再用点C、A、A的坐标即可求此抛物线的解析式；（2）连接AA, 过点M 作MNx轴，交AA于点N,把AMA分割为AMN和AMN, AMA的面积AMA的面积AMN的面积OAMN,设点M的横坐标为x，借助抛物线的解析式和AA的解析式，建立MN的长关于x的函数关系式，再据此建立AMA的面积关于x的二次函数关系式，再求AMA面积的最大值以及此时M的坐标；（

26、3）在P、N、B、Q 这四个点中，B、Q 这两个点是固定点，因此可以考虑将BQ作为边、将BQ作为对角线分别构造符合题意的图形，再求解.试题解析：（1）平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC，点A的坐标是（0，4），点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（1，4）.抛物线过点C，A，A，设抛物线的函数解析式为yax2bxc（a0）,可得：. 解得：.抛物线的函数解析式为yx23x4.（2）连接AA，设直线AA的函数解析式为ykxb，可得.解得：.直线AA的函数解析式是yx4.设M（x，x23x4），SAMA4x23x4一（一x4）一2x28x一2（x2）28.x2时，AMA

27、的面积最大SAMA8M（2，6）.（3）设P点的坐标为（x，x23x4），当P、N、B、Q构成平行四边形时，当BQ为边时，PNBQ且PNBQ，BQ4，一x23x44.当一x23x44时，x10，x23，即P1（0,4），P2（3，4）；当一x23x4一4时，x3，x4，即P3（,4），P4（，4）；当BQ为对角线时，PBx轴，即P1（0，4），P2（3，4）;当这个平行四边形为矩形时，即Pl（0，4），P2（3，4）时，N1（0，0），N2（3，0）.综上所述，当P1（0，4），P2（3，4），P3（,4），P4（，4）时，P、N、B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N1（0，0）

28、，N2（3，0）.考点：二次函数综合题.4（1）；能，；（2）或【分析】（1）求出点的坐标，直线直线的解析式即可解决问题求出直线的解析式，求出点的坐标，利用矩形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出的值即可（2）分两种情形：当点在轴的右侧时，设，求出点的坐标利用待定系数法构建方程求出即可当点在轴的左侧时，即为中点的位置，利用中结论即可解决问题【详解】解：（1）点在的图象上，横坐标为8，直线的解析式为，点的纵坐标为，；假设能在抛物线上，直线的解析式为，点在直线上，纵坐标为，的中点的坐标为，把点坐标代入抛物线的解析式得到（2）当点在轴右侧时，设，所以直线解析式为，直线的解析式为，可得，代入抛物线

29、的解析式得到，解得，直线的解析式为当点在轴左侧时，即为中点位置，直线的解析式为；综上所述，直线的解析式为或【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题5（1），B(3, 0)；（2）；（3）不存在，理由见解析【详解】.解：(1) 当y0时， A(1, 0) 当x0时， C(0,3) 抛物线的解析式是： 当y0时， 解得： x11 x23 B(3, 0) （2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,3) 直线BC的解析式是：设M（x,x-3）(0 x3),则E（x,x2-2x-3）M

30、E=(x-3)-( x2-2x-3)=-x2+3x =当 时，ME的最大值 （3）答：不存在. 由（2）知 ME 取最大值时ME，E，MMF，BF=OB-OF=. 设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，则BPMF，BFPM. P1或 P2当P1时，由（1）知 P1不在抛物线上. 当P2时，由（1）知 P2不在抛物线上. 综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.6（1），；（2）；存在，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)【分析】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入可求得抛物线的表达式，再求得点C

31、的坐标，把B(3，0)，C的坐标代入即可求解；（2）设点D的坐标为(，)，利用待定系数法求得直线PA的表达式为，解方程，求得点P的横坐标为，利用平等线分线段成比例定理求得，得到，整理得（t+1）m2+（2t-3）m+t=0，根据0，即可解决问题根据等腰直角三角形的性质求得点的坐标为(2，)，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解【详解】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入得：，解得：，抛物线的表达式为，令，则，点C的坐标为(0，3)，把B(3，0)，C(0，3)代入得：，解得：，直线的表达式为；（2）PA交直线BC于点，设点D的坐标为(，)，设直线PA的表达式为，解得：，直线P

