统计学 第4章 数据的概括性度量课件

1、Nankai University1第四章 数据的概括性度量Contents数据集中趋势的度量1数据离散程度的度量2数据偏态与峰态的度量3Nankai University21.数据集中趋势的度量Nankai University3集中趋势(central tendency)是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，它反映了一组数据中心点的位置所在。众数中位数四分位数平均数Nankai University4众数众数（mode）是一组数据中出现次数最多的变量值，用M0表示。众数主要用于测度分类数据的集中趋势，当然也适用于作为顺序数据以及数值型数据集中趋势的测度值。一般情况下，只有在数据量较大的情况下

2、，众数才有意义众数是一个位置代表值，它不受数据中极端值的影响。从分布的角度看，众数是具有明显集中趋势点的数值，一组数据分布的最高峰点所对应的数值即为众数。众数可能不存在，也可能有多个。Nankai University5计算中位数时，要先对n个数据进行排序，然后确定中位数的位置，最后确定中位数的具体数值。中位数位置的确定公式为： 设一组数据按从小到大的顺序排序x1，x2，xn，则中位数为：Nankai University7四分位数四分位数（quartile）也称四分位点，它是一组数据排序后处于25%和75%位置上的值，分别称为下四分位数和上四分位数。计算四分位数时，首先对数据进行排序，然后确

3、定四分位数所在的位置，该位置上的数值就是四分位数。四分位数位置的确定方法有几种*，每种方法得到的结果会有一定差异，但差异不会很大。设下四分位数为QL，上四分位数为QU，根据四分位数定义有 *一种较为准确的算法是按照下列公式确定位置： ， Nankai University8平均数平均数（mean）也称为均值，它是一组数据相加后除以数据的个数得到的结果。平均数是集中趋势的最主要测度值，它主要适用于数值型数据，而不适用于分类数据和顺序数据。根据未经分组数据计算的平均数称为简单平均数。Nankai University10（总体）（样本）根据分组数据计算的平均数称为加权平均数，设共分成k组，各组组中

4、值分别用M1,M2,Mk表示，f1,f2,fk表示各组频数，式中n为样本量 。计算加权平均数时，用各组的组中值代表各组的实际数据，使用这一代表值时是假定各组数据在组内是均匀分布的，如果实际数据与这一假定相吻合，计算的结果还是比较准确的，否则误差会很大。Nankai University11几何平均数（geometric mean）是n个变量值乘积的n次方根，用G表示。计算公式为几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数，它主要用于计算平均比率。当变量值本身是比率的形式时，采用几何平均值计算平均比率更为合理。在实际应用中，几何平均数主要用于计算现象的平均增长率。当所平均的各比率数值相差不大时，算术平

5、均和几何平均的结果相差不大，否则二者的差别就很明显。Nankai University12例3：下面是随机抽取的5个家庭的收入： 135,456 25,500 32,456 54,365 37,668 请问中位数和平均值哪个可以更好的作为这组数据集中趋势的代表值？Nankai University14优点众数不受极端值影响可应用于定性数据15缺点一组数据可能不存在众数有时一组数据可能会有一个以上的众数众数的优缺点只有在数据量较大的情况下，众数才有意义，当数据量较少时，不宜使用众数。众数主要适合作为分类数据的集中趋势测度值。优点利用了全部数据信息一组数据只有一个平均数并且组中每个数据的变化都会影

6、响平均数17缺点平均数受极端值的影响平均数的优缺点对于偏态分布的数据，平均数的代表性较差，当一组数据的分布偏斜程度较大时，考虑使用中位数或众数。平均数主要适合作为数值型数据的集中趋势测度值。2.数据离散程度的度量Nankai University18数据的离散程度是数据分布的另一个重要特征，反映的是各变量值远离其中心值的程度。数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差；离散程度越小，其代表性就越好。异众比率四分位间距极差平均差方差、标准差变异系数Nankai University19异众比率异众比率（variation ratio）是指非众数组的频数占总频数的比例，用Vr表示

7、。异众比率主要适合测度分类数据的离散程度，当然，对于顺序数据以及数值型数据也可以计算异众比率。异众比率主要用于衡量众数对一组数据的代表程度。异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性越差；异众比率越小，说明非众数组的频数占总频数的比重越小，众数的代表性越好。Nankai University20四分位间距四分位间距（ Interquartile Range, IQR ）是上四分位数与下四分位数之差。四分位间距主要用于测度顺序数据的离散程度，对于数值型数据也可以计算四分位间距，但并不适合分类数据。四分位间距反映了中间50%数据的离散程度，其数值越小，说明中间的数据越集中；其

8、数值越大，说明中间的数据越分散。四分位间距不受极值的影响。Nankai University21极差测度数值型数据离散程度的方法主要有极差、平均差、方差和标准差。一组数据的最大值与最小值之差称为极差（range），也称全距，通常用R表示。极差是描述数据离散程度的最简单测度值，计算简单，易于理解，但它容易受极端值的影响。由于极差只利用了一组数据两端的信息，不能反映出中间数据的分散情况，因而不能准确描述出数据的分散程度。Nankai University22方差、标准差方差（variance）是各变量值与其平均数离差平方的平均数。 根据未分组数据计算方差： 根据分组数据计算方差：Nankai Un

9、iversity24样本方差总体方差样本方差总体方差标准差（standard deviation）为方差的平方根。 根据未分组数据计算标准差： 根据分组数据计算标准差：方差和标准差能较好的反映出数据的离散程度，是实际中应用最广的离散程度测度值。Nankai University25样本标准差总体标准差样本标准差总体标准差变异系数变异系数（coefficient of variation）也称为离散系数，是一组数据的标准差与其相应的平均数之比。变异系数是测度数据离散程度的相对统计量，它是一个无量纲的量，主要是用于比较不同样本数据的离散程度。变异系数大，说明数据的离散程度也大；变异系数小，说明数据的离散程度也小。* *注意：当平均数接近零时，离散系数的值趋于增大，此时必须慎重解释。Nankai University273.数据偏态与峰态的度量Nankai University28偏态峰态偏态偏态（ skewness ）是对数据分布对称性的测度。测度偏态的统计量是偏态系数（c