第11讲 圆中的线段计算专题-【专题突破】2022-2023学年九年级数学上学期重难点 （解析版）

1、第11讲 圆中的线段计算专题【知识点睛】圆中线段计算口诀“圆中求长度，垂径加勾股”弦长、半径、直径是圆中的主要线段，相关计算主要利用垂径定理及其推论，构造“以半径、弦心距、弦长一半为三边的直角三角形”，通过勾股定理列方程求解；圆中模型“知2得3”由图可得以下5点：ABCD；AE=EB；AD过圆心O；以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角【类题训练】1下列说法，其中正确的有（）过圆心的线段是直径圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形大于半圆的弧叫做劣弧圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆A1个B2个

2、C3个D4个【分析】根据圆的有关概念进项分析即可【解答】解：过圆心的弦是直径，故该项错误；由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确；小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误；圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确故选：B2如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，若BECD8，则O的半径的长是（）A5B4C3D2【分析】连接OC，设O的半径为R，则OE8R，根据垂径定理得出CEDE4，根据勾股定理得出OC2CE2+OE2，代入后求出R即可【解答】解：连接OC，设O的半径为R，则OE8R，CDAB，AB过圆心O，CD8，OEC90，CEDE4，由勾股定理得：OC2C

3、E2+OE2，R242+（8R）2，解得：R5，即O的半径长是5，故选：A3如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E若AC4，DE4，则BC的长是（）A1BC2D4【分析】由垂径定理可知，点D是AC的中点，则OD是ABC的中位线，所以ODBC，设ODx，则BC2x，则OE4x，AB2OE82x，在RtABC中，由勾股定理可得AB2AC2+BC2，即（82x）2（4）2+（2x）2，求出x的值即可得出结论【解答】解：AB是O的直径，C90，ODAC，点D是AC的中点，OD是ABC的中位线，ODBC，且ODBC，设ODx，则BC2x，DE4，OE4x，AB2OE82x，

4、在RtABC中，由勾股定理可得，AB2AC2+BC2，（82x）2（4）2+（2x）2，解得x1BC2x2故选：C4已知O的直径CD10，CD与O的弦AB垂直，垂足为M，且AM4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A1个B3个C6个D7个【分析】利用勾股定理得出线段AD和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可【解答】解：CD是直径，OCODCD105，ABCD，AMCAMD90，AM4.8，OM1.4，CM5+1.46.4，MD51.43.6，AC8，AD6，AM4.8，A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段

5、MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，故选：C5如图，O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE5，EB1，AEC30，则CD的长为（）A5B2C4D【分析】因为AEC30，可过点O作OFCD于F，构成直角三角形，先求得O的半径为3，进而求得OE312，根据30角所对的直角边等于斜边的一半，得出OFOE1，再根据勾股定理求得CF的长，然后由垂径定理求出CD的长【解答】解：过点O作OFCD于F，连接DO，AE5，BE1，AB6，O的半径为3，OE312AEC30，OF1，CF2，CD2CF4，故选：C

6、6如图，CD是圆O的弦，直径ABCD，垂足为E，若AB12，BE3，则四边形ACBD的面积为（）A36B24C18D72【分析】根据AB12，BE3，求出OE3，OC6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积【解答】解：如图，连接OC，AB12，BE3，OBOC6，OE3，ABCD，在RtCOE中，EC，CD2CE6，四边形ACBD的面积故选：A7如图，AC是O的直径，弦BDAO于E，连接BC，过点O作OFBC于F，若BD8，OF，则OE的长为（）A3B4C2D5【分析】连接OB、AB，根据垂径定理求出BE，根据三角形中位线定理求出AB，根据勾股定理求出AE，再根据

7、勾股定理计算，得到答案【解答】解：连接OB、AB，BDAO，BD8，BEEDBD4，OFBC，CFFB，COOA，OF，AB2OF2，由勾股定理得：AE2，在RtBOE中，OB2OE2+BE2，即OA2（OA2）2+42，解得：OA5，OEOAAE523故选：A8如图，O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PMAB于点M，PNCD于点N，点Q是MN的中点，在点P运动的过程中，OQ的长度为（）A1B1.5C2D不能确定【分析】连接OPOQ，根据矩形的判定得出四边形PMON是矩形，根据矩形的性质得出MNOP2，根据直角三角形斜边上的中