32、A的表达式为，整理得：，解得：(不合题意，舍去)，点D的横坐标为，点P的横坐标为，分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图：DMPN，OM=，ON=，OA=1，设整理得，（t+1）m2+（2t-3）m+t=0，0，（2t-3）2-4t（t+1）0，解得 有最大值，最大值为；存在，理由如下：作于G，如图，的对称轴为：，OE=1，B(3，0)，C(0，3)OC=OB=3，OCB=90，OCB是等腰直角三角形，EFB=90，BE=OB-OE=2，OCB是等腰直角三角形，EG=GB=EG=1，点的坐标为(2，)， 当EF为边时，EFPQ为平行四边形，QE=PF，QEPF轴，点P的横坐标与点F

33、的横坐标同为2，当时，点P的坐标为(2，)，QE=PF=3-1=2，点Q的坐标为(1，2)；根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形当EF为对角线时，如图，四边形PEQF为平行四边形，QE=PF，QEPF轴，同理求得：点P的坐标为(2，)，QE=PF=3-1=2，点Q的坐标为(1，)；综上，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)，P（0，3）时，Q（1，4）时；【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的

34、对边的判定和性质，（3）注意要分AB是对角线与边两种情况讨论7（1）x=m，y=n，y=x+nm，y=x+m+n；（2）；（3）抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上【详解】试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可试题解析：解：（1）点D（m，n），点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+nm，y=x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，nm=1，n=m+1抛物线解析式为，四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），B（2m

35、，2m），将n=m+1带入得到m=2，n=3；D（2，3），抛物线解析式为（3）如图，当点A在平行于y轴的D点的特征线时：根据题意可得，D（2，3），OA=OA=4，OM=2，AOM=60，AOP=AOP=30，MN=，抛物线需要向下平移的距离=如图，当点A在平行于x轴的D点的特征线时，设A（p，3），则OA=OA=4，OE=3，EA=，AF=4，设P（4，c）（c0），在RtAFP中，（4）2+（3c）2=c2，c=，P（4，），直线OP解析式为y=x，N（2，），抛物线需要向下平移的距离=3=综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，

36、正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标8（1）；（2）2m；（3）m=6或m=3【分析】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为，把A（，0）代入可得a=，由此即可解决问题；（2）由题意抛物线C的顶点坐标为（2m，4），设抛物线C的解析式为，由，消去y得到，由题意，抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMPN能成为正方形作PEx轴于E，MHx轴于H由题意易知P（2，2），当PFM是等腰直角三角形时，四边形PMPN是正方形，推出PF=FM，PFM=90，易证PFEFMH，可得PE=FH

37、=2，EF=HM=2m，可得M（m+2，m2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMPN是正方形，同法可得M（m2，2m），利用待定系数法即可解决问题【详解】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为，把A（，0）代入可得a=，抛物线C的函数表达式为（2）由题意抛物线C的顶点坐标为（2m，4），设抛物线C的解析式为，由，消去y得到 ，由题意，抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解得2m，满足条件的m的取值范围为2m（3）结论：四边形PMPN能成为正方形理由：1情形1，如图，作PEx轴于E，MHx轴于H由题意易知P（2，2），当PFM

38、是等腰直角三角形时，四边形PMPN是正方形，PF=FM，PFM=90，易证PFEFMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2m，M（m+2，m2），点M在上，解得m=3或3（舍弃），m=3时，四边形PMPN是正方形情形2，如图，四边形PMPN是正方形，同法可得M（m2，2m），把M（m2，2m）代入中，解得m=6或0（舍弃），m=6时，四边形PMPN是正方形综上所述：m=6或m=3时，四边形PMPN是正方形9(1)y=x2x+3；(2)；(3)存在，点M的坐标是（4，0），（，），（，）或（2，0）【分析】（1）由点C的坐标以及tanOAC=可得出点A的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法即可

39、求出抛物线的解析式；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设N（x，0）（4x0），可找出H、P的坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题；（3）过点M作MKy轴于点K，交对称轴于点G，根据角的计算依据正方形的性质即可得出MCKMEG（AAS），进而得出MG=CK设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标，由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可求出x值，将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标【详解】解：（1）C（0，3），OC=3，tanOAC=，OA=

