函数的周期性和对称性

1、函数的周期性和对称性第一页，共32页。(1)若 关于直线 对称一、函数的对称性若函数 上任意一点关于某直线（或某点）的对称点仍在 上，就称 关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为自对称。(2)若 关于点 对称两个恒等式的形式均不唯一，要记住本质构造.第二页，共32页。定理：若函数 满足 ，那么函数以 为对称轴。cor.若函数 满足 ，那么函数以 为对称轴。即：YXOABX=a第三页，共32页。定理：若函数 满足 ，那么函数关于点 对称。cor.若函数 满足 ，那么函数关于点 对称 。 即：YXOAB(a,0)第四页，共32页。2)若 ,则函数 关于_对称;注：1.当 时,函数关于直线 对称

2、2.当 时,函数关于点 对称偶函数-特殊的轴对称函数奇函数-特殊的点对称函数一般地,1)若 ,则函数 关于 对称.第五页，共32页。y=f(x)对称源性质点(0,0)y轴y=xx=m点(m,n)f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)f(x)=f-1(x)f(x)=f(2m-x)f(x)=2n-f(2m-x)Ex:若函数 12第六页，共32页。关于x=0对称例1：已知 的图象,画出 和 的图象，并指出两者的关系。(-1,0)(1,0)若函数 上任意一点关于某直线（或某点）的对称点在 上，就称 和 关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互对称。第七页，共32页。一般地, 函数 和 关于_对称

3、.记忆：令x+a=-x+b，可求得对称轴.变化前对称源变化后y=f(x)点(0,0)x轴y轴y=xy=-x直线x=m直线y=n点(m,n)y=-f(-x)y=-f(x)y=f(-x)y=f-1(x)y=-f-1(-x)y=f(2m-x)y=2n-f(x)y=2n-f(2m-x)第八页，共32页。例3：设 的图象与 的图象关于直线 对称，求 的解析式。 例2:将函数 右移2个单位得到图像C1，有C1和C2的图像关于点 对称，求C2的函数解析式。利用对称性求解析式（一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式第九页，共32页。例4：设 图象关于直线 对称,在 上， 求当 时 的解析式。例5：设 是定义在

4、R上的偶函数，它的图象关于直线 对称，已知 时,函数 求当 时 的解析式(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换第十页，共32页。关于直线 对称关于直线 对称关于 对称关于点 对称常见函数的对称性一个函数本身的对称性称为自对称,分成 关于某直线对称或某点对称.原点第十一页，共32页。二、函数的周期性理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？1.定义:对于函数 ，若存在非零常数T，使得 恒成立，则称 为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周期。 (2).若T是 的一个周期，则kT（k是非零整数）均是 的周期吗？ (3)周期函数的定义域D可以为闭区间

5、吗？T= (a-b) 思考：若 ,函数 具有什么性质？第十二页，共32页。第十三页，共32页。注：除了定义式是充要条件外，其余均为充分非必要条件2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明) 第十四页，共32页。3.函数的对称性与周期性的几个常见性质。性质1.若函数 以 为对称轴，那么此函数是周期函数，周期T= X=aX=b第十五页，共32页。性质2.若函数 以 为对称点，那么此函数是周期函数，周期T=假定(a,0)(b,0)第十六页，共32页。性质3.若函数 以 为对称点，以 为对称轴，那么此函数是周期函数，周期 T=假定X=b(a,0)XYO第十七页，共32页。第十八页，共32页。第十九页，

6、共32页。第二十页，共32页。第二十一页，共32页。第二十二页，共32页。第二十三页，共32页。第二十四页，共32页。第二十五页，共32页。第二十六页，共32页。练习1:定义在R上的函数 满足且方程 有1001个根，则这1001个根的和？4:如果 那么3：如果 那么2:函数 图象关于点 对称，则第二十七页，共32页。5:(1)定义在R上偶函数 满足 则方程 在区间 上至少有( )个根。(2)将上题中的“偶函数”改成“奇函数”，其余条件不变，则在区间 至少有( )个根。6：定义在R上函数 满足条件: 不是 常值函数； 则下列命题中正确的是( )A. 是周期函数 B. 关于 对称 C. 关于y轴对称 D. 关于原点中心对称重要结论：若 奇，且周期为T，则必有注：可用模拟图，直观明了第二十八页，共32页。思考：若 周期为 ，又 关于 对称，能否推出 是偶函数？若能，能否严格证明？练习:1.若 为定义在R上的奇函数，且关于直线 对称，问： 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期。2. 若 为定义在R上偶函数且满足 问： 是否关于直线对称？若是，请给出证明。3：设奇函数 ，且当 则 第二十九页，共32页。第三十页，共32页。5：设 是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线 对称，已知 时,函数 求当 时 的解析式。6：