8、线性质得出OQMN，再求出答案即可【解答】解：连接OP，PQ，则OP2，ABCD，PMOA，PNOD，MONPMOPNO90，四边形PMON是矩形，MNOP2，MON90，Q为MN中点，OQMN1，故选：A9如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，ACCD，O的半径为2，则AOC的面积为（）AB2C2D4【分析】先根据CDAB与ACCD得到CE，进而得到A30，COE60，再在RtCOE中，利用锐角三角函数计算出CE长，从而可计算AOC的面积【解答】解：CDAB，CEDE，AEC90，ACCD，CE，sinA，A30，OAOC，AOCA30，COE60，在RtCOE中，sinCOE，即sin6

9、0，CE，SAOC故选：C10如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A（1，2）B（1，1）C（1，1）D（2，1）【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心【解答】解：如图所示，连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心点A的坐标为（0，4），该圆弧所在圆的圆心坐标是（1，1）故选：C11把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD4，则EF（）A2B2.5C4D5【分析】设球的平面投影圆心为O，过点O作ONAD于点N，延长NO交BC于点M，连接

10、OF，MNCD4，ONMNOM42.51.5，再利用勾股定理可得NF，进而可得EF的长【解答】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ONAD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NFENEF，四边形ABCD是矩形，CD90，四边形CDNM是矩形，MNCD4，ONMNOM42.51.5，在RtONF中，由勾股定理得：ON2+NF2OF2，NF2，EF2NF4，故选：C12如图，在平面直角坐标系中，半径为5的E与y轴交于点A（0，2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）ABCD【分析】过O点作EHAB于H，EFCD于F，连接ED，如图，根据垂径定理得到CFDF，AHBH

11、3，所以OH1，再利用勾股定理计算出EH4，则EF1，OF4，接着利用勾股定理计算出FD，然后计算出OD，从而得到D点坐标【解答】解：过O点作EHAB于H，EFCD于F，连接ED，如图，则CFDF，AHBHA（0，2），B（0，4），AB6，BH3，OH1，在RtBHE中，EH4，四边形EHOF为矩形，EFOH1，OFEH4，在RtOEF中，FD2，ODFDOF24，D（24，0）故选：B13如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm，假设球的横截面与水面交于A，B两点，AB8cm若从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s，则球体下落的平均速度为（）A0.5cm/sB

12、0.75cm/sC1cm/sD2cm/s【分析】设圆心为O，连接OB，过点O作OCAB，交O于点C，交AB于点D，根据垂径定理及勾股定理可求出BD、OD、CD长，从而利用速度路程时间计算结果【解答】解：设圆心为O，连接OB，则OB5，过点O作OCAB，交O于点C，交AB于点D，则BD4cm，在RtBOD中，OD3cm，CDOCOD532cm，从目前所处位置到究全落入水中，球体下落的平均速度为240.5cm/s故选：A14已知O的直径CD10，AB是O的弦，AB8，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（）A2B4C2或4D2或4【分析】连接OA，由ABCD，根据垂径定理得到AM4，再根据勾股定理计

13、算出OM3，然后分类讨论：当如图1时，CM8；当如图2时，CM2，再利用勾股定理分别计算即可【解答】解：连接OA，ABCD，AMBMAB84，在RtOAM中，OA5，OM3，当如图1时，CMOC+OM5+38，在RtACM中，AC4；当如图2时，CMOCOM532，在RtACM中，AC2故选：C15如图，点A，C，D均在O上，点B在O内，且ABBC于点B，BCCD于点C，若AB4，BC8，CD2，则O的面积为（）ABCD【分析】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算即可【解答】解：如图，连接OA、OC，过点O作OMCD于M，MO的延长线于AB延长线交

14、于N，则四边形BCMN是矩形，OMCD，CD是弦，CMDMCD1BN，ANAB+BN4+15，设ONx，则OM8x，在RtAON、RtCOM中，由勾股定理得，OA2AN2+ON2，OC2OM2+CM2，OAOC，AN2+ON2OM2+CM2，即52+x2（8x）2+12，解得x，即ON，OA252+（）2，SOOA2，故选：A16如图，在半径为1的O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60，90，120，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）AB1CD【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则AOB、COD分别为等边三角形，等腰直角三角形，进而可得到AB、CD长；再过点O作OHEF于

15、点H，根据垂径定理可得EF2EH，EOHFOH60，根据锐角三角形函数可求出FH，进而可得EF；再根据AB2+CD2EF2可判断以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，即可求出其面积【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则AOB60，COD90，EOF120，在RtCOD中，CDOAOB，AOB是等边三角形，ABOA1，过点O作OHEF于点H，则EF2EH，EOHFOH60，FHOFsin601EF2FH，即AB2+CD2EF2，以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，其面积为：故选：D17如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG

