常微分方程课后答案(第三版)王高雄

1、常微分方程习题 2.1dy 2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1.。dx解：对原式进行变量分离得1dy 2xdx ,两边同时积分得： lny1yc 1,故它的特解为y e x 2 。x2 c ,y c e x 2 x 0, y 1代入得2dx (x 1)dy 0, 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.解：对原式进行变量分离得：1x dx 1 dy,y 时，两边同时积分得lnx1 y 21 c,即y 1c 1c ln x 11当y x y c 故特解是1y 。1 ln1 x3dy 1 y2dxxy x3 y解：原式可化为：2dy 1 y 211 y2 0,故分离变量得 ydy 1dxd

2、xyxx3y1 y2x x31 ln12y2 lnx ln1 x2121lnc(c 0),y2)1 x2) cx2故原方程的解为y21 x2) cx21 x)ydx1 y)xdy 0y 或x xy 时，变量分离1 x dx 1 y dy 0 xy两边积分lnx xlny y c,即lnxy x y c,故原方程的解为ln xy x y cy x 0.5 : ( y x)dy ( y x)dx 0dyy xydydu解： , 令 u, yux, u x1dxy xxdxdx1则u x du u 1,u 1du dxdxu 1两边积分得：arctguu2 1 x1ln1u2)lnx。2 dydx

3、y x2 y2解：令 y u, y ux, dy u x2 y2x2x2 1u2)du 11dxx,分离变量得：du sgnxdx1u2 xcarcsinu sgnxlnx c代回原来变量，得arcsiny sgnxlnx cxcy2 x2也是方程的解。7：tgydx ctgxdy 0解：变量分离，得：ctgydy tgxdxlnsin ylncosx.8 : dy ey23xdxy解：变量分离，得dy 3x cy1ey2 3y19 : x(ln x ln y)dy ydx 0y dy y dx 0 xx令u y1lnud ln uxx1lnu代回原变量得：cy 1 ln y 。xdy1： e

4、xydydx解：变量分离eydy ex dx两边积分ey ex cdy exydxey dy ex dxey excdydx(xy)2解：令x y t,dy dt 1dxdxdt1原方程可变为： 1dxt2变量分离得：1dt dx,两边积分arctgt xct2 1代回变量得：arctg(x y) x cdy 1dx(x y)2解令x y t，则dy dt dt 1 1dxdxdxt2变量分离 t2dt dx，两边积t arctgt xc，代回变量t 2 1x y arctg(x y) x cdy 2x y 1dxx2y12x y 1 x 2 y 1 x 1 y 1令x X 1 , y Y 1

5、 ,dY 332X Y 33dXX 令 Y U，则方程可化为：XdU 2 2XdX1 变量分离14, dy dxx y 5 x y 2解：令x y 5t,dydx 1 dt ,dx原方程化为1 dtdxtt 7, 变量分离(t 7)dt 7dx两边积分1t2 t 7xc2代回变量1(xy)27(x y ) 7x.2dy15dx (x 1)2 (4 y 1)2 8xy 1dy解：方程化为dydx x2 2x 1 16 y 2 8y 1 8xy 1 (x 4 y 1)2 2dydu1 du91 x 4y u，则关求导14dx，所以dx4 dx u2 ，4分离变量1du dx，两边积分arctg(

6、2 x8 y) 6xc，是22 92原方程的解。33316dy dxy 6 2x22xy5 x 2 y 2解：dy(y3)2 2x2dy3y3)2 2x2dx y 2 (2xy3 x 2 dx2xy3 xy u，则原方程化为2 6du 2 6xdx2xu x2x2， 这 是 齐 次 方 程 ， 令2 u 1xu z，则du zx dz，所以3z2 6 zx dz，x dz z2 z6xdxdx2z 1dxdx2z 1当z 2 z 6 0，得z 3或z 2是（1）方程的解。即y 3 3x或y 3 2x是方程的解。2z11当z 2 z 6 0时，变量分离z 2z dz dx，两边积分的（z 3)7

7、 (z 2)3 x x5 c,即（y3 3x)7 y3 2x)3 x5 c，又因为y3 3x或y3 2x包含在通解中当c 时。故原方程y 3 3x)7 y 3 2x)3 x15 c17.dy 2x3 3xy xdx3x2 y2y3 ydy x(2x2 3y2 ; dy2 2x2 3y2 1dxy(3x22y1)dx23x 2 y 2 1令y2 u,;x2 v;则du 2v 1dv 12v 1 0方程组的解为）；ZvYu ， 1 02 3 y则有2z 3y 0，从而方程化为dy zy3z 2 y 0令dz3 2zdydtdt2dt2 2t ，则有 t z，所以t z，z(2)dzdzdz3dz3

8、 当2 2t 2 时，即t ，是方程的解。得y 2 x 2 或y 2 x 2是原方程的解当3122 时，分离变量得dt dz两边积分y2 2zx(yx 2)5 c另外y 2 x 2 y 2 x ，包含在其通解中，故原方程的解为y 2 x 2 y 2 x 2 2)5 cx dy f (xy)经变换xy u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程ydx.y1 x2 y2)dx xdy(2). x dy 2 x 2 y 2y dx2x2 y2xy u,x求y x dy dy 所以x dy du y得：1 dudxdxdxdx1 f(u),du u (f(u) 1) 1 (uf(u) u)y dxdx

9、y(f(u) 1)xx故此方程为此方程为变程。(1)当x 或y 是原方程的解，当 xy x dy时，方程化为1x2 y2y dxduxy u,则方程化为(2uu3),变量分离得：du 1dxdudxx2uu3 xu2y2两边同时积分得： cx4,即cx2,y 也包含在此通解中。u2 2x2 y2 2y2y故原方程的解为原yx22 2cx2,x 0.解(2)令xy u，则原方程化为du 1 (u 2 u 2 u)12 u 24udu dxx2u2yx1dx，两边积分得lnyxxx 2 y 24x 2 u2c，这也就是方程的解。已知f(x)f (x)dt 1, x 0, 试求函数f (x)的一般表达式.0 f (x) f (x)dt 01y y2 y1y1dy11 11 y 3 ; dx dxy3dy;两边积分得x c ;所以y 2x c2x c2x c把y 2x c代入0f (x)dt 1y12t cx2t cx0dt 2x c;(c ) 2xc得c 所y 1求具有性质 x(t) x(s) 的函数x(t),已知x(0)存在。1 x(t)x(s)解令t=s=0 x(0) x(0) =2x(0)若x(0) 0 得x2=-1 矛盾。1 x(0)1 x(0)x(0)所以x(0)=0. x(t)=limx(t t) x(t) limx(t)(1 x 2 (t) x(