振动理论及工程应用2-第二章-单自由度系统的振动课件

1、 2.1 无阻尼系统的自由振动 2.2 计算固有频率的能量法 2.3 瑞利法 2.4 有阻尼系统的衰减振动 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 2.6 周期激励作用下的受迫振动 2.7 任意激励作用下的受迫振动 2.8 响应谱 第2章 单自由度系统的振动 2.1 无阻尼系统的自由振动 第2章 单自由度系统的关于单自由度系统振动的概念典型的单自由度系统:弹簧-质量系统 梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧-质量系统 2.1 无阻尼系统的自由振动关于单自由度系统振动的概念典型的单自由度系统:弹簧-质量系统当物块偏离平衡位置为

2、x距离时，物块的运动微分方程为 其中取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形固有圆频率当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为 其中取物其通解为：其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时， 可解其通解为：其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。 另一种形式无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动 初相位角 振 幅两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。 系统振动的周期系

3、统振动的频率系统振动的圆频率为圆频率pn 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。f、 pn只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。 系统振动的周期系统振动的频率系统振动的圆频率为圆频率pn 是用弹簧静变形量dst表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时固有圆频率用弹簧静变形量dst表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程等效的概念这一方程，可以等效为广义坐标的形式 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程等效的概念这一等效的概念等效的概念串联弹簧与并联弹簧的等效

4、刚度例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是dst，而弹性力分别是 系统平衡方程是串联弹簧与并联弹簧的等效刚度例 在图中，已知物块的质量为m，如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则 k称为并联弹簧的等效刚度系数。并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。系统的固有频率如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹

5、簧，使该弹（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。 当物块在静平衡位置时，它的静位移dst等于每根弹簧的静变形之和，即 dst = d1st + d2st 由于每根弹簧所受的拉力都等于重力mg，故它们的静变形分别为如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。 当物块在如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于k称为串联弹簧的等效刚度系数串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹组合弹簧的等效刚度

6、例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。 解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质量所在处。 先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。C组合弹簧的等效刚度例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。C设在C处作用一力F，按静力平衡的关系，作用在B处的力为此力使B 弹簧 k2 产生 变形，而此变形使C点发生的变形为 得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数 先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。C设C物块的自由振动

7、频率为与弹簧k1串联得系统的等效刚度系数C物块的自由振动频率为与弹簧k1串联得系统的等效刚度系数弹性梁的等效刚度例 一个质量为m的物块从 h 的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。 解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧质量系统。如果知道系统的静变形 则求出系统的固有频率 弹性梁的等效刚度例 一个质量为m的物块从 h 的高处自由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为求出系统的固有频率为由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为求出系统以梁承受重物时的静平衡位

8、置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则t=0时，有自由振动的振幅为梁的最大挠度 以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击等效系统内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。 扭振系统称为扭摆。OA 为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角 来决定，称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。等效系统内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程扭振的运动规律对于单

9、自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。 固有圆频率根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程扭振的运动规律对图 (a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。并联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数图 (a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两轴串联计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。 无阻尼单自由振动系统中，势能与动能之和保持不变。常量式中T是动能，V是势能。如果取平衡位置O为势能的零点，系统在任一位置2.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能

10、量法的理论基础是机械能守恒定律。 无阻尼单自当系统在平衡位置时，x=0,速度为最大，势能为零，动能具有最大值Tmax；当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而势能具有最大值Vmax。由于系统的机械能守恒 用能量法计算固有频率的公式 当系统在平衡位置时，x=0,速度为最大，势能为零，动能具有最例 船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆BD对于支点B的转动惯量为IE ,求重物P在铅直方向的振动频率。已知弹簧AC的弹簧刚度系数是k。 解： 这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆BD自水平的平衡位置量起的 角来决定。系统的动能设系统作简谐振动，则其运动方程角速度为系统的最大动能为例 船舶

11、振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆BD对于支如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为dst 。此时，弹性力Fst=k dst ,方向向上。 该系统的势能如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。等效质量 l对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截面的静变形一样。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中