40、4，A（4，0）把A（4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，得，解得：，抛物线的解析式为y=x2x+3（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，得：，解得：，直线AC的解析式为y=x+3设N（x，0）（4x0），则H（x，x+3），P（x，x2x+3），PH=x2x+3（x+3）=x2x=（x2）2+，0，PH有最大值，当x=2时，PH取最大值，最大值为（3）过点M作MKy轴于点K，交对称轴于点G，则MGE=MKC=90，MEG+EMG=90，四边形CMEF是正方形，EM=MC，MEC=90，EMG+CMK=90，MEG=CMK在MC

41、K和MEG中，MCKMEG（AAS），MG=CK由抛物线的对称轴为x=1，设M（x，x2x+3），则G（1，x2x+3），K（0，x2x+3），MG=|x+1|，CK=|x2x+33|=|x2x|=|x2+x|，|x+1|=|x2+x|，x2+x=（x+1），解得：x1=4，x2=，x3=，x4=2，代入抛物线解析式得：y1=0，y2=，y3=，y4=0，点M的坐标是（4，0），（，），（，）或（2，0）【点拨】本题考查二次函数综合题10（1），；（2），；（3）；【分析】（1）直接根据题意进行解答即可；（2）根据题中所给定义可直接进行解答；（3）由（1）（2）易得的解析式，由的解析式先求出点

42、E、F坐标，进而可得直线EF的解析式，当四边形为菱形时，直线经过原点，则可求AD解析式，设点，点，进而根据根与系数的关系及两点之间的距离公式可进行求解；由题意可得，则四边形为平行四边形，设点，当四边形的面积为时，如图，过点作轴于点，进而可得点必在第一象限，过点作轴交于点，过点作轴于点，然后由面积法及代入的解析式可进行求解【详解】解：（1），；（2），；（3）点点易得直线的解析式为当四边形为菱形时，直线经过原点易得直线的解析式为由题意可设点，点当时得，由题意可得，四边形为平行四边形设点当四边形的面积为时，如图，过点作轴于点点不可能位于轴下方即点必在第一象限过点作轴交于点过点作轴于点又点在抛物线上

43、由式得得点在点左侧将代入式解得【点拨】本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的关键11（1）A（1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，4）【分析】（1）在中，令y=0，得到，得到A（1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EFy轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF=，SACESAFESCFE，故ACE的面积的最大值为，而ACE的面积的最大值为，所以 ，解得；（3）令，即，解得，得到D（4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（

44、1，m），然后分两种情况讨论：若AD是矩形的一条边，若AD是矩形的一条对角线【详解】解：（1）=，令y=0，得到，A（1，0），B（3，0），直线l经过点A，令，即，CD4AC，点D的横坐标为4，直线l的函数表达式为；（2）过点E作EFy轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF=，SACESAFESCFE ，ACE的面积的最大值为，ACE的面积的最大值为， ，解得；（3）令，即，解得，D（4，5a），抛物线的对称轴为，设P（1，m），若AD是矩形的一条边，则Q（4，21a），m21a5a26a，则P（1，26a），四边形ADPQ为矩形，ADP90，即 ，P1（1，）；若AD是矩形的一条

45、对角线，则线段AD的中点坐标为（ ，），Q（2，），m，则P（1，8a），四边形APDQ为矩形，APD90，即 ，P2（1，4）综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）考点：二次函数综合题12（1），B点坐标为（3，0）；（2）；【分析】（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；（2）用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；由题意可知OB=OA，故当BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示

46、出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值【详解】（1）抛物线对称轴是直线x=1，=1，解得b=2，抛物线过A（0，3），c=3，抛物线解析式为，令y=0可得，解得x=1或x=3，B点坐标为（3，0）；（2）由题意可知ON=3t，OM=2t，P在抛物线上，P（2t，），四边形OMPN为矩形，ON=PM，3t=，解得t=1或t=（舍去），当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；A（0，3），B（3，0），OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=x+3，当t0时，OQOB，当BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，Q（2t，2