16、4，则半圆O的半径是（）A4+B9C4D6【分析】连接OC，OF，设OBx，则ABBC2x，在RtBCO和RtFEO中利用勾股定理列出等式计算x的值，进一步求出半径即可【解答】解：连接OC，OF，设OBx，四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，ABBC2x，OBC90，BG4，四边形BEFG是正方形，OEx+4，EFBEBG4，FEB90，在RtBCO中，OC，在RtFEO中，OF，OFOC，5x2x2+8x+32，解得x4或x2（舍去）当x4时，OC4，则半圆O的半径是4故选：C18如图，AB为O的直径，AB10，C，D为O上两动点（C，D不与A，B重合），且CD为定长，CEAB于E，M

17、是CD的中点，则EM的最大值为（）A4B4.5C5D6【分析】如图，延长CE交O于J，连接DJ，利用三角形的中位线定理解决问题即可【解答】解：如图，延长CE交O于J，连接DJ，CEAB，CEEJ，M是CD的中点，CMDM，EMDJ，当DJ是直径时，EM的值最大，O的直径AB10，EM的最大值为5，故选：C19如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的O与x轴的正半轴交于点A，点B是O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则CDE面积的最大值为（）A2B5C6D7【分析】连接OC，由垂径定理得OCAB，再由圆周角定理得点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直

18、角作P，过P点作直线PHDE于H，交P于M、N，利用一次函数解析式确定E（0，3），D（4，0），则DE5，然后证DPHDEO，利用相似比求出PH的长，得MP的长，当C点与M点重合时，CDE的面积最大，即可求解【解答】解：连接OC，如图，点C为弦AB的中点，OCAB，ACO90，点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作P，过P点作直线PHDE于H，交P于M、N，当x0时，yx33，则E（0，3），当y0时，x30，解得x4，则D（4，0），OD4，DE5，A（2，0），P（1，0），OP1，PDODOP3，PDHEDO，PHDEOD，DPHDEO，PH：OEDP：DE，即PH：

19、33：5，解得PH，MPPH+1，SMED57，当C点与M点重合时，CDE面积的最大值为7，故选：D20我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”，除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如莱洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形图2是等宽的菜洛三角形和圆形滚木的截面图有下列4个结论：莱洛三角形是轴对称图形；图1中，点A到弧BC上任意一点的距离都相等；图2中，莱洛三角形的周长、面积分别与圆的周长、面积对应相等；使用截面的莱洛三角形的滚木搬运东西，会发生上下抖动上述结

20、论中，所有正确结论的序号是（）ABCD【分析】根据莱洛三角形、圆的性质逐项进行判断即可【解答】解：由莱洛三角形的画法可知，莱洛三角形是轴对称图形，因此正确；弧BC是以点A为圆心，AB为半径的弧，因此点A到弧BC上任意一点的距离都相等，所以正确；莱洛三角形的面与圆的面积不相等，因此不正确；由“莱洛三角形”对称性可知，在转动的过程其边沿上的点到中心的距离相等，因此使用截面的莱洛三角形的滚木搬运东西，不会发生上下抖动，因此不正确；综上所述，正确的有，故选：A21如图，在半径为5的O中，半径OD弦AB于点C，连接AO并延长交O于点E，连接EC、EB若CD2，则EC的长为（）A2B8C2D2【分析】由垂

21、径定理和勾股定理得ACBC4，再证OC是ABE的中位线，得BE2OC6，然后由勾股定理求解即可【解答】解：O的半径为5，OAOD5，CD2，OCODCD3，ODAB，ACBC4，OAOE，OC是ABE的中位线，BE2OC6，AE是O的直径，B90，EC2，故选：D22已知：如图，ABC是O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EFAB，若AB2，则DE的长是（）ABCD1【分析】设AC与EF交于点G，由于EFAB，且D是BC中点，易得DG是ABC的中位线，即DG1；易知CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DEFG，根据相交弦定理得BDDCDEDF，而BD、

22、DC的长易知，DF1+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长【解答】解：如图过C作CNAB于N，交EF于M，则CMEF根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点OEFAB，D是BC的中点，DG是ABC的中位线，即DGAB1；易知CGD是等边三角形，而CMDG，则DMMG；由于OMEF，由垂径定理得：EMMF，故DEGF弦BC、EF相交于点D，BDDCDEDF，即DE（DE+1）1；解得DE（负值舍去）故选：B23如图，ABC是O的内接三角形，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D若AC6，C60，则O的半径长为（）ABCD【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为O，则O与O设等圆，ACD是公共