12、质量的动能为 2.3 瑞利法利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍按单自例 在图示系统中，弹簧长l，其质量ms。求弹簧的等效质量及系统的固有频率。左端距离为 的截面的位移为 ，则d 弹簧的动能为l d 假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，解：令x表示弹簧右端的位移，也是质量m的位移。例 在图示系统中，弹簧长l，其质量ms。求弹簧的等效质量弹簧的总动能系统的总动能为系统的势能为固有频率为设l d 弹簧的总动能系统的总动能为系统的势能为固有频率为设l d 阻尼系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的

13、阻力、材料内部的阻力。物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系c粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Ns/m)。 2.4 有阻尼系统的衰减振动 阻尼系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑物体运动沿图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程 特征方程特征根衰减系数，单位1/秒(1/s) 图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模型。以静平衡位置O为坐特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关强阻尼（npn）情形临界阻尼(n = pn )情形特征根运动微分方程 特征根与运动微分方程的通解的形式与

14、阻尼有关强阻尼（npn）设cc为临界阻尼系数，由于z =n/pn =1，即z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z 称为阻尼比的原因。 cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。设cc为临界阻尼系数，由于z =n/pn =1，即z 阻尼系具有临界阻尼的系统与大阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现反弹，通常要求发射后以最短时间回到原来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发射

15、第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种要求。具有临界阻尼的系统与大阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。因此质强阻尼(1)情形临界阻尼(1)情形 这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减引入阻尼比11Otx强阻尼(1)情形临界阻尼(1)情形 这两种情形弱阻尼(1)情形（npn） 特征根其中其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t = 0时， 可解C1=x0 弱阻尼(1)情形（npn） 特征根其中其中C1和C2为另一种形式初相位角 振 幅 这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为 p d，衰减速度取决于 p n，二者分别为本征值的

16、虚部和实部。另一种形式初相位角 振 幅 这种情形下，自由振动不是衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。有阻尼的自由振动视为准周期振动。 衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的T=2p/pn为无阻尼自由振动的周期。欠阻尼自由振动的周期Td ：物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常z 很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当z=0.05时，Td=1.00125T，周期 Td 仅增加了 0.125%。当材料的阻尼比 z1时，可近似认为有阻尼自由振动的周

17、期与无阻尼自由振动的周期相等。 T=2p/pn为无阻尼自由振动的周期。欠阻尼自由振动的周期T设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和Ai+1，即两振幅之比为称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以z =0.05为例，算得 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见 ，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著 ，它是按几何级数衰减的。 设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率或对数减幅系数，以d 表示例 在欠阻尼（z 1）的系统中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的两点P、R的幅值之比xP/xR=r

18、，如图所示，试确定此振动系统的阻尼比z。 振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率或对数减幅系数，以d 表示解：振动衰减曲线的包络线方程为设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有当z 21时 此式对估算小阻尼系统的z值是很方便的。例如，经过10个周期测得P、R两点的幅值比r=2，将N=10、r=2代入上式，得到该系统的阻尼比解：振动衰减曲线的包络线方程为设P、R两点在包络线上的幅值为 质量为m = 2450kg的汽车，压在4个车轮弹簧上，可使每个弹簧压缩st = 150mm，当每个弹簧都并联上一个粘性阻尼器后，振幅衰减为A1/A3 = 10；求1）振幅减缩率 和对数减缩率 ；2）衰减系数n

19、= c/2m和衰减振动的周期Td；3）临界阻尼系数cc。 解：画车身铅垂振动的受力图，坐标x的原点为车身的静平衡位置，车身的运动微分方程为 质量为m = 2450kg的汽车，压在4个车轮弹由已知条件和定义，得：取对数得，2由已知条件和定义，得：取对数得，2OmgXOYOFKFC一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。当npn时，ccC解：图为系统的静平衡位置，画受力图。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：OmgXOYOFKFC一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接受迫振动激励形式系统在外界激励下产生

20、的振动。 外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。 简谐激励是最简单的激励。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动受迫振动激励形式系统在外界激励下产生的振动。 外简谐激振力F0为激振力的幅值，w为激振力的圆频率。以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为 具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。 简谐激振力F0为激振力的幅值，w为激振力的圆频率。以平衡位置简谐激励的响应全解有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程 微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解齐次解: x1(t)特解: x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动