47、t+3），OQ=，BQ=|2t3|，又由题意可知0t1，当OB=QB时，则有|2t3|=3，解得t=（舍去）或t=；当OQ=BQ时，则有=|2t3|，解得t=；综上可知当t的值为或时，BOQ为等腰三角形13（1）；（2），；（3）存在，或1【分析】（1）将点，点代入中，即可求解析式；（2）求出BC的直线解析式为，设，则，所以，即可求面积的最大值；（3）设，当时，可求P点横坐标；当时，可求P点横坐标【详解】解：（1）将点，点代入中，则有，；（2），对称轴为，轴，点，点，的直线解析式为，设，交线段BC于点F，当时，四边形ECFD的面积最大，最大值为；此时；（3）设，当时，点横坐标为1；当时，或（舍

48、），点横坐标为综上所述：P点横坐标为或1【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握矩形的性质是解题的关键14（1），函数的对称轴为：；（2）点；（3）存在，点的坐标为或【分析】根据点的坐标可设二次函数表达式为：，由C点坐标即可求解；连接交对称轴于点，此时的值为最小，即可求解；，则，将该坐标代入二次函数表达式即可求解【详解】解：根据点,的坐标设二次函数表达式为：，抛物线经过点，则，解得：，抛物线的表达式为： ，函数的对称轴为：；连接交对称轴于点，此时的值为最小，设BC的解析式为：，将点的坐标代入一次函数表达式：得：解得：直线的表达式为：，当时，故点； 存在，理由：四边形是

49、以为对角线且面积为的平行四边形，则 ，点在第四象限，故：则，将该坐标代入二次函数表达式得：，解得：或，故点的坐标为或【点拨】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中，求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法15（1）抛物线的解析式为：（2）P（2，）（3）存在点N的坐标为（4，），（，）或（，）【分析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），再把A（1，0），B（5，

50、0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：y=x22x；（2）抛物线的解析式为：y=x22x，其对称轴为直线x=2，连接BC，如图1所示，B（5，0），C（0，）设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），解得，直线BC的解析式为y=x，当x=2时，y=1=P（2，）；（3）存在如图2所示，当点N在x轴下方时

51、，抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，）N1（4，）；当点N在x轴上方时，如图2，过点N2作N2Dx轴于点D，在AN2D与M2CO中，AN2DM2CO（ASA）N2D=OC=，即N2点的纵坐标为x22x=，解得x=2+或x=2，N2（2+，），N3（2，）综上所述，符合条件的点N的坐标为N1（4，），N2（2+，）或N3（2，）考点：二次函数综合题 16（1）抛物线解析式为y=x2x+2；（2）l=（m+）2+ ，最大值为；（3）（2，）或（4，）或（2，2）【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知PGH=

52、45，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得MFNAOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标【详解】解：（1）矩形OBDC的边CD=1，OB=1，AB=4，OA=3，A（3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，抛物线解析式为y=x2x+2；（2）在y=x2x+2中，令y=2可得2=x2x+2，解得x=0或

53、x=2，E（2，2），直线OE解析式为y=x，由题意可得P（m，m2m+2），PGy轴，G（m，m），P在直线OE的上方，PG=m2m+2（m）=m2m+2=（m+）2+，直线OE解析式为y=x，PGH=COE=45，l=PG=（m+）2+=（m+）2+，当m=时，l有最大值，最大值为；（3）当AC为平行四边形的边时，则有MNAC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则ALF=ACO=FNM，在MFN和AOC中 MFNAOC（AAS），MF=AO=3，点M到对称轴的距离为3，又y=x2x+2，抛物线对称轴为x=1，设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解

54、得x=2或x=4，当x=2时，y=，当x=4时，y=，M点坐标为（2，）或（4，）；当AC为对角线时，设AC的中点为K，A（3，0），C（0，2），K（，1），点N在对称轴上，点N的横坐标为1，设M点横坐标为x，x+（1）=2（）=3，解得x=2，此时y=2，M（2，2）；综上可知点M的坐标为（2，）或（4，）或（2，2）考点：二次函数综合题17（1）抛物线的表达式为：，直线的表达式为：；（2）存在，理由见解析；点或或或【分析】（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；（2）SDAC=2SDCM，则，即可求解；（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，