23、的圆周角，所以可以证得ABAD，过A作AMBC于M，则M为BD的中点，在RtAMC中，利用勾股定理，可以求出AM和CM的长度，由于D是BC中点，可以证明MC3BM，所以BM可以求，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AB的长度，连接OA，OB，由于AOB是顶角为120的等腰三角形，过O作OGAB于G，利用30度的特殊角和勾股定理，可以证明AB3OA，由此圆O半径可求【解答】解：如图1，设折叠后的所在圆的圆心为O，连接OA，OD，AOD2ACB120，连接OA，OB，同理，AOB120，AOBAOD，O与O是等圆，ABAD，设O的半径为R，过O作OGAB于G，OAOB，AOB120，OABOB

24、A30，AB2AG，OG，如图2，过A作AMBC于M，ABAD，可设BMDMx，则BD2x，D为BC的中点，CDBD2x，MCDM+CD3x，AMBC，ACB60，MAC30，在RtAMC中，MC，3x3，x1，AM，BMx1，在RtABM中，AB，故选：D24如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值是（）ABCD【分析】首先设O的半径是r，则OFr，根据AO是EAF的平分线，求出COF60，在RtOIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GHBD，求出GH的值是多少，即可解决问题【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，设

25、O的半径是r，则OFr，AO是EAF的平分线，OAF60230，OAOF，OFAOAF30，COF30+3060，FIrsin60r，EFr2r，AO2OI，OIr，CIrrr，GHBDr，故选：C25如图，用边长分别为1和3的两个正方形组成一个图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为（）A2B2.5C3D【分析】根据已知得出当AB为O的直径，此时圆形纸片半径最小，进而利用勾股定理求出即可【解答】解：如图所示：当AB为O的直径，此时圆形纸片半径最小，AC3，BC4，AB5，能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为：2.5故选：B26已知O的半径为13cm，AB，CD是O的两条弦，且ABCD，A

26、B24cm，CD10cm，则弦AB与CD之间的距离为 cm【分析】分两种情况进行分类讨论：弦AB和CD在圆心同侧；弦AB和CD在圆心异侧，先画图，然后作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可【解答】解：过点O作OEAB于E，直线OE交CD于F，连接OA、OC，如图：ABCD，OFCD，ABBEAB12，CFDFCD5，在RtOAE中，OE5，在RtOCF中，OF12，当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，EFOFOE1257（cm），当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，EFOF+OE12+517（cm），综上所述，弦AB和CD之间的距离为7cm或17cm27如图，直线l与圆O相交于A、B

27、两点，AC是圆O的弦，OCAB，半径OC的长为10，弦AB的长为12，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线AB方向运动当APC是直角三角形时，动点P运动的时间t为 秒【分析】利用分类讨论的方法分两种情况解答：当APC90时，连接OA，过点O作OHAB于点H，利用垂径定理和矩形的判定定理解答即可；当ACP90时，连接OA，过点O作OHAB于点H，过点C作CMAP于点M，同方法，再利用相似三角形的判定与性质解答即可【解答】解：当APC90时，连接OA，过点O作OHAB于点H，如图，OHAB，AHAB6，OH8OCAB，OHAB，CPAB，四边形OHPC为矩形，PHOC10，APAH+HP16

28、，点P以每秒1个单位的速度前进，t16；当ACP90时，连接OA，过点O作OHAB于点H，过点C作CMAP于点M，如图，OHAB，AHAB6，OH8OCAB，OHAB，CMAP，四边形OHMC为矩形，HMOC10，CMOH8，AM16，ACP90，CMAP，AMCCMP，MP4，APAM+MP20点P以每秒1个单位的速度前进，t20，综上，当APC是直角三角形时，动点P运动的时间t为16秒或20秒，故答案为：16或2028如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是 【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分

29、析根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长【解答】解：连接OA，OD，作OPAB于P，OMAD于M，ONCD于N根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍因为OA，OD的长是定值，则AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即AOD90，则AD6，根据三角形的面积公式求得OM4，即AB8则矩形ABCD的周长是16+1229如图所示，AB为O的直径，AB2，OC是O的半径，OCAB，点D在

30、上，2，点P是OC上一动点，则阴影部分周长的最小值为 【分析】B是A关于OC的对称点，连接BD则就是AP+PD的最小值根据已知条件可以知道ABD30，由于AB是直径，所以ADB90，解直角三角形求出BD，利用弧长公式求出的长即可【解答】解：如图，连接BD，AD，PB根据已知得B是A关于OC的对称点，所以BD就是AP+PD的最小值，2，而弧AC的度数是90的弧，的度数是60，ABD30，AB是直径，ADB90，而AB2，BD，的长，AP+PD的最小值是，阴影部分的周长的最小值为+故答案为：+30如图，O的直径AB10，P是OA上一点，弦MN过点P，且AP2，MP2，那么弦心距OQ为 【分析】先根