21、微分方程的全解简谐激励的响应全解有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 x2(t)-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 x2(t)这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。 稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。 稳态受振动理论及工程应用2-第二章-单自由度系统的振动课件 在低频区和高频区，当 1时，由于阻尼影响不大 ，为了简化计算 ，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。 在低频区和高频区，当 1时，1

22、，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。 幅频特性曲线和相频特性曲线 阻尼比z 较小时，在l = 1附近， b 值急剧增大 在图示的系统中，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为c，物块的质量为m，弹簧的弹性常量为k。设物块和支撑只沿铅直方向运动，且支撑的运动为 ,试求物块的运动规律。 建立物块的运动微分方程 在图示的系统中，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为Z代替 x 令其中 y = bZ代替 x 令其中 y = bx = z + yandx = z + yand振动理论及工程应用2-第二章-单自由度系统的振动课件振动理论及工程应用2-第二章-单自由度系

23、统的振动课件已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为现将各力分别用 B、 的旋转矢量表示。应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多边形。惯性力阻尼力弹性力激振力已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为现将各力分别用 B、 （a）力多边形 (b) 1 (c) = 1 (d) 1（a）力多边形 (b) 1 从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态响应为周期 1. 激振力在系统发生共振的情况下，相位差 ，激振力在一周期内做功为 ，做功最多。

24、从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差 。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。 或2. 粘性阻尼力 做的功 上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差 3. 弹性力 做的功能量曲线表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。 在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量3. 弹性力 做的功能量曲线表在工程实际中

25、，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，即非粘性阻尼在一个周期内做的功粘性阻尼在一周期内消耗的能量相等等效粘性阻尼系数在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。非粘性阻尼利用式得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅利用式得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅库仑阻尼阻尼力表示为一周期内库仑阻尼消耗的能量为 等效粘性阻尼系数 得到稳态振动的振幅表达式相等库仑阻尼一周期

26、内库仑阻尼消耗的能量为 等效粘性阻尼系数 得到结构阻尼 一周期内结构阻尼消耗的能量为 相等等效粘性阻尼系数 具有结构阻尼系统的运动微分方程可写为 结构阻尼 一周期内结构阻尼消耗的能量为 相等等效粘性阻尼系数 系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应,系统的运动微分方程和初始条件写在一起为通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即 系统在过渡阶段对简谐激励响根据初始条件确定C1、C2 。于是得到全解为 特点是:振动频率为系统的固有频率,但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。无激励时的自由振动系统对初始条件的响应稳态强迫振动伴随激励而产

27、生自由振动, 称为自由伴随振动 对于存在阻尼的实际系统,自由振动和自由伴随振动的振幅都将随时间逐渐衰减,因此它们都是瞬态响应。根据初始条件确定C1、C2 。于是得到全解为 特点是:振共振时的情况假设初始条件为由共振的定义, 时上式是 型,利用洛必达法则算出共振时的响应为 共振时的情况假设初始条件为由共振的定义, 时上式是 可见,当时 ,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间后,共振响应可以表示为此即共振时的受迫振动.反映出共振时的位移在相位上比激振力滞后 ,且振幅与时间成正比地增大 图 共振时的受迫振动可见,当时 ,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响

28、应.在给定初始条件下的运动微分方程为 全解为式中有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应.在给定初始条件下的运动如果初始位移与初始速度都为零，则成为可见过渡阶段的响应仍含有自由伴随振动。 过渡阶段的响应如果初始位移与初始速度都为零，则成为可见过渡阶段的响应仍含有在简谐激励的作用下，有阻尼系统的 总响应由三部分组成 无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激励无关。 伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。 以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减稳态受迫振动。 第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率pd；由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。在简

29、谐激励的作用下，有阻尼系统的 无激励时自由振动的初始条件 若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。 因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般总是pn和 两个不同频率简谐振动的叠加。 若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自周期函数 展成傅氏级数一个周期 T中的平均值 n=1,2,3,n=1,2,3,基频 2.6 周期激励作用下的受迫振动周期函数 展成傅氏级数一个周期 T中的平均值 n=1,2,3 先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应