55、分别求解即可【详解】解：（1）二次函数表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：，则点，将点的坐标代入一次函数表达式并解得：直线的表达式为：；（2）存在，理由：二次函数对称轴为：，则点，过点作轴的平行线交于点，设点，点，则，解得：或5（舍去5），故点；（3）设点、点，当是平行四边形的一条边时，点向左平移4个单位向下平移16个单位得到，同理，点向左平移4个单位向下平移16个单位为，即为点，即：，而，解得：或4，故点或；当是平行四边形的对角线时，由中点公式得：，而，解得：，故点或；综上，点或或或【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等

56、，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏18（1）抛物线的解析式为；（2）四边形为正方形时点的坐标为和；（3）点的横坐标为2或1或或.【分析】（1）先由二次函数解析式求出C点坐标，进而求出一次函数解析式，再求出B点坐标，最后把A、B坐标代入抛物线解析式解方程即可；（2）四边形为正方形时，轴，且P、Q两点关于对称轴对称，设出P点坐标，表示出，解方程即可；（3）由是以点为顶角顶点的等腰直角三角形，可得QPF=PEB,即轴，可得P、Q两点关于对称轴对称，设，用分别表示Q、F坐标即可，最后根据PQ=PF列方程计算即可解题.【详解】（1）抛物线经过点，则点坐标为(0，3)，代入可得，则直线的解析式为.直线

57、经过点，则点坐标为(3，0)将点、代入抛物线解得，抛物线的解析式为.（2）抛物线的对称轴为.四边形为正方形，轴.点与点关于直线对称.设点，则，.，解得：或（舍去）或或（舍去）当时，点，当时，点，四边形为正方形时点的坐标为和（3）点的横坐标为2或1或或.是以点为顶角顶点的等腰直角三角形QPF=PEB=90轴点与点关于直线对称.设点，则，.，解得：或或或综上所述，点的横坐标为2或1或或.【点拨】本题是二次函数综合题，熟记一次函数、正方形、等腰三角形的性质是解题的关键，难度一般，但是计算量比较大，需要注意.19（1）；（2）（，）；（3）（-2，-3）或（0，-3）或（2，5）.【分析】（1）把A,

58、C点带入方程，列方程组即可求解；（2）根据题意得出当点到直线的距离取得最大值时，求出AC表达式，将直线AC向下平移m（m0）个单位，得到直线l，当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，联立直线l和二次函数表达式，得到方程，当方程有两个相同的实数根时，求出m的值，从而得到点D的坐标；（3）分当OB是平行四边形的边和OB是平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求出点N的坐标即可.【详解】解：（1）将B（1，0），带入函数关系式得，解得：，二次函数表达式为：；（2）当点到直线的距离取得最大值时，A（-3，0），设直线AC的表达式为：y=kx+n，将A和C

59、代入，解得：，直线AC的表达式为y=-x-3，将直线AC向下平移m（m0）个单位，得到直线l，当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，此时直线l的表达式为y=-x-3-m，联立：，得：，令=，解得：m=，则解方程：，得x=，点D的坐标为（，）；（3）M在抛物线对称轴上，设M坐标为（-1，t），当OB为平行四边形的边时，如图1，可知MN和OB平行且相等，点N（-2，t）或（0，t），代入抛物线表达式得：解得：t=-3，N（-2，-3）或（0，-3）；当OB为平行四边形对角线时，线段OB的中点为（，0），对角线MN的中点也为（，0），M坐标为（-1，t），

60、可得点N（2，-t），代入抛物线表达式得：4+4-3=-t，解得：t=-5，点N的坐标为（2，5），综上：以为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2，5）.【点拨】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数表达式，二次函数与一元二次方程的关系，平行四边形的性质，最值问题，解题的关键是要结合函数图像，得到结论.20（1）；（2）四边形BECD面积的最大值为，E（，）；（3）存在N的坐标为（，）或（，）或（，）【分析】（1）由直线解析式求得B、C两点坐标，结合A点坐标利用待定系数法进行求解即可；（2）易求AD的解析式为，进而D（，）求得CD的解析式为，进而求出CD与