31、据AB10，AP2求出OP及OA的长，连接OM，则在RtOMQ及RtOPQ中利用勾股定理可得出关于OQ，PQ的方程组，进而可得出OQ的长【解答】解：直径AB10，AP2，OAOM5，OP3，在RtOMQ中，OM2OQ2+（MP+PQ）2，即52OQ2+（2+PQ）2，在RtOPQ中，OP2OQ2+PQ2，即32OQ2+PQ2，联立可得OQ，PQ故答案为：31如图，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB1，则四边形ABCD的面积的最大值是 【分析】过点O作OHAB于点H，连接OA，OB，分别过点A、H、B作AECD、HFCD，BGCD于点E、F、G，根据垂线段线段最短可知HFOH，再由梯形的

32、中位线定理可知，HF（AE+BG），进而可得出结论【解答】解：过点O作OHAB于点H，连接OA，OB，分别过点A、H、B作AECD、HFCD，BGCD于点E、F、G，AB1，O的半径1，OH，垂线段最短，HFOH，HF（AE+BG），S四边形ABCDSAOD+SAOB+SBOC1AE+1+1BGAE+BG（AE+BG）+HF+OH+故答案为：32如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为 【分析】根据题意画出图形，连接OC，OD，延长BO交上面的正方形与点A，设定圆心与上面正方形的距离为x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论【解答】解：连接OC，OD，

33、延长BO交上面的正方形与点A，设定圆心与上面正方形的距离为x，则BO1x，BC1，AD0.5，AO1+x，故BC2+BO2AD2+AO2，即1+（1x）2（1+x）2+0.52，（两边都是圆半径的平方）解得，x，所以能将其完全覆盖的圆的最小半径R21+（1x）2，解得R故答案为：33如图，在O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC2cm，求O的半径【分析】（1）根据三个直角可得矩形，再利用垂径定理可得一组邻边相等，进而可得结论；（2）根据勾股定理可得半径【解答】（1）证明：ODAB，OEAC，ADAB，AEA

34、C，ABAC，ADAE，ADOAAEO90，四边形ADOE是正方形；（2）解：连接OA，AC2cm，AE1cm，在RtAOE中，OA（cm），答：O的半径是cm34如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OECD，垂足为F已知CD300m，EF50m，求这段弯路的半径【分析】设这段弯路的半径为R米，可得OFOEEF（R50）m由垂径定理得CFCD300150（m）由勾股定理可得OC2CF2+OF2，解得R的值【解答】解：连接OC设这段弯路的半径为Rm，则OFOEEF（R50）m，OECD，CFCD300150（m）根据勾股定理，得OC2CF2+OF2，即R21502+（R5

35、0）2，解得R250，所以这段弯路的半径为250m35如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P从点B开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到AC的距离为4cm（1）求弦AC的长；（2）问经过几秒后，APC是等腰三角形【分析】（1）过O作ODAC于D，易知AO5，OD4，从而AD3，AC6；（2）有三种情况需要考虑：ACPC，APAC，APCP，分别求出三种情况下，PB的值，即经过的时间【解答】解：（1）过O作ODAC于D，易知AO5，OD4，从而AD3，AC2AD6；（2）设经过t秒APC是等腰三角形，则AP10t，若ACPC，过点C作CHAB于H，AA，AHCOD

36、A90，AHCADO，AC：AHOA：AD，即AC：5：3，解得ts，经过s后APC是等腰三角形；若APAC，由PBx，AB10，得到AP10 x，又AC6，则10t6，解得t4s，经过4s后APC是等腰三角形；若APCP，P与O重合，则APBP5，经过5s后APC是等腰三角形综上可知当t4或5或s时，APC是等腰三角形36已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BCAO，点D为BC的中点，（1）如图1，连接AC、OD，设OAC，请用表示AOD；（2）如图2，当点B为的中点时，求点A、D之间的距离：【分析】（1）连接OB、OC首先证明OBC是等边三角形，根据AODAOCCOD计算即可（2）连接AB、OB、OC、OD证明AODAOB+BOD90，利用勾股定理计算即可【解答】解：（1）连接OB、OCOBOCOABCOBC是等边三角形BOC60D为BC中点CODBOC30OAOCOCAOACAOC180OACOCA1802AODAOCCOD1802301502（2）连接AB、OB、OC、ODB为的中点ABBCBCAO2OAABOBBCOC2AOB与BOC是等边三角形AOBBOC60D是BC中点BODBOC30，BDBC1OD2OB2BD2413AODAO