30、分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。 设粘性阻尼系统受到周期激振力谐波分析方法，得到系统的运动微分方程为周期基频 先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应 例 弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求系统的稳态响应。(其中 )解：周期性矩形波的基频为矩形波一个周期内函数将矩形波分解为固有频率 例 弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求系统的稳可得稳态响应将矩形波分解为从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大因

31、子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。 画出系统的响应频谱图奇数可得稳态响应将矩形波分解为从频谱图中看，系统只对激励所包含的物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的速度却变化明显。根据力学中的碰撞理论，可得物块受冲量作用获得的速度设冲量的大小为作用在单自由度系统中，求响应。对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。1. 用冲量描述瞬态作用 2.7 任意激励作用下的受迫振动物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的速度却变如果取 为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应初位移初速度得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应如果 作用在 的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块的

32、响应为如果取 为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应同理，如果在t = 0时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，得其响应如果 作用在 的时刻，则物块的响应为同理，如果在t = 0时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠用 (t)函数表示作用在极短时间内冲击力表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但它对时间积分是有限数1。函数的定义是从积分式可见，如果时间以秒计， (t)函数的单位是1/s。用单位脉冲(unit impulse)函数 (t)表示冲击力冲量表示施加冲量的瞬时用 (t)函数表示作用在极短时间内冲击力表明只在近旁极其短如果在t = 0的瞬时施加冲量，则相应的冲击

33、力 当 ，即施加单位冲量时，冲击力为F是冲击力, (t)函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为如果在t = 0的瞬时施加冲量，则相应的冲击力 当 单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用等价于冲量 作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，根据初始条件可确定A和。最后得其响应单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作为了应用方便，单位脉冲函数的响应用h(t)表示。得单自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应称为单自由度系统的时域响应函数 为了应用方便，单位脉冲函数的响应用h(t

34、)表示。得单自由度无h(t)有以下特性不难发现h(t)的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实质上是系统动特性在时域的一种表现形式。h(t)是单位脉冲冲的响应。 h(t)有以下特性不难发现h(t)的表达式包含系统的所有的动作用有一任意激振力F(t)欠阻尼情形物块的运动微分方程将激振力看作是一系列元冲量的叠加元冲量为得到系统的响应作用有一任意激振力F(t)欠阻尼情形物块的运动微分方程将激振由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应等于系统在 时间区间内各个元冲量的总和，即得到系统的响应由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应等于系统在 上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响

35、应等于它脉冲响应与激励的卷积。这个结论称为博雷尔(Borel)定理，也称杜哈梅(Duhamel)积分。对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应用单位脉冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响应的统一表达式上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响应等于系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为对于无阻尼振动系统的响应为t t1 即激振力停止作用后，物块的运动称为剩余运动。以为初始条件的运动系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为对于无阻例 无阻尼弹簧质量系统受到突加常力F0的作用，试求其响应。积分后得响应为代入在突加的常力作用下，物块的运动仍是简谐运动，

36、只是其振动中心沿力F0的方向移动一距离解：取开始加力的瞬时为t = 0，受阶跃函数载荷的图形如图所示。设物块处于平衡位置，且 。也是弹簧产生的静变形。 例 无阻尼弹簧质量系统受到突加常力F0的作用，试求其响应。积若阶跃力从t = a 开始作用，则系统的响应为t a若阶跃力从t = a 开始作用，则系统的响应为t a解：在 阶段，系统的响应显然与上例的相同，即例 无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲力作用，试求其响应。当t t1时，F ( t ) = 0，得解：在 阶段，系统的响应显然与上例的系统的响应为t t1实际上，在t t1阶段，物块是以t = t1的位移x1和速度 为初始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。 将初始条件系统的响应为t t1实际上，在t t1阶段，物块是以t 系统基础有阶跃加速度 ，初始条件为 ，求质量m的相对位移。 解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为 系统的激振力为 可得响应为 其中 系统基础有阶跃加速度 ，初始条件为 解：由上题可得系统的微分方程为基础有阶跃位移系统的激振力